河南省一般高等学校选拔优异专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号一二三四五总分分值603040146150注意事项：答题前，考生务必将自己姓名、座位号、考生号涂写在答题卡上。本试卷
试题
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答案在答题卡上，答试卷上无效。一、选择题（每小题2分，累计60分）在每小题四个备选答案中选出一个正确答案，有铅笔把答题卡上对应题目标标号涂黑。如需改动，用橡皮擦洁净后，再涂其它答案标号.1.下列函数相等是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D.解：注意函数定义范围、解析式，应选D.2.下列函数中为奇函数是（）A.B.C.D.【答案】C.解:，，选C.3．极限值是()A.B.C.0D.不存在【答案】D.解：，，应选D.4.当初，下列无穷小量中和等价是（）A.B.C.D.【答案】C.解:由等价无穷小量
公式
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，应选C.5.设，则是（）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点【答案】B.解:是可去间断点,应选B.6.已知函数可导，且，则（）A.2B.-1C.1D.-2【答案】D.解：，应选D.7.设含有四阶导数且，则（）A．B．C．1D．【答案】D.解：，，应选D.8.曲线在对应点处法线方程（）A.B.C.D.【答案】A.解：，应选A.9.已知，且，则（）A．B.C.D.【答案】B.解:由得，把代入得,所以,应选B.10.函数在某点处连续是其在该点处可导（）A.必需条件B.充足条件C.充足必需条件D.无关条件【答案】A.解:依据可导和连续关系知，应选A.11.曲线凸区间为（）A.B.C.D.【答案】A.解:，，应选A.12.设（）A.仅有水平渐近线B.现有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线【答案】B.解:，，应选B.13.下列说法正确是（）A.函数极值点一定是函数驻点B.函数驻点一定是函数极值点C.二阶导数非零驻点一定是极值点D.以上说法全部不对【答案】D.解:依据极值点和驻点关系和第二充足条件，应选D.14.设函数在连续，且不是常数函数,若，则在内（）A.必有最大值或最小值B.现有最大值又有最小值C.现有极大值又有极小值D.最少存在一点，使【答案】A.解:依据连续函数在闭区间上性质及条件,在对应开区间内最少有一个最值,应选A.15.若一个原函数为，则（）A.B.C.D.【答案】B.解:,应选B.16.若，则（）A.B.C.D.【答案】C.解:=,应选C.17.下列不等式不成立是（）A.B.C.D.【答案】D.解:依据定积分保序性定理，应有，应选D.18.=（）A.B.C.D.【答案】C.解:因,考察积分可加性有，应选C.19．下列广义积分收敛是（）A.B.C.D.【答案】C.解:由广义积分性质和结论可知:是积分,收敛,应选C.20.方程在空间直角坐标系中
表
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示曲面是（）A.球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.圆柱面【答案】C.解:依据方程特点是抛物面,又因两个平方项系数相等,从而方程在空间直角坐标系中表示曲面是旋转抛物面,应选C.21.设，，则和夹角为（）A．B．C．D．【答案】D.解:,应选D.22.直线和平面位置关系是()A.平行但直线不在平面内B.直线在平面内C.垂直D.相交但不垂直【答案】A.解:因,直线在平面内或平行但直线不在平面内.又直线上点不在平面内.故直线和平面位置关系是平行但直线不在平面内,应选A.23.设在点处有偏导数，则（)A.B.C.D.【答案】B.解:原式应选B.24．函数全微（）A．B．C．D．【答案】D解：，应选D25．化为极坐标形式为（）A．B．C．D．【答案】D.解:积分区域有,应选D.26.设L是以A(-1,0),B(-3,2),C(3,0)为顶点三角形区域边界，方向为ABCA,则A.-8B.0C8D.20【答案】A.解:由格林公式知,，应选A.27.下列微分方程中，可分离变量是（）A．B．C．D．【答案】C.解:依据可分离变量微分特点,可化为知,应选C.28.若级数收敛，则下列级数收敛是（）A．B．C．D．【答案】A.解:由级数收敛性质知,收敛,其它三个一定发散,应选A.29.函数幂级数展开为（）A．B．C．D．【答案】C.解:依据可知,,应选C.30.级数在处收敛，则此级数在处（）A．条件收敛B．绝对收敛C．发散D．无法确定【答案】B.解:令,级数化为,问题转化为:处收敛,确定处是否收敛.由阿贝尔定理知是绝对收敛,故应选B.二、填空题（每小题2分，共30分）31.已知，则.解：.32.当初，和等价，则.解：.33.若，则.解：因，所以有.34.设函数在内四处连续，则.解：函数在内四处连续，当然在处一定连续，又因为，所以.35.曲线在（2，2）点处切线方程为___________.解：因.36.函数在区间[0，2]上使用拉格朗日中值定理结论中.解：.37.函数单调降低区间是_________.解：,应填或或或.38.已知则.解：.39.设向量和共线，且,则_________.解：因向量和共线,可设为，,所以.40.设，则_______.解：.41．函数驻点为________.解：.42．区域为，则.解：利用对称性知其值为0或.43.交换积分次序后,.解：积分区域,则有.44.是特解，则该方程通解为_________.解：通解为，依据方程解结构,原方程通解为.45.已知级数部分和，则当初，.解：当初,.三、计算题（每小题5分，共40分）46．求.解：.47.设是由方程确定隐函数，求.解：方程两边对求导得即所以.48.已知，求.解：方程两边对求导得，即，所以.故.49.求定积分.解：.50.已知求全微分.解：因,,且它们在定义域全部连续，从而函数可微，并有.51.求，其中区域由直线围成.解：积分区域图所表示：把看作Y型区域，且有故有.52.求微分方程通解.解：这是一阶线性非齐次微分方程，它对应齐次微分方程通解为，设原方程解为代入方程得,即有，所以,故原方程通解为.53.求幂级数收敛区间（考虑区间端点）.解：这是标准缺项幂级数，考察正项级数，因,当，即时，级数是绝对收敛；当，即时，级数是发散；当，即时，级数化为，显然是发散。故原级数收敛区间为.四、
应用题
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（每小题7分，共14分）54.靠一楮充足长墙边，增加三面墙围成一个矩形场地,在限定场地面积为64条件下.问增加三面墙各为多少时，其总长最小.解：场地图所表示：设增加三面墙长度分别为；总长为，则有，，从而，问题就转化为求函数最小值问题.令得唯一驻点，且有，所以是极小值点，即为最小值点,此时.故，另增三面墙长度分别为，，时，增加三面围墙总长最小.55.设由曲线和直线围成，其中，求绕轴旋转形成旋转体体积.解：平面图形图所表示:把看作Y区域，且,代入Y型区域绕所成旋转一周所得体积公式有.五、证实题（6分）56.设，其中函数在闭区间上连续且，证实在开区间内,方程有唯一实根.证实：因为在上有意义，所以在上连续，且有,，由连续函数在闭区间上零点定理知，在内最少有一个实根；又因为，知在内是增函数.从而知在内至多有一个实根；故在内有唯一实根.23
浙公网安备 33021202002483