课时作业59坐标系[基础达标]1x2x′＝x1＋y2＝1，经过伸缩变换2后的曲线方程．．求椭圆4y′＝y1x′＝xx＝2x′解析：由2得到①y＝y′.y′＝yx24x′2将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.44x2因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.42．[2019·南昌模拟]在平面直角坐标系xOy中，直线C1的方程为3x＋y＋2＝0，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，2π圆C2的极坐标方程为ρ＋4ρsin＋1＝0.θ＋3(1)求圆C2在直角坐标系下的标准方程；(2)若直线C1与圆C2交于P，Q两点，求△OPQ的面积．π(1)24sin1022sin23cos1解析：ρ＋ρθ＋3＋＝，即ρ＋ρθ＋ρθ＋＝0，即x2＋y2＋23x＋2y＋1＝0，(x＋3)2＋(y＋1)2＝3，22所以圆C2在直角坐标系下的标准方程为(x＋3)＋(y＋1)＝3.(2)由(1)知圆心C2(－3，－1)，圆的半径r＝3，又圆心C2到直线C1的距离|3×－3＋－1＋2|d＝＝1，32＋12则|PQ|＝2r2－d2＝22.2又原点O到直线PQ的距离d1＝＝1，32＋1211所以S△OPQ＝|PQ|d1＝×22×1＝2.2·2223．[2019·太原模拟]已知点P是曲线C1：(x－2)＋y＝4上的动点，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹方程为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；π(2)射线θ＝(ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，定点M(2,0)，3求△MAB的面积．222解析：(1)由{x＋y＝ρ，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ.ππ设Q(ρ，θ)，则P，所以ρ＝4cos＝4sinθ，ρ，θ－2θ－2所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.ππd2sin3(2)点M(2,0)到射线θ＝3的距离＝3＝，ππ|AB|－ρA＝4sin－cos＝2(3－1)，＝ρB331则△MAB的面积S＝|AB|d33.2×＝－4．[2019·南昌模拟]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，π曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.θ＋6(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；(2)设曲线C1，C2交于点A，B，曲线C2与x轴交于点E，求线段AB的中点到点E的距离．2解析：(1)曲线C1的极坐标方程可以化为ρ－4ρsinθ＝0，22所以曲线C1的直角坐标方程为x＋y－4y＝0.31Csincos2曲线2的极坐标方程可以化为ρθ·2＋ρθ·2＝，所以曲线C2的直角坐标方程为x＋3y－4＝0.5π(2)由MATCH_
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_1715460281599_0意及(1)得点E的坐标为(4,0)，C2的倾斜角为，63x4t＝－2所以C2的参数方程为(t为参数)，1yt＝2232t将C2的参数方程代入曲线C1的直角坐标方程得到4t＋－24－2t＝0，整理得t2－(43＋2)t＋16＝0，判别式Δ＞0，则线段AB的中点对应的参数为23＋1，所以线段AB的中点到点E的距离为23＋1.5．[2019·东北三省模拟]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρcosθ＝3，曲线C2：π4cos0≤θ＜.ρ＝θ2(1)求C1与C2交点的极坐标；→2→(2)设点Q在C2上，OQ＝QP，求动点P轨迹的极坐标方程．3ρcosθ＝33解析：(1)联立，得得cosθ＝±，ρ＝4cosθ，2π3π∵0≤θ＜，∴cosθ＝，θ＝，226∴ρ＝23，π23∴C1与C2交点的极坐标为，6.π(2)P()Q(，θ0)0＝4cosθ0，θ0∈0，，设ρ，θ，ρ0，则ρ222ρ0＝ρ由OQ→＝QP→，得53θ0＝θ，2π∴4cos0，，故动点P的极坐标方程为ρ＝10cosθ，5ρ＝θθ∈2π0θ∈，2.6．[2019·昆明检测]在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为x2＋y2＝4，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ2cos2θ＝1.(1)求圆O的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知M，N是曲线C与x轴的两个交点，点P为圆O上的任意一点，证明：|PM|2＋|PN|2为定值．x＝2cosα解析：(1)圆O的参数方程为(α为参数)，y＝2sinα由ρ2cos2θ＝1得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，即ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，所以曲线C的直角坐标方程为x2－y2＝1.(2)由(1)知曲线C的直角坐标方程为x2－y2＝1，不妨令M(－1,0)，N(1,0)，可设P(2cosα，2sinα)，则|PM|2＋|PN|2＝(2cosα＋1)2＋(2sinα)2＋(2cosα－1)2＋(2sinα)2＝5＋4cosα＋5－4cosα＝10.所以|PM|2＋|PN|2为定值10.[能力挑战]7．[2019·成都市诊断性检测]在直角坐标系xOy中，曲线C的参x＝2cosα数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为y＝2＋2sinα3x＝3－t2(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴1y＝3＋2t为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点πAA(23).的点，且点的极坐标为，θ，其中θ∈2，π(1)求θ的值；(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．解析：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为(ρcosθ)2＋(ρsinθ－2)2＝4，即ρ＝4sinθ.3由ρ＝23，得sinθ＝，2π2π∵θ∈，π，∴θ＝.23(2)由题，易知直线l的普通方程为x＋3y－43＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ＋3ρsinθ－43＝0.2π又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，32πθ＝ρ≥0联立，得3，解得ρ＝43.ρcosθ＋3ρsinθ－43＝02π∴点B的极坐标为(43，)，3∴|AB|＝|ρB－ρA|＝43－23＝23.
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