高中数学资料分享群：464397488导数单调性十种题型归纳一.求单调区间二.函数单调性的判定与逆用三.利用单调性求字母取值范围四.比较大小五.证明不等式六.求极值七.求最值八.解不等式九.函数零点个数（方程根的个数）十.探究函数图像一.求单调区间例1.已知函数，求函数的单调区间解：.则令因为当所以所以在上是增函数,又,所以不等式的解集为,故函数的单调增区间为减区间为：变式：已知，求的单调区间解：当时，，单调递增当时，由得：，在单调递增由得：，在单调递增综上所述：当时，的单调递增区间为：，无单调递减区间当时，的单调递增区间为：，递减区间为：二.函数单调性的判定与逆用例2.已知函数在上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数的取值集合解：因为函数在上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数所以在上有解所以又解得：所以正整数的取值集合三.利用单调性求字母取值范围例3.已知函数，若函数在上是减函数，求实数的最小值.解：因为在上是减函数所以在上恒成立即在上恒成立令，则则因为所以所以变式：若函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围.解：因为函数在区间上为减函数，在区间上为增函数所以恒成立即所以所以所以四.比较大小例4.设为实数，当时，比较与的大小关系.解：令则令则令得：当时，；当时，所以因为所以所以在上单调递增所以即所以变式：对于上的可导函数，若满足，比较与的大小关系.解：因为所以当时，，单调递增，故当时，，单调递减，故所以五.证明不等式例5.已知函数，.证明：当时，存在，使得对任意的，恒有.证明：令则有当时，，故在上单调递增，.故任意实数均满足题意.当时，令，得.当时，，故在上单调递增当时，，故在上单调递减取，对任意，有，故在上单调递增所以即综上所述：当时，存在，使得对任意的，恒有.变式：已知关于的方程有两个不同的实数根.求证：证明：因为所以令则当时，单调递减当时，单调递增因为关于的方程有两个不同的实数根所以不妨设要证：只需证：因为，且函数在上单调递减所以只需证：，又因为所以只需证：即证：即证：对恒成立令，则因为所以所以恒成立所以在上单调递减所以综上所述：六.求极值例6.已知函数，是否存在实数，使得函数的极大值为3？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.解：令得：当时，恒成立，无极值，舍去当时， 递增 极大值 递减 极小值 递增由表可知：解得：当时， 递增 极大值 递减 极小值 递增由表可知：，即所以：令则所以在上单调递增又所以函数在上无零点即方程无解综上所述：存在实数，使得函数的极大值为3，此时七.求最值例7.已知函数，若存在,使得（其中是自然对数的底数),求实数的取值范围.解：因为存在,使得成立,而当时,,所以只要即可又因为,,的变化情况如下表所示: 减函数 极小值 增函数所以在上是减函数,在上是增函数,所以当时,的最小值,的最大值为和中的最大值.因为,令,因为,所以在上是增函数.而,故当时,,即;当时,,即所以,当时,,即,函数在上是增函数,解得;当时,,即,函数在上是减函数,解得.综上可知,所求的取值范围为我变式：已知函数在区间上的最小值为1，求实数的值.解：令则所以在区间单调递增所以存在唯一的，使得即所以当时，，单调递减当时，，单调递增所以由得：所以当且仅当即，由得，此时，满足条件所以八.解不等式例8.函数，对任意，解不等式：解：令则因为对任意所以，所以为上的单调递增函数又所以当即所以所以即不等式：的解集为变式：已知定义在上的可导函数满足，若，求的取值范围.解：令则因为所以所以为上递减函数由得：即所以即九.函数零点个数（方程根的个数）例9.已知在处取得极值.若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.解：因为在处取得极值所以，即，检验知符合题意.令 递增 极大值 递减 所以因为方程在区间上恰有两个不同的实数根所以，即解得：所以实数的取值范围是：变式：已知函数是上的可导函数，当时，有，判断函数的零点个数解：当时，有即令，则所以当时，，函数在单调递增且所以当时，恒成立，函数无零点当时，，函数在单调递减且恒成立所以在上为单调递减函数且当时，，所以当时，，所以所以在上有唯一零点综上所述：在上有唯一零点十.探究函数图像例10.设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图像可能为下列图像的.（4）（3）（2）（1）解：由的图像可判断出：在递减，在上先增后减再增所以在上，在上先有，后有，再有.所以图（4）符合.变式：已知函数，若关于的不等式只有两个整数解，求实数的取值范围.解：，令得所以当时，单调递增当时，单调递减由当时，，当时，作出的大致函数图像如图所示：因为（1）若，即，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；（2）若，则，由图像可知，，有无穷多整数解（舍）（3）若则，由图像可知，无整数解，所以有两个整数解因为，且在上单调递减所以的两个整数解为：又所以所以
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