人教A版高中数学必修一导学案全套（含答案）

人教A版高中数学必修一导学案全套1.1集合的概念学案【学习目标】知识目标1.了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号．2.深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ．3.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。核心素养1.数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法；2.逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用；3.数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算；4.数据 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：元素在集合中对应的参数满足的条件；5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。【重点与难点】重点：集合的基本概念，集合中元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法．难点：元素与集合的关系，选择适当的方法表示具体问题中的集合．【学习过程】一、预习导入阅读课本2-5页，填写。1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，把__________统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的________叫做集合(简称为_______)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的_______是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素的特性：_________、__________、___________．2．元素与集合的关系关系语言描述记法读法属于a是集合A中的元素a___Aa属于集合A不属于a不是集合A中的元素a___Aa不属于集合A3．常用的数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法_____________________4．列举法把集合的元素_____________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．5．描述法(1)定义：用集合所含元素的___________表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的__________及____________，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．【小试牛刀】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)你班所有的姓氏能组成集合．(　　)(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题．(　　)(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．(　　)(4)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．(　　)(5)集合{(1,2)}中的元素是1和2.(　　)(6)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．(　　)2．下列元素与集合的关系判断正确的是(　　)A．0∈N　　　　　　　　B．π∈QC.eq\r(2)∈QD．－1∉Z3．已知集合A中含有两个元素1，x2，且x∈A，则x的值是(　　)A．0B．1C．－1D．0或14．方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－3))的解集是(　　)A．(－1,2)　　　　　　　　B．(1，－2)C．{(－1,2)}D．{(1，－2)}5．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为(　　)A．{0,1,2,3,4}　　　　　　　B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}6．不等式4x－5<7的解集为________．【自主探究】例1　考查下列每组对象，能构成一个集合的是(　　)①某校高一年级成绩优秀的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④　　B．②③④C．②③D．②④例2　(1)下列关系中，正确的有(　　)①eq\f(1,2)∈R；②eq\r(2)∉Q；③|－3|∈N；④|－eq\r(3)|∈Q.A．1个B．2个C．3个D．4个(2)集合A中的元素x满足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．例3　已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．变式1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．变式2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？变式3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．例4　用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．例5　用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的正整数的集合；(2)坐标平面内第一象限的点的集合；(3)大于4的所有偶数．例6　(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝(　　)A．1B．2C．0D．0或1(2)设eq\f(1,2)∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－ax－\f(5,2)＝0))))，则集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(19,2)x－a＝0))))中所有元素之积为________．例7　用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合．变式1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？变式2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？【课堂检测】1．下列说法正确的是(　　)A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1,2,3和eq\r(9)，1，eq\r(4)组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素2．已知集合A由x<1的数构成，则有(　　)A．3∈A　　　　　　　　B．1∈AC．0∈AD．－1∉A3．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为(　　)A．2B．2或4C．4D．04．已知a，b是非零实数，代数式eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|ab|,ab)的值组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　)A．0∈MB．－1∈MC．3∉MD．1∈M5．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是(　　)A．2∈A，且2∈BB．(1,2)∈A，且(1,2)∈BC．2∈A，且(3,10)∈BD．(3,10)∈A，且2∈B6．定义P*Q＝{ab|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3}，则P*Q中元素的个数是(　　)A．6个B．7个C．8个D．9个7．下列说法中：①集合N与集合N＋是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号)．8．已知A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为________．9．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 小试牛刀1．答案：(1)√　(2)×　(3)×(4)×　(5)×　(6)√2-5．AACB6．{x|4x－5<7}自主探究例1B例2(1)C(2)0,1,2例3a＝－1.变式1．a＝2，或a＝eq\r(2)，或a＝－eq\r(2).变式2．a≠0且a≠1.变式3．a＝0.例4　(1){0,2,4,6,8,10}．(2){0,1，－1}．(3){(0,1)}．例5　(1){x|x＝3n＋1，n∈N}．(2){(x，y)|x＞0，y＞0}．(3){x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．例6　　(1)D　(2)eq\f(9,2)例7　{(x，y)|y＝x2＋1}．变式1解：集合{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}中的元素是全体实数．变式2解：集合{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，所以集合中的元素是大于等于1的全体实数．当堂检测1-6．CCBBCA　7．②④8．{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}9．解：当a＝0时，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))；当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－eq\f(9,16).故所求的a的取值范围是a≤－eq\f(9,16)或a＝0.1.2集合的基本关系学案【学习目标】1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．2.理解子集.真子集的概念．3.能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。【重点与难点】重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．难点：难点是属于关系与包含关系的区别．【学习过程】一、预习导入阅读课本7-8页，填写。1．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_____________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有_____________关系，称集合A为B的______.记作：A_________B(或B_________A)读作：A包含于B(或B包含A).图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（A______B且B______A），那么我们称这两个集合相等.记作：A______B读作：A等于B.图示：2.真子集若集合，存在元素x______B且x______A，则称集合A是集合B的真子集。记作：A______B（或B______A）读作：A真包含于B（或B真包含A）3．空集__________________的集合称为空集，记作：. 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 ：空集是任何集合的子集。4.常用结论（1）A__________A（类比）（2）空集是__________的子集，是_____________的真子集。（3）若则A__________C（类比，则）（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为________个，其真子集数为________个，特别地，空集的子集个数为________，真子集个数为________。【小试牛刀】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素．(　　)(2)任何一个集合都有子集．(　　)(3)若A＝B，则A⊆B.(　　)(4)空集是任何集合的真子集．(　　)2.用适当的符号填空1 a______{a,b,c}2 0_______{x|x2=0}3 ∅________{x∈R|x2+1=0}(4){0,1}_____N5 ∅_____{x|x2=x}   （6）{2,1}____{x|x2-3x+2=0}3．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.【自主探究】例1(1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;(2)填写下表,并回答问题:由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?例2　下列能正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}的关系的维恩图是(　　)例3已知集合A={x|-52},B={x|2a-33}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．答案小试牛刀1．答案：(1)×　(2)√　(3)√(4)×　2．（1）∈（2）=（3）=（4）⊆（5）⊈（6）=3．-1自主探究例1【答案】见解析【解析】分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.解:(1)不含任何元素的子集为⌀;含有一个元素的子集为{0},{1},{2};含有两个元素的子集为{0,1},{0,2},{1,2};含有三个元素的子集为{0,1,2}.故集合{0,1,2}的所有子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集.(2)由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.例2【答案】B【解析】∵N={x|x2+x=0}={x|x=0或x=-1}={0,-1},∴N⫋M,故选B.例3【答案】见解析【解析】分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.解:(1)若a=-1,则B={x|-52a－1，得a<1.②当B≠∅时，∵B⊆A，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>3，,a≤2a－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1<－2，,a≤2a－1))成立，解得a>3；综上可知，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}．1.3集合的基本运算学案【学习目标】知识目标1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；2.理解全集和补集的含义，能求给定集合的补集；3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.核心素养1.数学抽象：并集、交集、全集、补集含义的理解；2.逻辑推理：并集、交集及补集的性质的推导；3.数学运算：求两个集合的并集、交集及补集，已知并集、交集及补集的性质求参数（参数的范围）；4.数据分析：通过并集、交集及补集的性质列不等式组，此过程中重点关注端点是否含“=”及∅问题；5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。【重点与难点】重点：1.交集、并集定义的三种语言的表达方式及交集、并集的区别与联系；2全集与补集的定义.难点：利用交集并集补集含义和Venn图解决一些与集合的运算有关的问题．【学习过程】一、预习导入阅读课本10-13页，填写。1、并集一般地，由____________集合A__________集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：_________（读作：“________”）即：A∪B=________________Venn图表示2交集一般地，由____________集合A____________集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作：___________（读作：__________）即：A∩B=_______________Venn图表示3．全集一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的____________，那么就称这个集合为全集，通常记作_______。4．补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有____________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集，记作：____________CUA即：CUA=____________补集的Venn图表示5.常用结论：（1）A∩B___A，A∩B___B，A∩A=___，A∩=___,A∩B___B∩A；（2）A___A∪B，B___A∪B，A∪A=___，A∪=___,A∪B___B∪A；（3）（CUA）∪A=___，（CUA）∩A=___；（4）若A∩B=A，则A___B，反之也成立；（5）若A∪B=B，则A___B，反之也成立.【小试牛刀】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）集合A∪B中的元素个数就是集合A和集合B中所有元素的个数和.（）（2）当集合A与集合B没有公共元素时,集合A与集合B就没有交集.（）（3）若A∪B=⌀,则A=B=⌀.（）（4）若A∩B=⌀,则A=B=⌀.（）（5）若A∪B=A∪C,则B=C.（）（6）∁A⌀=A.（）（7）∁U(A∪B)=(∁UA)∪(∁UB).（）2．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于(　　)A．{0,1}　　　　　　　B．{－1,0,1}C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2}3．若集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A∩B=(　　)A．{x|－3＜x＜2}B．{x|－5＜x＜2}C．{x|－3＜x＜3}D．{x|－5＜x＜3}4．全集U＝{x|0＜x＜10}，A＝{x|0＜x＜5}，则∁UA＝________.【自主探究】例1（单一运算）1.求下列两个集合的并集和交集:(1)A={1,2,3,4,5},B={-1,0,1,2,3};(2)A={x|x+1>0},B={x|-2－2C．a>－1D．－15}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．8．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}．(1)当a＝10时，求A∩B，A∪B；(2)求能使A⊆(A∩B)成立的a的取值范围．答案小试牛刀1．(1)×　(2)×　(3)√(4)×　(5)×　(6)√　(7)×2．D3．A4.{x|5≤x＜10}自主探究例1【答案】见解析【解析】1.(1)如图所示,A∪B={-1,0,1,2,3,4,5},A∩B={1,2,3}.(2)由题意知A={x|x>-1},用数轴表示集合A和B,如图所示,则数轴上方所有“线”下面的实数组成了A∪B,故A∪B={x|x>-2},数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了A∩B,故A∩B={x|-10,b>0”是“ab>0”的　　　　条件.(3)“若p,则q”的逆命题为真,则p是q的　　　　条件.3．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【自主探究】题型一充分条件、必要条件、充要条件的判断例1指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(4)p：a＜b，q：eq\f(a,b)＜1.解题技巧：（充分条件与必要条件的判断方法）(1)定义法若p⇒q，q⇏p，则p是q的充分不必要条件；若p⇏q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；若p⇏q，q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合法对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⫋B，则p是q的充分不必要条件；若B⫋A，则p是q的必要不充分条件．　(3)等价法等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．跟踪训练一1．设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件题型二充要条件的探求与证明例2　(1)“x2－4x<0”的一个充分不必要条件为(　　)A．00D．x<4(2)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要条件是xy>0.解题技巧：(探求充要条件一般有两种方法)(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．跟踪训练二2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是(　　)A．x∈(0,2)　　B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0,1)D．x∈(1,3)(2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.题型三利用充分、必要条件求参数的范围例3　已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为____变式．[变条件]【例3】本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．解题技巧：（利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围）(1)化简p、q两命题，(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，(3)利用集合间的关系建立不等关系，(4)求解参数范围．跟踪训练三3．已知P＝{x|a－4a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．5．下列说法正确的是________．(填序号)①“x＞0”是“x＞1”的必要条件；②“a3＞b3”是“a＞b”的必要而不充分条件；③在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分条件；6．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；7．已知p：x2－2x－3<0，若－a∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件．(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即﹁q⇒﹁p，但﹁p⇒﹁q，所以p是q的充分不必要条件．(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．(4)由于a＜b，当b＜0时，eq\f(a,b)＞1；当b＞0时，eq\f(a,b)＜1，故若a＜b，不一定有eq\f(a,b)＜1；当a＞0，b＞0，eq\f(a,b)＜1时，可以推出a＜b；当a＜0，b＜0，eq\f(a,b)＜1时，可以推出a＞b.因此p是q的既不充分也不必要条件．跟踪训练一1．【答案】D例2　【答案】（1）B（2）见解析【解析】(1)由x2－4x<0得00及x>y，得eq\f(x,xy)>eq\f(y,xy)，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y).必要性：由eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，得eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0，即eq\f(y－x,xy)<0.因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要条件是xy>0.法二：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)⇔eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0⇔eq\f(y－x,xy)<0.由条件x>y⇔y－x<0，故由eq\f(y－x,xy)<0⇔xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)⇔xy>0，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要条件是xy>0.跟踪训练二2．【答案】（1）B（2）见解析【解析】（1）由x(x－2)<0得00)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qeq\o(⇒,/)p.即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,m>0，,1＋m>10，))解得m≥9.变式．【答案】见解析【解析】由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)得1－m≤x≤1＋m(m>0)因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且peq\o(⇒,/)q.则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}⫋{x|－2≤x≤10}所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0,1－m≥－2,1＋m≤10))，解得00)．依题意，得{x|－10)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a≤－1，,1＋a≥3，,2a>4，))解得a>2，则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b≤2，即(－∞，2]．8．【答案】见解析【解析】当a＝0时，x＝－eq\f(1,2)符合题意．当a≠0时，令f(x)＝ax2＋2x＋1，由于f(0)＝1＞0，当a＞0时，－eq\f(1,a)<0，若Δ＝4－4a≥0，则a≤1，即0＜a≤1时，f(x)有两个负实数根．当a＜0时，因为f(0)＝1，Δ＝4－4a＞0恒成立，所以方程恒有负实数根．综上所述，a≤1为所求．1.5全称量词与存在量词学案【学习目标】1.理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系.【重点与难点】重点：通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．难点：全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定.【学习过程】一、预习导入阅读课本24-29页，填写。1.全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做_________,并用符号“∀”表示.(2)含有全称量词的命题,叫做_____________.(3)全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:_____________,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.(4)全称量词命题的真假判断:要判断一个全称命题量词是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个∈M,使得p()不成立即可.2.存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做_____________,并用符号“∃”表示.(2)含有存在量词的命题,叫做_____________.(3)存在量词命题的表述形式:存在M中的一个x0,使p(x0)成立,可简记为:_____________,读作“存在M中的元素,使p()成立”.(4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个,使得命题p()成立即可;否则这一命题就是假命题.3.全称命题与特称命题的否定命题类型全称量词命题存在量词命题形式∀x∈M,p(x)∃∈M,p()否定结论全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题的否定是全称量词命题4.点拨：常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”.只要含有这些量词,或者命题具有全称量词所表达的含义,就是全称量词命题.常用的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等.只要含有这些量词,或者命题具有特称量词所表达的含义,就是存在量词命题.写出一个全称量词命题或存在量词命题的否定时,通常要将命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定.全称量词命题(或存在量词命题)与其否定的真假性恰好相反.【小试牛刀】1.给出下列命题:①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.其中全称命题的个数为(　　)A.0B.1C.2D.32.给出下列命题,①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④对于任意x∈R,总有|sinx|≤1.其中特称命题的个数是(　　)A.0B.1C.2D.33.命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为(　　)A.存在一个三角形的内角和等于180°B.所有三角形的内角和都等于180°C.所有三角形的内角和都不等于180°D.很多三角形的内角和不等于180°4.命题“∀x∈Z,4x-1是奇数”的否定是________.　【自主探究】题型一全称量词命题与存在量词命题的辨析例1判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题:(1)负数没有对数;(2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除;(3)∀x∈{x|x是无理数},是无理数;(4)是无理数}，是无理数.解题技巧：（判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法）(1)分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称量词命题,含有存在量词的命题是存在量词命题.(2)当命题中不含量词时,要注意根据命题的含义进行判断.(3)全称量词命题有时会省略全称量词,但存在量词命题的量词一般不能省略.跟踪训练一1.下列命题中,是全称量词命题的是_____,是存在量词命题的是_______.(填序号) ①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.题型二全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2　判断下列命题的真假1.所有的素数都是奇数；2.3.有一个实数，使4.平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线。解题技巧：(全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧)(1)全称量词命题:要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可.(2)存在量词命题:要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.跟踪训练二2．给出下列命题:①有一个实数x,使tanx无意义;②∀x∈R,3-x+1>2;③所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径.其中真命题的个数是(　　)A.1B.2C.3D.0题型三全称量词命题与存在量词命题的否定例3　写出下列命题的否定,并判断其真假:(1)有些质数是奇数;(2)菱形的对角线互相垂直;(4)不论m取何实数,方程x2+2x-m=0都有实数根.解题技巧：（含有一个量词的命题的否定方法）(1)一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到其量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论.(2)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定.跟踪训练三3．写出下列命题的否定,并判断其真假:(1)p:∀x∈R,x2-x+≥0;(2)q:所有的正方形都是矩形;(3)r:∃x∈R,x2+3x+7≤0;(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.【课堂检测】1．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则p为(　　)A．∀n∈N，n2>2nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数3．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命题，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，1)B．(－∞，1]C．(－1,1)D．(－1,1]4．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________．5．下列命题是真命题的有________．(1)∀x∈{1,3,5},5x＋2是奇数；(2)∃x∈R，x2－6x－5＝0；(3)∀x∈R，|x＋1|＞0.6．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)非负数的平方是正数．(2)有的四边形没有外接圆．7．若命题“∃x∈R，ax2－ax－2>0”是假命题，求a的取值范围？答案小试牛刀1．C2．B3．B4.∃∈Z,4-1不是奇数自主探究例1【答案】(1)和(3)为全称量词命题;(2)和(4)为存在量词命题.跟踪训练一【答案】①②③　④例2　【答案】真命题：2,4假命题：1,3跟踪训练二【答案】B例3　【答案】见解析【解析】(1)“有些质数是奇数”是存在量词命题,其否定为“所有质数都不是奇数”,它是假命题.“菱形的对角线互相垂直”是全称量词命题,其否定为“有的菱形的对角线不垂直”,它是假命题.是存在量词命题，其否定为，它是真命题。(4)“不论m取何实数,方程x2+2x-m=0都有实数根”是全称量词命题,其否定为“存在实数m0,使得方程x2+2x-m0=0没有实数根”,它是真命题.跟踪训练三【答案】见解析【解析】(1)p:∃x∈R,x2-x+14<0.∵∀x∈R,x2-x+14=x-122≥0恒成立,∴p是假命题.(2)q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.(3)r:∀x∈R,x2+3x+7>0.∵∀x∈R,x2+3x+7=x+322+194>0恒成立,∴r是真命题.(4)s:∀x∈R,x3+1≠0.∵当x=-1时,x3+1=0,∴s是假命题.当堂检测1-3．CDA4．所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝05．(1)(2)6．(1)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数．”因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．(2)命题的否定：“所有四边形都有外接圆．”因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题.7．【答案】见解析【解析】“∃x∈R，ax2－ax－2>0”是假命题，则“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，当a＝0时，－2≤0.符合题意．当a≠0时，要满足∀x∈R，ax2－ax－2≤0，需有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,a2＋8a≤0，))解得－8≤a<0，综上，a的取值范围是[－8,0]．2.1等式关系与不等式关系学案【学习目标】知识目标1.掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2.进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3.通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。核心素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.