极点与极线背景下的高考试题

极点与极线背景下的高考试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高 考试题 教师业务能力考试题中学音乐幼儿园保育员考试题目免费下载工程测量项目竞赛理论考试题库院感知识考试题及答案公司二级安全考试题答案 中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.1.从几何角度看极点与极线定义1如图1，设是不在圆锥曲线上的一点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线.若为圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极线.由图1同理可知，为点对应的极线，为点所对应的极线.因而将称为自极三点形.设直线交圆锥曲线于点两点，则恰为圆锥曲线的两条切线.定理1(1)当在圆锥曲线上时，则点的极线是曲线在点处的切线；(2)当在外时，过点作的两条切线，设其切点分别为，则点的极线是直线(即切点弦所在的直线)；(3)当在内时，过点任作一割线交于，设在处的切线交于点，则点的极线是动点的轨迹.定理2如图2，设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于，交于，则①；反之，若有①成立，则称点调和分割线段，或称点与关于调和共轭，或称点(或点)关于圆锥曲线的调和共轭点为点(或点).点关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点的极线.推论1如图2，设点关于圆锥曲线的调和共轭点为点，则有②；反之，若有②成立，则点与关于调和共轭.可以证明①与②是等价的.事实上，由①有EMBEDEquation.DSMT4.特别地，我们还有推论2如图3，设点关于有心圆锥曲线(设其中心为)的调和共轭点为点，连线经过圆锥曲线的中心，则有，反之若有此式成立，则点与关于调和共轭.证明：设直线与的另一交点为，则，化简即可得.反之由此式可推出，即点与关于调和共轭.推论3如图4，圆锥曲线的一条对称轴上的两点(不在上)，若关于调和共轭，过任作的一条割线，交于两点，则.证明：因关于直线对称，故在上存在的对称点.若与重合，则与也重合，此时关于对称，有；若与不重合，则与也不重合，由于关于调和共轭，故为上完全四点形的对边交点，即在上，故关于直线对称，也有.定理3(配极原则)点关于圆锥曲线的极线经过点EMBEDEquation.DSMT4点关于的极线经过点；直线关于的极点在直线上直线关于的极点在直线上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换，以替换，以替换即可得到点的极线方程.特别地：(1)对于椭圆，与点对应的极线方程为；(2)对于双曲线，与点对应的极线方程为；(3)对于抛物线，与点对应的极线方程为.(4)如果圆锥曲线是椭圆，当为其焦点时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线，当为其焦点时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线，当为其焦点时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为，右焦点为．设过点的直线与此椭圆分别交于点，其中，．(1)设动点P满足，求点的轨迹；(2)设，求点的坐标；(3)设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）．分析与解：前面两问比较简单，这里从略.对于(3)，当时，点坐标为，连，设直线与的交点为，根据极点与极线的定义可知，点对应的极线经过，又点对应的极线方程为，即，此直线恒过轴上的定点EMBEDEquation.DSMT4，从而直线也恒过定点EMBEDEquation.DSMT4.【例2】(2008安徽卷理22)设椭圆过点，且左焦点为.(1)求椭圆的方程；(2)当过点的动直线与椭圆交于两个不同的点时，在线段上取点，满足，证明点总在某定直线上.分析与解：(1)易求得 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 .(2)由条件可有，说明点关于圆锥曲线调和共轭.根据定理2，点的轨迹就是点对应的极线，即，化简得.故点总在定直线上.【例3】(1995全国卷理26)已知椭圆，直线，是上一点，射线交椭圆于点，又点在上且满足，当点在上移动时，求点的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.分析与解：由条件知可知点关于圆锥曲线调和共轭，而点可看作是点的极线与直线的交点.设，则与对应的极线方程为，化简得③又直线的方程为，化简得④解由③④联立方程组得，消去得，可化为(不同时为)，故点的轨迹是以为中心，长短轴分别为和，且长轴平行于轴的椭圆，但需去掉坐标原点.【例4】(2006年全国卷II理21)已知抛物线的焦点为，是抛物线上的两动点，且，过两点分别作抛物线的切线，并设其交点为.(1)证明为定值；(2)设的面积为，写出的表达式，并求的最小值.分析与解：(1)显然，点的极线为，故可设点，再设，三点对应的极线方程分别为，，，由于三点共线，故相应的三极线共点于，将代入后面两个极线方程得，两式相减得.又，故.(2)设的方程为，与抛物线的极线方程对比可知直线对应的极点为，把代入并由弦长公式得，所以.显然，当时，取最小值.【例5】(2005江西卷理22)设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线的两条切线，且与抛物线分别相切于两点.(1)求的重心的轨迹方程；(2)证明.分析与解：(1)设点，与对比可知直线对应的极点为，为直线上的动点，则点对应的极线必恒过点.设，可化为，故直线对应的极点为，将直线的方程代入抛物线方程得，由此得，的重心的轨迹方程为，消去即得.(2)设，由(1)知，又，由(1)知，即，所以，，..同理.所以有.参考文献周兴和.高等几何.科学出版社，2003.9李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯［J］，2012(4)下半月PEFGHMANB图1PQA图2BlPQR图3�EMBEDEquation.DSMT4���ROPlA图4�EMBEDEquation.DSMT4���RBQ�EMBEDEquation.DSMT4���R�EMBEDEquation.DSMT4���xOBA图5K�EMBEDEquation.DSMT4���MNBQxyOPA.图6RQxyOP.图7ABPOxy图8FABPOxy图9FlPAGE1_1234568017.unknown_1234568081.unknown_1234568145.unknown_1234568177.unknown_1234568209.unknown_1234568225.unknown_1234568233.unknown_1234568237.unknown_1234568241.unknown_1234568243.unknown_1234568244.unknown_1234568245.unknown_1234568242.unknown_1234568239.unknown_1234568240.unknown_1234568238.unknown_1234568235.unknown_1234568236.unknown_1234568234.unknown_1234568229.unknown_1234568231.unknown_1234568232.unknown_1234568230.unknown_1234568227.unknown_1234568228.unknown_1234568226.unknown_1234568217.unknown_1234568221.unknown_1234568223.unknown_1234568224.unknown_1234568222.unknown_1234568219.unknown_1234568220.unknown_1234568218.unknown_1234568213.unknown_1234568215.unknown_1234568216.unknown_1234568214.unknown_1234568211.unknown_1234568212.unknown_1234568210.unknown_1234568193.unknown_1234568201.unknown_1234568205.unknown_1234568207.unknown_1234568208.unknown_1234568206.unknown_1234568203.unknown_1234568204.unknown_1234568202.unknown_1234568197.unknown_1234568199.unknown_1234568200.unknown_1234568198.unknown_1234568195.unknown_1234568196.unknown_1234568194.unknown_1234568185.unknown_1234568189.unknown_1234568191.unknown_1234568192.unknown_1234568190.unknown_1234568187.unknown_1234568188.unknown_1234568186.unknown_1234568181.unknown_1234568183.unknown_1234568184.unknown_1234568182.unknown_1234568179.unknown_1234568180.unknown_1234568178.unknown_1234568161.unknown_1234568169.unknown_1234568173.unknown_1234568175.unknown_1234568176.unknown_1234568174.unknown_1234568171.unknown_1234568172.unknown_1234568170.unknown_1234568165.unknown_1234568167.unknown_1234568168.unknown_1234568166.unknown_1234568163.unknown_1234568164.unknown_1234568162.unknown_1234568153.unknown_1234568157.unknown_1234568159.unknown_1234568160.unknown_1234568158.unknown_1234568155.unknown_1234568156.unknown_1234568154.unknown_1234568149.unknown_1234568151.unknown_1234568152.unknown_1234568150.unknown_1234568147.unknown_1234568148.unknown_1234568146.unknown_1234568113.unknown_1234568129.unknown_1234568137.unknown_1234568141.unknown_1234568143.unknown_1234568144.unknown_1234568142.unknown_1234568139.unknown_1234568140.unknown_1234568138.unknown_1234568133.unknown_1234568135.unknown_1234568136.unknown_1234568134.unknown_1234568131.unknown_1234568132.unknown_1234568130.unknown_1234568121.unknown_1234568125.unknown_1234568127.unknown_1234568128.unknown_1234568126.unknown_1234568123.unknown_1234568124.unknown_1234568122.unknown_1234568117.unknown_1234568119.unknown_1234568120.unknown_1234568118.unknown_1234568115.unknown_1234568116.unknown_1234568114.unknown_1234568097.unknown_1234568105.unknown_1234568109.unknown_1234568111.unknown_1234568112.unknown_1234568110.unknown_1234568107.unknown_1234568108.unknown_1234568106.unknown_1234568101.unknown_1234568103.unknown_1234568104.unknown_1234568102.unknown_1234568099.unknown_1234568100.unknown_1234568098.unknown_1234568089.unknown_1234568093.unknown_1234568095.unknown_1234568096.unknown_1234568094.unknown_1234568091.unknown_1234568092.unknown_1234568090.unknown_1234568085.unknown_1234568087.unknown_1234568088.unknown_1234568086.unknown_1234568083.unknown_1234568084.unknown_1234568082.unknown_1234568049.unknown_1234568065.unknown_1234568073.unknown_1234568077.unknown_1234568079.unknown_1234568080.unknown_1234568078.unknown_1234568075.unknown_1234568076.unknown_1234568074.unknown_1234568069.unknown_1234568071.unknown_1234568072.unknown_1234568070.unknown_1234568067.unknown_1234568068.unknown_1234568066.unknown_1234568057.unknown_1234568061.unknown_1234568063.unknown_1234568064.unknown_1234568062.unknown_1234568059.unknown_1234568060.unknown_1234568058.unknown_1234568053.unknown_1234568055.unknown_1234568056.unknown_1234568054.unknown_1234568051.unknown_1234568052.unknown_1234568050.unknown_1234568033.unknown_1234568041.unknown_1234568045.unknown_1234568047.unknown_1234568048.unknown_1234568046.unknown_1234568043.unknown_1234568044.unknown_1234568042.unknown_1234568037.unknown_1234568039.unknown_1234568040.unknown_1234568038.unknown_1234568035.unknown_12345680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