2022版人教A版高中数学选择性必修第一册--考前必背第一章 空间向量与立体几何一、共线向量、共面向量定理 1.共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.二、空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.三、空间向量运算的坐标表示 1.空间向量运算的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).运算坐标表示加法a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)减法a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)数乘λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R数量积a·b=a1b1+a2b2+a3b3 2.空间向量常用结论的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).结论坐标表示共线a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)垂直a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0向量长度|a|=a·a=a12+a22+a32向量夹角公式cos
=a·b|a||b|=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32·b12+b22+b32 3.空间两点间的距离公式设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则P1P2=|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.四、空间向量 1.设直线l,m的方向向量分别为μ,v,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则线线平行l∥m⇔μ∥v⇔μ=λv,λ∈R线面平行l∥α⇔μ⊥n1⇔μ·n1=0面面平行α∥β⇔n1∥n2⇔n1=λn2,λ∈R线线垂直l⊥m⇔μ⊥v⇔μ·v=0线面垂直l⊥α⇔μ∥n1⇔μ=λn1,λ∈R面面垂直α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0线线夹角l,m的夹角θ∈0,π2,cosθ=|μ·ν||μ||ν|线面夹角l,α的夹角为θ∈0,π2,sinθ=|μ·n1||μ||n1|面面夹角α,β的夹角为θ∈0,π2,cosθ=|n1·n2||n1||n2| 2.点到直线的距离设AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a·u)u,点P到直线l的距离PQ=|AP|2-|AQ|2=a2-(a·u)2.3.点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离PQ=AP·n|n|=AP·n|n|=|AP·n||n|.第二章 直线和圆的方程一、直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角定义当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角规定当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°范围[0,π) 2.直线的斜率定义当直线l的倾斜角α≠π2时,其倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tanα斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=y2-y1x2-x1 3.直线的方向向量直线的方向向量设A,B为直线上的两点,则AB就是这条直线的方向向量方向向量的坐标设A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),则直线AB的一个方向向量为AB=(x2-x1,y2-y1)方向向量与斜率若直线l的斜率为k,则直线l的一个方向向量为(1,k) 4.两条直线平行和垂直的判定对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2.位置关系判定特例平行l1∥l2⇔k1=k2直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2平行垂直l1⊥l2⇔k1k2=-1一直线斜率为零,另一直线斜率不存在时,两条直线垂直二、直线的方程 直线方程的五种形式及适用范围:名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y=kx+b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y-y0=k(x-x0)两点式过两点y-y1y2-y1=x-x1x2-x1与两坐标轴均不垂直的直线截距式横、纵截距xa+yb=1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)所有直线三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点坐标直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标就是方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解.位置关系方程组的解的个数相交方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解平行方程组无解重合方程组有无数个解 2.距离公式距离类型已知几何元素距离公式两点间的距离两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2点到直线的距离点P0(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0d=|Ax0+By0+C|A2+B2两条平行直线间的距离两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0d=|C1-C2|A2+B2四、圆的方程圆的定义圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合圆的方程
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式(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圆心坐标:(a,b)半径为r一般式x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)圆心坐标:-D2,-E2半径r=12D2+E2-4F五、直线与圆、圆与圆的位置关系 1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系判断;(2)代数法:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,利用判别式Δ判断.位置关系几何法代数法相交d0相切d=rΔ=0相离d>rΔ<0 2.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0). 方法位置关系 几何法:根据圆心距d=|O1O2|与r1+r2或|r1-r2|的大小关系进行判断代数法:根据两圆方程组成的方程组解的个数进行判断外离d>r1+r2无解外切d=r1+r2一组实数解相交|r1-r2|0,c>0,且a,c为常数轨迹类型a>c点M的轨迹为椭圆a=c点M的轨迹为线段ab>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)图形性质范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤b对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a,a为长半轴长;短轴B1B2的长为2b,b为短半轴长焦距|F1F2|=2c离心率e=ca,e∈(0,1),其中c=a2-b2a,b,c的关系a2=b2+c2二、双曲线 1.双曲线的定义定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距符号语言集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a>0,c>0轨迹类型ac点M不存在 2.双曲线的标准方程及其几何性质标准方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)图形性质范围x≤-a或x≥a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴:坐标轴 对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±baxy=±abx离心率e=ca,e∈(1,+∞),其中c=a2+b2轴实轴A1A2的长为2a,a为实半轴长;虚轴B1B2的长为2b,b为虚半轴长a,b,c的关系c2=a2+b2三、抛物线 1.抛物线的定义定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线符号语言集合P={M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离)特例当F∈l时,动点M的轨迹是过F点垂直于l的直线 2.抛物线的标准方程及其几何性质图形标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴y=0x=0焦点Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2离心率e=1准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R开口方向向右向左向上向下
浙公网安备 33021202002483