第四单元整式的乘法与因式分解4.11十字相乘法人教版数学（八年级上）知识回顾x的系数是两数之和1．口答计算结果：(1)(x+3)(x+4)(2)(x+3)(x-4)(3)(x-3)(x+4)(4)(x-3)(x-4）X2+7x+12X2x-12X2+x-12X2-7x+12常数项是两数之积2、能说说你的诀窍吗？（x+p)(x+q）=x2+(p+q)x+pq思考实际在使用此公式时，关键是需要把常数项拆成两个数的积使得这两个数相加等于一次项系数．下面我们就来试试因为(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq所以x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)你能将多项式x2+(p+q)+pq分解因式吗？利用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)分解因式所以x2+7x+12=(x+3)(x+4)12=3×4分解因式：7=3+4X2+7x+1212=2×6利用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)分解因式所以x2+8x+12=(x+2)(x+6)分解因式：8=2+6X2+8x+12所以x2+13x+12=(x+1)(x+12)利用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)分解因式分解因式：13=1+1212=1×12X2+13x+12利用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)分解因式所以x2+13x+12=(x+1)(x+12)分解因式：12=（-3）×（-4）-7=（-3）+（-4）X2+7x+12反思你能说说这种分解的步骤吗？7=3+412=3×4X2+7x+128=2+612=2×6X2+8x+12-7=(-3)+(-4)12=(-3)×(-4)X2-7x+1213=1+1212=1×12X2+13x+12归纳然后看这两个数之和是否等于一次项系数试着把常数项分成两个整数的积写出分解结果是否是否相等思考不难发现，如果常数项的因数比较多， 可能需要多次试数才能成功．那有没有什么方法能让试数过程更直观呢？十字相乘法就可以做到，下面我们来学习一下．十字相乘法１１ｐｑｑｐ+=p+q=(x＋p)(x＋q)对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法．X2+(p+q)x+pq例题用十字相乘法分解因式：１１3434+≠-8得换一种拆分方式2626+≠-8现在数是对的，符号不对，怎么办呢？X2-8x+12所以X2-8x+12=（x-2)(x-6)归纳用十字相乘法分解因式的步骤：1．分解首尾系数2．交叉相乘3．相加验证4．横向写出因式１１-2-6-2-6+=-8X2-8x+12X2-8x+12=(x-2)(x-6)1、什么是十字相乘法？2、如何用十字相乘法分解二次系数为1的二次三项式？首一的十字相乘法练习用十字相乘法分解因式：(1)x2+7x+10(1)(x+2)(x+5)（2)(x-4)(x+2）(2)x2-2x-8(2)x2-2x-8练习用十字相乘法分解因式：(1)y2-7y+12(1)(y-3(y-4)(2)x2+7x-18(2)(x+9)(x-2)练习用十字相乘法分解因式：（1)(x+7)(x-1）（2)(x-2)(x-4）(1)x2+6x-7(2)x2+6x+8练习用十字相乘法分解因式：（1)(x+2)(x-1）（2)(x-5)(x+3）(1)x2+x-2(2)x2-2x-15思考刚才我们分解的都是二次项系数为1的情况，如果二次项系数不是1，也能用这个方法分解吗？用十字相乘法分解因式：1．分解首尾系数2．交叉相乘3．相加验证4．横向写出因式31-1-3-1-9+=-103x2-10x+33x2-10x+3=(3x-1)(x-3)十字相乘法的适用范围大家已经学习了十字相乘法，有没有想过，十字相乘法主要是针对哪一类多项式的因数分解呢？二次三项式注意：不是所有二次三项式都能因式分解．比如x2+2x+3就无法分解练习答案：（5x+3）（x-4）分解因式：5x217x12练习答案：（7x-6）（x-1）分解因式：7x213x+6补充题提示：二次项是负的，可以先提取出来．答案：-（y+6）（y-2）分解因式：-y24y+12补充题答案：（5x-4y）（x+2y）分解因式：5x2+6xy-8y2补充题答案：（3x-y）（5x+4y）分解因式：15x2+7xy-4y2整体思想答案：（a+b-1）（a+b-3）分解因式(a+b)2-4(a-b)+3整体思想答案：（xy-9）（xy+2）分解因式：x2y2-yx7-18整体思想分解因式：x4+13x2+36答案(x2+3)(x2+13)整体思想答案：（2x-1）（5x+8）分解因式：10(x+2)2-29(x+2)+10整体思想分解因式：2（6x2+x)2-11(6x2+x)+5答案:(6x-5)(x+1)(12x2+2x-1)双十字相乘法将2x2-3xy2+3x+4y-2分解因式解析：2x2-3xy-2y2+3x+4y-2=(2x2-3xy-2y2)+3x+4y-2211-2-4+1=-3=(2x+y)(x-2y)+3x+4y-2=(2x+y-1)(x-2y+2)(2x+y)-12(x-2y)2(2x+y)-(x-2y)-3x+4y总结这节课我们学会了什么？用十字相乘法分解因式的步骤：1．分解首尾系数2．交叉相乘3．相加验证4．横向写出因式11-2-6-2-6+=-8X2-8x+12X2-8x+12=(x-2)(x-6)复习巩固1.计算：(2)(2a+3b)(2a-b)(4)(2x+y-1)2(6)1982复习巩固2.计算：复习巩固(4)4+12)x+y)+9(x-y)23.分解因式：(1)25x2-y2(2)a2-4ab+4b2(2)(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)复习巩固复习巩固1m综合运用6.计算：综合运用7.分解因式：(1)x3-9x;(2)16x4-1;(3)6xy2-9x2y-y3(4)(2a-b)2+8ab综合运用8、已知（x+y)2=25,(x-y2=9,求xy与x2+y2的值综合运用(1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这一规律；(2)换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？(3)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．拓广探索11、求证：当,是整数时，两个连续奇数的平方差（2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数。拓广探索12.某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：（1）第一次提价p%，第二次提价q%；（2）第一次提价q%，第二次提价p%；其中p，q是不相等的正数.三种方案哪种提价最多？第四单元整式的乘法与因式分解4.11十字相乘法人教版数学（八年级上）
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