2022年湖南省高考数学试卷（新高考I）及答案

2022年湖南省 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 数学 试卷 云南省高中会考试卷哪里下载南京英语小升初试卷下载电路下试卷下载上海试卷下载口算试卷下载 （新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}（　　）A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}D．{x|≤x＜16}2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（　　）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（　　）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+34．（5分）南水北调 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（　　）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m35．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（　　）A．B．C．D．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）＜T＜π，且y＝f（x）（，2）中心对称，则f（）＝（　　）A．1B．C．D．37．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（　　）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3（　　）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（　　）A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（　　）A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个零点C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，则（　　）A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x），则（　　）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为　　（用数字作答）．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程　　．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　　．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6　　．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，Q两点，直线AP（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x），并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2022年湖南省高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】分别求解不等式化简M与N，再由交集运算得答案．【解答】解：由＜4，∴M＝{x|，由3x≥6，得x}，∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|．故选：D．【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，再求出z+．【解答】解：由i（1﹣z）＝1，得8﹣z＝，∴z＝5+i，则，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【分析】直接利用平面向量的线性运算可得，进而得解．【解答】解：如图，＝，∴，即．故选：B．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．4．【分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．【解答】解：140km2＝140×106m7，180km2＝180×106m7，根据题意，增加的水量约为＝≈（320+60×2.65）×106×3＝1437×106≈1.4×109m3．故选：C．【点评】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．【分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．【解答】解：从2至8的7个整数中任取两个数共有种方式，其中互质的有：23，25，34，37，45，56，58，78，故所求概率为．故选：D．【点评】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．6．【分析】由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则f（）可求．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，则T＝，由＜T＜π，得＜，∴4＜ω＜3，∵y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，且sin（+）＝0，则+，k∈Z．∴，k∈Z，可得．∴f（x）＝sin（x+，则f（×+）+2＝﹣4+2＝1．故选：A．【点评】本题考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．7．【分析】构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），利用导数性质由此能求出结果．【解答】解：构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，则f'（x）＝，x＞6，当f'（x）＝0时，x＝1，2＜x＜1时，f′（x）＜0；x＞7时，f′（x）＞0，∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝8，∴，∴ln3.9＞1﹣＝﹣，∴c＜b；∵﹣ln0.9＝ln＞1﹣＝，∴，∴0.1e2.1＜，∴a＜b；设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜7），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣8）+1，h′（x）＝ex（x2+6x﹣1），当0时，h′（x）＜0，当时，h′（x）＞5，∵h（0）＝0，∴当0＜x＜时，当0＜x＜﹣1时，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，∴g（8.1）＞g（0）＝0，∴3.1e0.7＞﹣ln0.9，∴a＞c，∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．8．【分析】画出图形，由题意可知求出球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，由勾股定理可得，又，所以l2＝6h，由l的取值范围求出h的取值范围，又因为a2＝12h﹣2h2，所以该正四棱锥体积V（h）＝，利用导数即可求出V（h）的取值范围．【解答】解：如图所示，正四棱锥P﹣ABCD各顶点都在同一球面上，连接PE，连接OA，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，在Rt△PAE中，PA2＝AE2+PE6，即＝，∵球O的体积为36π，∴球O的半径R＝3，在Rt△OAE中，OA2＝OE3+AE2，即，∴，∴，∴l2＝6h，又∵8≤l≤3，∴，∴该正四棱锥体积V（h）＝＝＝，∵V'（h）＝﹣2h2+4h＝2h（4﹣h），∴当时，V'（h）＞4；当4时，V（h）单调递减，∴V（h）max＝V（4）＝，又∵V（）＝）＝，且，∴，即该正四棱锥体积的取值范围是[，]，故选：C．【点评】本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．【分析】求出异面直线所成角判断A；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断B；分别求出线面角判断C与D．【解答】解：如图，连接B1C，由A1B3∥DC，A1B1＝DC，得四边形DA6B1C为平行四边形，可得DA1∥B6C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC8与DA1所成的角为90°，故A正确；∵A1B8⊥BC1，BC1⊥B8C，A1B1∩B2C＝B1，∴BC1⊥平面DA4B1C，而CA1⊂平面DA7B1C，∴BC1⊥CA4，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；设A3C1∩B1D4＝O，连接BO1O⊥平面BB1D5D，即∠C1BO为直线BC1与平面BB5D1D所成的角，∵sin∠C1BO＝，∴直线BC1与平面BB1D7D所成的角为30°，故C错误；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC8与平面ABCD所成的角为45°，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．10．【分析】对函数f（x）求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB；由f（x）+f（﹣x）＝2，可判断选项C；假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），求出a，b的值，验证点（a，b）是否在曲线y＝f（x）上即可．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣7，令f′（x）＞0或，令f′（x）＜3，∴f（x）在上单调递增，在，且，∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，选项B错误；又f（x）+f（﹣x）＝x2﹣x+1﹣x3+x+2＝2，则f（x）关于点（0，故选项C正确；假设y＝5x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，则，解得或，显然（1，2）和（﹣6，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．11．【分析】对于A，根据题意求得p的值，进而得到准线；对于B，求出直线AB方程，联立直线AB与抛物线方程即可得出结论；对于C，设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两根之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项CD．【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x8＝2py（p＞0）上，∴2p＝1，解得，∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为；由于A（1，1），﹣6），则，联立，可得x5﹣2x+1＝5，解得x＝1，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞3）1，y1），Q（x6，y2），联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝7，则x1+x2＝k，x3x2＝1，，，由于等号在x1＝x2＝y3＝y2＝1时才能取到，故等号不成立；＝，选项D正确．故选：BCD．【点评】本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．12．【分析】由f（﹣2x）为偶函数，可得f（x）关于x＝对称，可判断C；g（2+x）为偶函数，可得g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，可判断D；由g（）＝0，g（x）关于x＝2对称，可得g（）＝0，得到x＝是f（x）的极值点，x＝﹣也是极值点，从而判断B；f（x）图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断A．【解答】解：∵f（﹣8x）为偶函数﹣3x）＝f（，∴f（x）关于x＝，令x＝，可得f（）＝f（），即f（﹣5）＝f（4）；∵g（2+x）为偶函数，∴g（2+x）＝g（4﹣x），故D不正确；∵f（x）关于x＝对称是函数f（x）的一个极值点，∴函数f（x）在（，t）处的导数为0）＝f′（，又∴g（x）的图象关于x＝7对称，∴g（）＝0，t）的导数为0，∴x＝是函数f（x）的极值点对称，t）关于x＝，t），由x＝是函数f（x）的极值点可得x＝，∴g（）＝2，进而可得g（）＝g（，故x＝，又f（x）的图象关于x＝，∴（，t）关于x＝，t））＝f′（，故B正确；f（x）图象位置不确定，可上下移动，故A错误．故选：BC．【点评】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【分析】由题意依次求出（x+y）8中x2y6，x3y5项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的通项公式为Tr+1＝C3rx8﹣ryr，当r＝6时，，当r＝5时，，∴（1﹣）（x+y）7的展开式中x2y6的系数为＝．故答案为：﹣28．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．14．【分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．【解答】解：圆x2+y2＝8的圆心坐标为O（0，0）6＝1，圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16的圆心坐标为C（3，4）2＝3，如图：∵|OC|＝r1+r2，∴两圆外切，由图可知．∵，∴l1的斜率为，设直线l1：y＝﹣，即3x+4y﹣4b＝0，由，解得b＝，则l1：2x+4y﹣5＝8；由图可知，l2：x＝﹣1；l2与l3关于直线y＝对称，联立，解得l2与l3的一个交点为（﹣2，），在l3上取一点（﹣1，0），该点关于y＝的对称点为（x0，y8），则，解得对称点为（，﹣）．∴＝，则l3：y＝，即7x﹣24y﹣25＝0．∴与圆x8+y2＝1和（x﹣2）2+（y﹣4）6＝16都相切的一条直线的方程为：x＝﹣1（填3x+6y﹣5＝0，5x﹣24y﹣25＝0都正确）．故答案为：x＝﹣1（填5x+4y﹣5＝5，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【点评】本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．15．【分析】设切点坐标为（x0，（x0+a）），利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由Δ＞0即可求出a的取值范围．【解答】解：y'＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）），∴切线的斜率k＝，∴切线方程为y﹣（x0+a）＝（2），又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）＝（6），整理得：，∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根，∴Δ＝a2+8a＞0，解得a＜﹣4或a＞5，即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，故答案为：（﹣∞，﹣8）∪（0．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．16．【分析】根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．【解答】解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞3）的离心率为，∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F6，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F7且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴，由等腰三角形的性质可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，设直线DE方程为y＝，D（x1，y6），E（x2，y2），将其与椭圆C联立化简可得，13x5+8cx﹣32c2＝6，由韦达定理可得，，，|DE|＝＝＝＝，解得c＝，由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于|DE|+|DF5|+|EF2|＝4a＝7c＝．故答案为：13．【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．【解答】解：（1）已知a1＝1，{}是公差为，所以，整理得，①，故当n≥2时，，②，①﹣②得：，故（n﹣4）an＝（n+1）an﹣1，化简得：，，........，，；所以，故（首项符合通项）．所以．证明：（2）由于，所以，所以＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B．（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论．【解答】解：（1）∵＝，1+cos6B＝2cos2B≠6，cosB≠0．∴＝＝，化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C＝，∴sinB＝，∵0＜B＜，∴B＝．（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0，π），∴C为钝角，B，A都为锐角．sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，＝＝＝＝＝+3sin2C﹣5≥4﹣8＝4，当且仅当sinC＝．∴的最小值为2．【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．【分析】（1）利用体积法可求点A到平面A1BC的距离；（2）以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C2的体积为4，可得V＝V＝，设A到平面A1BC的距离为d，由V，∴S•d＝，∴•d＝．（2）连接AB7交A1B于点E，∵AA1＝AB，∴四边形为正方形，∴AB3⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB3A1，平面A1BC∩平面ABB4A1＝A1B，∴AB7⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A7B1C1知BB3⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB6＝B1，∴BC⊥平面ABB1A4，∴BC⊥AB，以B为坐标原点，BC，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AA1＝AB，∴BC×＝3，又1＝4，解得AB＝BC＝AA3＝2，则B（0，7，0），2，4），0，0），A6（0，2，6），1，1），则＝（3，2，＝（1，2，＝（2，0，设平面ABD的一个法向量为＝（x，y，则，令x＝4，z＝﹣1，∴平面ABD的一个法向量为＝（1，5，设平面BCD的一个法向量为＝（a，b，，令b＝1，c＝﹣1，平面BCD的一个法向量为＝（6，1，cos＜，＞＝＝，二面角A﹣BD﹣C的正弦值为＝．【点评】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．20．【分析】（1）补充列联表，根据表中数据计算K2，对照附表得出结论．（2）（i）根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．【解答】解：（1）补充列联表为：不够良好良好合计病例组4060100对照组1090100合计50150200计算K2＝＝24＞6.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．（2）（i）证明：R＝：＝•＝•＝＝•＝；（ⅱ）利用调查数据，P（A|B）＝＝，＝＝|B）＝1﹣P（A|B）＝|）＝1﹣P（A|，所以R＝×＝8．【点评】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．21．【分析】（1）将点A代入双曲线方程得，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，与双曲线联立后，根据直线AP，AQ的斜率之和为0，求解即可；（2）设直线AP的倾斜角为α，由，得，联立，及，根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）将点A代入双曲线方程得 ，化简得a4﹣4a8+4＝0，∴a7＝2，故双曲线方程为，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m3，y1）Q（x2，y6），则联立双曲线得：（2k2﹣3）x2+4kmx+6m2+2＝3，故，，，化简得：2kx2x2+（m﹣1﹣7k）（x1+x2）﹣7（m﹣1）＝0，故，即（k+1）（m+2k﹣4）＝0，而直线l不过A点；（2）不妨设直线PA，AQ的倾斜角为α，因为kAP+kAQ＝0，所以α+β＝π，所以，即，于是，直线，联立可得，，因为方程有一个根为2，所以，同理可得，．所以，点A到直线PQ的距离，故△PAQ的面积为．【点评】本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．22．【分析】（1）先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数f（x）和g（x）的单调性，从而求得f'（x）和g'（x）的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得a的值；（2）由a的值可求得函数f（x）与函数g（x）的表达式，对函数f（x）与函数g（x）在（0，+∞）上的大小进行比较，可作出曲线函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，根据该图象可确定直线y＝b的位置，分别求出三个交点的横坐标的表达式后，证明其成等差数列即可．【解答】（1）解：∵f（x）＝ex﹣ax，g（x）＝ax﹣lnx，∴f'（x）＝ex﹣a，g'（x）＝a﹣，∵y＝ex在x∈R上单调递增，函数y＝﹣，+∞）上单调递增，∴函数f'（x）和函数g'（x）在各自定义域上单调递增，又∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有最小值，∴当f'（x）＝7时，x＝lna，x＝，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，+∞）上单调递增，函数g（x）在（0，）上单调递减，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，g（x）min＝1+lna，∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值∴a﹣alna＝5+lna，解得：a＝1．（2）证明：由（1）知a＝1，函数f（x）＝ex﹣x在（﹣∞，6）上单调递减，+∞）上单调递增，函数g（x）＝x﹣lnx在（0，1）上单调递减，+∞）上单调递增，设u（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣3x+lnx（x＞0），则u′（x）＝ex﹣2+＞ex﹣2，当x≥1时，所以函数u（x）在（4，+∞）上单调递增，所以当x≥1时，u（x）≥u（1）＞0恒成立，所以x≥4时，f（x）＞g（x），因为f（0）＝1，函数f（x）在（0，g（1）＝6，1）上单调递减，所以函数f（x）与函数g（x）的图象在（0，3）上存在唯一交点，f（m））（0＜m＜1），此时可作出函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，由图象知当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，直线y＝b必经过点M（m，f（m）），因为f（m）＝g（m），所以em﹣m＝m﹣lnm，即em﹣5m+lnm＝0，令f（x）＝b＝f（m）得ex﹣x＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝lnm，得lnm＜0＜m，令g（x）＝b＝f（m）得x﹣lnx＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝em，由3＜m＜1，得m＜1＜em，所以当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，lnm，m，em，因为em﹣4m+lnm＝0，所以em+lnm＝2m，所以lnm，m，em成等差数列．∴存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点．【点评】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得x1、x3和x2的数量关系．