普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（四）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．若复数（是虚数单位），则（）A．B．C．2D．43．若，且，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．4．下列结论中正确的个数是（）①“”是“”的充分不必要条件；②命题“”的否定是“”；③函数在区间内有且仅有两个零点.A．1B．2C．3D．05．已知关于的不等式对任意的恒成立，若的取值范围为区间，在区间上随机取一个数，则的概率是（）A．B．C．D．6．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，目取其半，万事不竭”，其意思是：一尺长木棍，每天截取一半，永远截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则空白处可填入的是（）A．B．C．D．7．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．已知某函数在上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A．B．C．D．9．《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍甍，如图，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，若这个刍甍的体积为，则的长为（）A．1B．2C．3D．410．在中，角的对边分别为，，，且的面积为，则的周长为（）A．B．C．D．11．设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若的面积是的三倍，，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．已知定义在区间上的函数，为其导函数，且恒成立，则（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某乡镇中学有初级职称教师160人，中级职称教师30人，高级职称教师10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则高级职称教师应该抽取的人数为．14．已知平面向量，，且，则在方向上的投影是．15．若双曲线的渐近线与圆相交，则此双曲线的离心率的取值范围是．16．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若，，，，则球的体积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
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．）17．已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，，求数列的前项和.18．在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上.（1）求证：平面；（2）若，，为的中点，求三棱锥的体积.19．某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市”，现市文明委对甲、乙两地各派10名专家进行打分评优，所得分数情况如下茎叶图所示.（1）分别计算甲、乙两地所得分数的平均值，并计算乙地得分的中位数；（2）从乙地所得分数在间的成绩中随机抽取2份做进一步
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，求所抽取的成绩中，至少有一份分数在间的概率；（3）在甲、乙两地所得分数超过90分的成绩中抽取其中2份分析其合理性，求这2份成绩都是来自甲地的概率.20．已知点在圆上运动，且存在一定点，点为线段的中点.（1）求点的轨迹的方程；（2）过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点，是否存在实数使得，并说明理由.21．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，方程有两个相异实根，且，证明：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）将直线的极坐标方程化为普通方程，并求出直线的倾斜角；（2）求曲线上的点到直线的最大距离.23．选修4-5：不等式选讲已知函数，若的解集是或.（1）求实数的值；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.文数（四）答案一、选择题1-5:CBDAC6-10:BCACD11、12：DC二、填空题13．114．15．16．三、解答题17．解：（1）∵，∴.∴，∴数列的通项公式为.（2）由，得，又，∴，即，∴数列是以3为首项，2为公比的等比数列，∴，∴，∴，，两式相减，得，∴.18．解：（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴平面.又平面，∴.∵平面，且平面，∴.又平面，平面，，∴平面.（2）在直三棱柱中，.∵平面，其垂足落在直线上，∴.在中，，，∴，即，在中，.由（1）知，平面，平面，从而，∴.∵为的中点，∴.∴.19．解：（1）由题得，甲地得分的平均数为，乙地得分的平均数为，乙地得分的中位数为.（2）由茎叶图可知，乙地得分中分数在间的有65,72,75,79四份成绩，随机抽取2份的情况有：，，，，，，共6种，其中至少有一份分数在间的情况有：，，，，，共5种.故所求概率.（3）甲、乙两地所得分数中超过90分的一共有5份，记甲地中的三份分别为，乙地中的两份分别为.随机抽取其中2份，所有情况如下：，，，，，，，，，，一共10种.其中两份成绩都来自甲地的有3种情况：，，，.故所求概率.20．解：（1）由中点坐标公式，得即，.∵点在圆上运动，∴，即，整理，得.∴点的轨迹的方程为.（2）设，，直线的方程是，代入圆.可得，由，得，且，，∴.∴，解得或1，不满足.∴不存在实数使得.21．解：（1）由题得，.当时，由于，可得，即.∴在区间内单调递增，当时，由，得，由，得，∴在区间内单调递增，在区间内单调递减.（2）由（1）可设，方程的两个相异实根，满足，且，，即.由题意，可知，又由（1）可知，在区间内单调递减，故.令，则.令，则.当时，，是减函数，∴.∴当时，，即.∵在区间内单调递增，∴，故.22．解；（1）由，得，将代入上式，化简，得.所以直线的倾斜角为.（2）在曲线上任取一点，则点到直线的距离，当时，取得最大值，且最大值是.23．解：（1）∵，∴作出函数的图象，如图所示：由的解集为或及函数图象，可得解得.（2）由题知，，不等式恒成立，即，不等式恒成立，由（1）可知，（当且仅当时取等号），∴，当时，，∴，∴，当时，，成立；当时，，∴，∴，综上所述，实数的取值范围为.
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