2019-2020年江苏省南通市高考数学考前最后一练测试题含解析

精品模拟试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 江苏省南通市高考 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 考前最后一练　一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．已知集合A={1，2，3}，B={m，3，6}，A∩B={2，3}，则实数m的值为______．2．设复数z=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），若z（2﹣i）=i，则a+b的值为______．3．如图是一个算法流程图，当输入的x的值为﹣2时，则输出的y的值为______．4．用2种不同的颜色给图中的3个圆随机涂色，每个圆只涂1种颜色，则相邻的两个圆颜色均不相同的概率为______．SHAPE\*MERGEFORMAT5．用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1～480．按编号顺序平均分为20个组（1～24号，25～48号，…，457～480号），若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为______．6．设不等式组SHAPE\*MERGEFORMAT，表示的平面区域D，P（x，y）是区域D内任意一点，则3x+y的最大值为______．7．正四棱锥的底面边长为SHAPE\*MERGEFORMAT，它的侧棱与底面所成角为60°，则正四棱锥的体积为______．8．在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边经过点P（﹣2，t），且sinθ+cosθ=SHAPE\*MERGEFORMAT，则实数t的值为______．9．已知一元二次不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），则不等式f（3x）≤0的解集为______．10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a，b∈R）截直线x+2y﹣1=0所得弦长为SHAPE\*MERGEFORMATSHAPE\*MERGEFORMAT，则ab的最大值为______．11．设直线l是曲线y=4x3+3lnx的切线，则直线l的斜率的最小值为______．12．在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AC=SHAPE\*MERGEFORMAT，AD=1．若点P，Q满足SHAPE\*MERGEFORMAT=3SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT=4SHAPE\*MERGEFORMAT，则SHAPE\*MERGEFORMAT•SHAPE\*MERGEFORMAT的值为______．13．在平面直角坐标系xOy中，已知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）是直线y=SHAPE\*MERGEFORMATx+SHAPE\*MERGEFORMAT上的两点，则tan（α+β）的值为______．14．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣SHAPE\*MERGEFORMAT+a﹣2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为______．　二、解答题（本大题共6小题，共计90分。解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）15．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c，A＞B，cosC=SHAPE\*MERGEFORMAT，cos（A﹣B）=SHAPE\*MERGEFORMAT．（1）求cos2A的值；（2）若c=15，求a的值．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ACD是正三角形，BD垂直平分AC，垂足为M，∠ABC=120°，PA=AB=1，PD=2，N为PD的中点．（1）求证：AD⊥平面PAB；（2）求证：CN∥平面PAB．SHAPE\*MERGEFORMAT17．某市2015年新建住房面积为500万m2．其中安置房面积为200万m2． 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 以后每年新建住房面积比上一年增长10%，且安置房面积比上一年增加50万m2．记2015年为第1年．（1）该市几年内所建安置房面积之和首次不低于3000万m2？（2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比例保持不变？并说明理由．18．在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是椭圆SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT=1（a＞b＞0）的上、下顶点，点M（0，SHAPE\*MERGEFORMAT）为线段AO的中点，AB=SHAPE\*MERGEFORMATa．（1）求椭圆的方程；（2）设N（t，2）（t≠0），直线NA，NB分别交椭圆于点P，Q，直线NA，NB，PQ的斜率分别为k1，k2，k3．①求证：P，M，Q三点共线；②求证：k1k3+k2k3﹣k1k2为定值．SHAPE\*MERGEFORMAT19．已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn，且SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT（n∈N*）．（1）求a2的值；（2）设bn=SHAPE\*MERGEFORMAT，求数列{bn}的通项公式；（3）若am，ap，ar（m，p，r∈N*，m＜p＜r）成等比数列，试比较p2与mr的大小，并证明．20．已知函数f（x）=ex﹣ex，g（x）=2ax+a，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）求证：f（x）≥0；（2）若存在x0∈R，使f（x0）=g（x0），求a的取值范围；（3）若对任意的x∈（﹣∞，﹣1），f（x）≥g（x）恒成立，求a的最小值．　[选做题]本题包括A、B、C、D共4个小题。请选定其中两个小题。若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。A[选修4-1：几何体证明选讲]21．如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，BC=BD，BA的延长线交CD的延长线于点E，求证：AE是四边形ABCD的外角∠DAF的平分线．SHAPE\*MERGEFORMAT　B[选修4-2：矩阵与变换]22．已知变换T：SHAPE\*MERGEFORMAT→SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，试写出变换T对应的矩阵A，并求出其逆矩阵A﹣1．　C[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为SHAPE\*MERGEFORMAT（t为参数），曲线C的参数方程为SHAPE\*MERGEFORMAT（m为参数），若直线l与曲线C相交于A、B两点，求线段AB的长．　D[选修4-5：不等式选讲]24．若关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），求函数f（x）=（a﹣1）SHAPE\*MERGEFORMAT+（b﹣1）SHAPE\*MERGEFORMAT的最大值．　[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．已知正六棱锥S﹣ABCDEF的底面边长为2，高为1，现从该棱锥的7个顶点中随机取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得的三角形的面积．（1）求概率P（X=SHAPE\*MERGEFORMAT）的值；（2）求X的分布列，并求其数学期望E（X）．SHAPE\*MERGEFORMAT26．已知（SHAPE\*MERGEFORMAT+1）m=SHAPE\*MERGEFORMATxm+ym，其中m，xm，ym∈N*．（1）求证：ym为奇数；（2）定义：[x]表示不超过实数x的最大整数．已知数列{an}的通项公式为an=[SHAPE\*MERGEFORMATn]，求证：存在{an}的无穷子数列{bn}，使得对任意的正整数n，均有bn除以4的余数为1．　江苏省南通市高考数学考前最后一练参考答案与试题解析　一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．已知集合A={1，2，3}，B={m，3，6}，A∩B={2，3}，则实数m的值为　2　．【考点】交集及其运算．【分析】直接利用集合的交集关系，判断求解即可．【解答】解：集合A={1，2，3}，B={m，3，6}，A∩B={2，3}，可知2∈B，可得m=2．故答案为：2．　2．设复数z=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），若z（2﹣i）=i，则a+b的值为　SHAPE\*MERGEFORMAT　．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z代入z（2﹣i）=i，展开左边，然后利用复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵z=a+bi，z（2﹣i）=i，∴（a+bi）（2﹣i）=2a+b+（2b﹣a）i=i，则SHAPE\*MERGEFORMAT，解得a=﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，b=SHAPE\*MERGEFORMAT．∴a+b=SHAPE\*MERGEFORMAT．故答案为：SHAPE\*MERGEFORMAT．　3．如图是一个算法流程图，当输入的x的值为﹣2时，则输出的y的值为　﹣7　．SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是计算变量y的值，并输出，根据x值，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数y=SHAPE\*MERGEFORMAT的值，由题意：x=﹣2＜0，所以：y=4×（﹣2）+1=﹣7．故答案为：﹣7．　4．用2种不同的颜色给图中的3个圆随机涂色，每个圆只涂1种颜色，则相邻的两个圆颜色均不相同的概率为　SHAPE\*MERGEFORMAT　．SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先计算出总的涂色 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，然后计算出满足题意的涂色方案，利用古典概型的概率公式计算即得结论．【解答】解：依题意，每个圆只涂一种颜色的涂色方案共有23种，要使3个圆中相邻两个圆的颜色不同，则位于两端的两个矩形必须涂色相同，从而有SHAPE\*MERGEFORMAT=2种，故满足题意的概率P=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，故答案为：SHAPE\*MERGEFORMAT．　5．用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1～480．按编号顺序平均分为20个组（1～24号，25～48号，…，457～480号），若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为　75　．【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔进行求解即可．【解答】解：用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本．则样本间隔为480÷20=24，若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为3+24×3=75，故答案为：75　6．设不等式组SHAPE\*MERGEFORMAT，表示的平面区域D，P（x，y）是区域D内任意一点，则3x+y的最大值为　4　．【考点】简单线性 规划 污水管网监理规划下载职业规划大学生职业规划个人职业规划职业规划论文 ．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：先根据约束条件不等式组SHAPE\*MERGEFORMAT画出可行域，当直线3x+y=t过点A时，3x+y取得最大值，由SHAPE\*MERGEFORMAT，可得A（1，1）时，z最大是4，故答案为：4．SHAPE\*MERGEFORMAT　7．正四棱锥的底面边长为SHAPE\*MERGEFORMAT，它的侧棱与底面所成角为60°，则正四棱锥的体积为　SHAPE\*MERGEFORMAT　．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为SHAPE\*MERGEFORMAT，它的侧棱与底面所成角为60°，我们求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可求出答案．【解答】解：由已知中正四棱锥的底面边长为SHAPE\*MERGEFORMAT，故底面积S=2又∵侧棱与底面所成角为60°，∴正四棱锥的高为SHAPE\*MERGEFORMAT故正四棱锥的体积V=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT故答案为：SHAPE\*MERGEFORMAT．　8．在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边经过点P（﹣2，t），且sinθ+cosθ=SHAPE\*MERGEFORMAT，则实数t的值为　4　．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义求出sinθ，cosθ，解方程即可得到结论．【解答】解：∵角θ的终边经过点P（﹣2，t），∴sinθ=SHAPE\*MERGEFORMAT，cosθ=SHAPE\*MERGEFORMAT，∵sinθ+cosθ=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，即SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，则t＞2，平方得SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，即1﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，即SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，则t2﹣5t+4=0，则t=1（舍）或t=4，故答案为：4　9．已知一元二次不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），则不等式f（3x）≤0的解集为　[1，SHAPE\*MERGEFORMAT]　．【考点】其他不等式的解法．【分析】由已知利用补集思想求出一元二次不等式f（x）≤0的解集，然后得到关于x的不等式，求解x的取值集合即可得到答案．【解答】解：由一元二次不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），得f（x）≤0的解集为[1，2]，由30=1≤3x≤2，得：1≤x≤SHAPE\*MERGEFORMAT，故f（3x）≤0的解集为：[1，SHAPE\*MERGEFORMAT]，故答案为：：[1，SHAPE\*MERGEFORMAT]．　10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a，b∈R）截直线x+2y﹣1=0所得弦长为SHAPE\*MERGEFORMATSHAPE\*MERGEFORMAT，则ab的最大值为　SHAPE\*MERGEFORMAT　．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求出圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1的圆心和半径，再求出圆心（a，b）到直线x+2y﹣1=0的距离，由此概率圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a，b∈R）截直线x+2y﹣1=0所得弦长为SHAPE\*MERGEFORMATSHAPE\*MERGEFORMAT，由勾股定理和基本不等式能求出ab取最大值．【解答】解：∵圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1的圆心（a，b），半径r=1，圆心（a，b）到直线x+2y﹣1=0的距离d=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，∵圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a，b∈R）截直线x+2y﹣1=0所得弦长为SHAPE\*MERGEFORMATSHAPE\*MERGEFORMAT，由勾股定理得SHAPE\*MERGEFORMAT，即1=SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT，∴a+2b=2或a+2b=0，∴当a＞0，b＞0，a+2b=2，2ab≤（SHAPE\*MERGEFORMAT）2=1，∴abSHAPE\*MERGEFORMAT．∴当且仅当a=2b=1时，ab取最大值SHAPE\*MERGEFORMAT．故答案为：SHAPE\*MERGEFORMAT．　11．设直线l是曲线y=4x3+3lnx的切线，则直线l的斜率的最小值为　9　．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到直线l的斜率，第二次求导后即可求得直线l的斜率的最小值．【解答】解：由y=4x3+3lnx，得y′=SHAPE\*MERGEFORMAT（x＞0），又SHAPE\*MERGEFORMAT=12x2+SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT≥3×SHAPE\*MERGEFORMAT=9∴直线l的斜率的最小值为9．故答案为：9．　12．在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AC=SHAPE\*MERGEFORMAT，AD=1．若点P，Q满足SHAPE\*MERGEFORMAT=3SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT=4SHAPE\*MERGEFORMAT，则SHAPE\*MERGEFORMAT•SHAPE\*MERGEFORMAT的值为　SHAPE\*MERGEFORMAT　．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可画出图形，在△ABC中由余弦定理便可求出SHAPE\*MERGEFORMAT，进而得出SHAPE\*MERGEFORMAT，而根据条件可得出SHAPE\*MERGEFORMAT，从而进行向量数量积的运算便可求出SHAPE\*MERGEFORMAT的值．【解答】解：如图，在△ABC中，AB=2，BC=1，AC=SHAPE\*MERGEFORMAT，由余弦定理得：SHAPE\*MERGEFORMAT；SHAPE\*MERGEFORMAT∴SHAPE\*MERGEFORMAT；根据条件，SHAPE\*MERGEFORMAT；SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT；∴SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT．故答案为：SHAPE\*MERGEFORMAT．　13．在平面直角坐标系xOy中，已知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）是直线y=SHAPE\*MERGEFORMATx+SHAPE\*MERGEFORMAT上的两点，则tan（α+β）的值为　﹣SHAPE\*MERGEFORMAT　．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用已知条件通过直线与单位圆的关系求出A、B坐标，然后利用两角和的正切函数求解即可．【解答】解：由题意可得：A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）是单位圆上的点，与直线y=SHAPE\*MERGEFORMATx+SHAPE\*MERGEFORMAT上的交点，SHAPE\*MERGEFORMAT，解得x=SHAPE\*MERGEFORMAT，x=SHAPE\*MERGEFORMAT，cosα=SHAPE\*MERGEFORMAT，sinα=SHAPE\*MERGEFORMAT，tanα=SHAPE\*MERGEFORMAT=﹣2﹣SHAPE\*MERGEFORMAT．cosβ=SHAPE\*MERGEFORMAT，则sinβ=SHAPE\*MERGEFORMAT，tanβ=SHAPE\*MERGEFORMAT=2SHAPE\*MERGEFORMAT．∴tan（α+β）=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT．故答案为：﹣SHAPE\*MERGEFORMAT．SHAPE\*MERGEFORMAT　14．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣SHAPE\*MERGEFORMAT+a﹣2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为　{a|a=SHAPE\*MERGEFORMAT或﹣SHAPE\*MERGEFORMAT}　．【考点】数列与函数的综合；函数零点的判定定理．【分析】令g（x）=0，化简函数g（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，从而不妨设f（x）=0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，讨论当x＞a时，求得两根，x≤a时，①a≤﹣1，②﹣1＜a≤3，③a＞3，运用等差数列的中项的性质，进而确定a的值．【解答】解：设f（x）=0，可得|x﹣a|﹣SHAPE\*MERGEFORMAT+a=2，设g（x）=|x﹣a|﹣SHAPE\*MERGEFORMAT+a，h（x）=2，函数g（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，不妨设f（x）=0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞a时，f（x）=0，解得x=﹣1，x=3；①a≤﹣1，∵x2=﹣1，x3=3，由等差数列的性质可得x1=﹣5，由f（﹣5）=0，解得a=﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，满足f（x）=0在（﹣∞，a]上有一解．②﹣1＜a≤3，f（x）=0在（﹣∞，a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3=3，所以有x1，x2是2a﹣x﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=2的两个解，即x1，x2是x2﹣（2a﹣2）x+3=0的两个解．得到x1+x2=2a﹣2，x1x2=3，又由设f（x）=0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2=x1+3，解得：a=SHAPE\*MERGEFORMAT或SHAPE\*MERGEFORMAT（舍去）；③a＞3，f（x）=0最多只有两个解，不满足题意；综上所述，a=SHAPE\*MERGEFORMAT或﹣SHAPE\*MERGEFORMAT．故答案为：{a|a=SHAPE\*MERGEFORMAT或﹣SHAPE\*MERGEFORMAT}．　二、解答题（本大题共6小题，共计90分。解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）15．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c，A＞B，cosC=SHAPE\*MERGEFORMAT，cos（A﹣B）=SHAPE\*MERGEFORMAT．（1）求cos2A的值；（2）若c=15，求a的值．【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数；正弦定理．【分析】（1）由已知及三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式可求sin（A﹣B），cos（A+B），sin（A+B）的值，由于2A=（A+B）﹣（A﹣B），利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．（2）由于cos2A=1﹣2sin2A，解得sinA的值，利用正弦定理即可求得a的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵cos（A﹣B）=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴sin（A﹣B）=SHAPE\*MERGEFORMAT，∵cosC=SHAPE\*MERGEFORMAT，可得：cos（A+B）=﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，∴sin（A+B）=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴cos2A=cos[（A+B）+（A﹣B）]=cos（A+B）cos（A﹣B）﹣sin（A+B）sin（A﹣B）=（﹣SHAPE\*MERGEFORMAT）×SHAPE\*MERGEFORMAT=﹣SHAPE\*MERGEFORMAT…（2）∵cos2A=1﹣2sin2A∴﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=1﹣2sin2A，∴2sin2A=1+SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴sin2A=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴sinA=SHAPE\*MERGEFORMAT（负值舍去），∵SHAPE\*MERGEFORMAT，sinC=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴a=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=2SHAPE\*MERGEFORMAT．…　16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ACD是正三角形，BD垂直平分AC，垂足为M，∠ABC=120°，PA=AB=1，PD=2，N为PD的中点．（1）求证：AD⊥平面PAB；（2）求证：CN∥平面PAB．SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据中垂线定理得出∠BAM，AM，利用正三角形的性质得出AD，∠DAC，从而得出AB⊥AD，PA⊥AD，于是AD⊥平面PAB；（2）取AD的中点H，连结NH，CH．则可证明AD⊥平面NCH，于是平面NCH∥平面PAB，于是CN∥平面PAB．【解答】证明：（1）∵BD是AC的中垂线，∠ABC=120°，∴∠ABM=60°，∠AMB=90°，∵AB=1，∴AM=SHAPE\*MERGEFORMAT．∠BAM=30°．∵△ACD是正三角形，∴AD=2AM=SHAPE\*MERGEFORMAT，∠DAC=60°，∴∠BAD=∠BAM+∠DAC=90°，∴AB⊥AD．又PA=1，PD=2，∴PA2+AD2=PD2，即PA⊥AD．又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB．（2）取AD的中点H，连结NH，CH．∵△ACD是正三角形，∴CH⊥AD，∵N，H是PD，AD的中点，∴NH∥PA，∵PA⊥AD，∴NH⊥AD．又NH⊂平面NCH，CH⊂平面NCH，NH∩CH=H，∴AD⊥平面NCH，又AD⊥平面PAB，∴平面NCH∥平面PAB．∵CN⊂平面NCH，∴CN∥平面PAB．SHAPE\*MERGEFORMAT　17．某市2015年新建住房面积为500万m2．其中安置房面积为200万m2．计划以后每年新建住房面积比上一年增长10%，且安置房面积比上一年增加50万m2．记2015年为第1年．（1）该市几年内所建安置房面积之和首次不低于3000万m2？（2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比例保持不变？并说明理由．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由题意得，所建安置房面积为等差数列，由等差数列的前n项和公式，得到答案．（2）由题意得，新建住房面积是等比数列，两者做比，可得比例相等时的年份．【解答】解：（1）设安置房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1=200，d=50，则Sn=200n+SHAPE\*MERGEFORMAT×50=25n2+175n，令25n2+175n≥3000即n2+7n﹣120≥0，而n是正整数，∴n≥8．∴该市8年内所建安置房面积之和首次不低于3000万m2，（2）设新建住房面积数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1=500，q=1.1，则bn=500×1.1n﹣1，an=50n+150，∴SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴1.1n+3.3=n+4，∴n=7，即存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比例保持不变．　18．在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是椭圆SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT=1（a＞b＞0）的上、下顶点，点M（0，SHAPE\*MERGEFORMAT）为线段AO的中点，AB=SHAPE\*MERGEFORMATa．（1）求椭圆的方程；（2）设N（t，2）（t≠0），直线NA，NB分别交椭圆于点P，Q，直线NA，NB，PQ的斜率分别为k1，k2，k3．①求证：P，M，Q三点共线；②求证：k1k3+k2k3﹣k1k2为定值．SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意知2b=4（b﹣SHAPE\*MERGEFORMAT）=SHAPE\*MERGEFORMAT，由此能求出椭圆的方程．（2）①由N（t，2），A（0，1），B（0，﹣1），得直线NA的方程为y=SHAPE\*MERGEFORMAT，直线NB的方程为SHAPE\*MERGEFORMAT，联立方程组求出P（﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT），Q（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT），从而kPM=kQM，由此能证明P，M，Q三点共线．②由SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，能证明k1k3+k2k3﹣k1k2为定值．【解答】解：（1）∵A、B分别是椭圆SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT=1（a＞b＞0）的上、下顶点，点M（0，SHAPE\*MERGEFORMAT）为线段AO的中点，AB=SHAPE\*MERGEFORMATa，∴由题意知2b=4（b﹣SHAPE\*MERGEFORMAT）=SHAPE\*MERGEFORMAT，解得a=SHAPE\*MERGEFORMAT，b=1，∴椭圆的方程为SHAPE\*MERGEFORMAT．证明：（2）①由N（t，2），A（0，1），B（0，﹣1），得直线NA的方程为y=SHAPE\*MERGEFORMAT，直线NB的方程为SHAPE\*MERGEFORMAT，由SHAPE\*MERGEFORMAT，解得SHAPE\*MERGEFORMAT，∴P（﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT），由SHAPE\*MERGEFORMAT，解得SHAPE\*MERGEFORMAT，∴Q（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT），直线PM的斜率kPM=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，直线QM的斜率kQM=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴kPM=kQM，∴P，M，Q三点共线．②由①知：SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，∴k1k3+k2k3﹣k1k2=SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=﹣SHAPE\*MERGEFORMAT．∴k1k3+k2k3﹣k1k2为定值﹣SHAPE\*MERGEFORMAT．　19．已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn，且SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT（n∈N*）．（1）求a2的值；（2）设bn=SHAPE\*MERGEFORMAT，求数列{bn}的通项公式；（3）若am，ap，ar（m，p，r∈N*，m＜p＜r）成等比数列，试比较p2与mr的大小，并证明．【考点】数列递推式；等比数列的通项公式．【分析】（1）由a1=2，且SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT（n∈N*）．n=1时可得：SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，解得a2．（2）由SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT（n∈N*），可得：4Sn﹣1=SHAPE\*MERGEFORMAT，当n≥2时，利用递推关系可得：SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=2，化为：SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=1，即bn﹣bn﹣1=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（3）由（2）可得：SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，化为：SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT．利用“累乘求积”可得：an=SHAPE\*MERGEFORMAT．由am，ap，ar（m，p，r∈N*，m＜p＜r）成等比数列，可得SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT×SHAPE\*MERGEFORMAT，（4p﹣1）2=16mr﹣4（m+r）+1，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵a1=2，且SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT（n∈N*）．∴SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，解得a2=SHAPE\*MERGEFORMAT．（2）由SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT（n∈N*），可得：4Sn﹣1=SHAPE\*MERGEFORMAT，当n≥2时，4Sn﹣1﹣1=SHAPE\*MERGEFORMAT，相减可得：4an=SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，an≠0，可得：SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=2，变形为SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=2，化为：SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=1，∴bn﹣bn﹣1=1，∴数列{bn}是等差数列，首项为SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，公差为1．∴bn=SHAPE\*MERGEFORMAT+（n﹣1）=SHAPE\*MERGEFORMAT．（3）由（2）可得：SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，化为：SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT．∴an=SHAPE\*MERGEFORMAT×SHAPE\*MERGEFORMAT×…×SHAPE\*MERGEFORMAT×SHAPE\*MERGEFORMAT×a1=SHAPE\*MERGEFORMAT×SHAPE\*MERGEFORMAT×…×SHAPE\*MERGEFORMAT×SHAPE\*MERGEFORMAT×2=SHAPE\*MERGEFORMAT．n=1时也成立．∴an=SHAPE\*MERGEFORMAT．∵am，ap，ar（m，p，r∈N*，m＜p＜r）成等比数列，∴SHAPE\*MERGEFORMAT=amar，∴SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT×SHAPE\*MERGEFORMAT，化为：（4p﹣1）2=（4m﹣1）（4r﹣1），∴（4p﹣1）2=16mr﹣4（m+r）+1≤16mr﹣8SHAPE\*MERGEFORMAT+1=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴4p﹣1≤4SHAPE\*MERGEFORMAT﹣1，可得p2≤mr，等号不成立，因此p2＜mr．　20．已知函数f（x）=ex﹣ex，g（x）=2ax+a，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）求证：f（x）≥0；（2）若存在x0∈R，使f（x0）=g（x0），求a的取值范围；（3）若对任意的x∈（﹣∞，﹣1），f（x）≥g（x）恒成立，求a的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）判断f（x）的单调性，利用单调性求出f（x）的最小值，即可得出结论；（2）令f（x）=g（x），分离参数得a=SHAPE\*MERGEFORMAT，求出右侧函数的值域即为a的范围；（3）令f（x）≥g（x），分离参数得a≥SHAPE\*MERGEFORMAT，则右侧函数在（﹣∞，﹣1）上的最大值为a的最小值．【解答】解：（1）f′（x）=ex﹣e，∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，∴fmin（x）=f（1）=0，∴f（x）≥0．（2）令f（x）=g（x）得a=SHAPE\*MERGEFORMAT，设h（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，则h′（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴当x＞SHAPE\*MERGEFORMAT时，h′（x）＞0，当x＜SHAPE\*MERGEFORMAT时，h′（x）＜0，∴h（x）在（﹣∞，SHAPE\*MERGEFORMAT）上是减函数，在（SHAPE\*MERGEFORMAT，+∞）上是增函数，∵SHAPE\*MERGEFORMATh（x）=﹣∞，SHAPE\*MERGEFORMATh（x）=﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，h（1）=0，SHAPE\*MERGEFORMATh（x）=+∞，SHAPE\*MERGEFORMATh（x）=+∞．∵存在x0∈R，使f（x0）=g（x0），∴a=SHAPE\*MERGEFORMAT有解．∴a≥0或a＜﹣SHAPE\*MERGEFORMAT．（3）∵当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）≥g（x）恒成立，即ex﹣ex≥a（2x+1）在（﹣∞，﹣1）上恒成立，∴a≥SHAPE\*MERGEFORMAT在（﹣∞，﹣1）上恒成立．由（2）可知h（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT在（﹣∞，﹣1）上是减函数，且SHAPE\*MERGEFORMATh（x）=﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，∴a≥﹣SHAPE\*MERGEFORMAT．即a的最小值为﹣SHAPE\*MERGEFORMAT．　[选做题]本题包括A、B、C、D共4个小题。请选定其中两个小题。若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。A[选修4-1：几何体证明选讲]21．如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，BC=BD，BA的延长线交CD的延长线于点E，求证：AE是四边形ABCD的外角∠DAF的平分线．SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】弦切角．【分析】由对顶角相等得出∠FAE=∠BAC，根据圆内接四边形的性质得出∠EAD=∠BCD，进而由∠BAC=∠BDC可得出结论∠FAE=∠EAD，从而得证．【解答】证明：∵BC=BD．∴∠BCD=∠BDC，∵∠FAE=∠BAC，∠EAD=∠BCD，∵∠BAC=∠BDC．∴∠BAC=∠EAD，∴∠FAE=∠EAD．∵AE平分∠FAD，SHAPE\*MERGEFORMAT　B[选修4-2：矩阵与变换]22．已知变换T：SHAPE\*MERGEFORMAT→SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，试写出变换T对应的矩阵A，并求出其逆矩阵A﹣1．【考点】逆变换与逆矩阵．【分析】由题意求得变换矩阵T，根据二阶矩阵的求法，求得行列式丨A丨及其伴随矩阵，即可求得逆矩阵A﹣1．【解答】解：由题意可知设变换矩阵T=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴SHAPE\*MERGEFORMATSHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴SHAPE\*MERGEFORMAT，解得：SHAPE\*MERGEFORMAT，∴A=SHAPE\*MERGEFORMAT，丨A丨=1∴逆矩阵A﹣1=SHAPE\*MERGEFORMAT．　C[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为SHAPE\*MERGEFORMAT（t为参数），曲线C的参数方程为SHAPE\*MERGEFORMAT（m为参数），若直线l与曲线C相交于A、B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把参数方程分别化为普通方程，联立方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．【解答】解：直线l的参数方程为SHAPE\*MERGEFORMAT（t为参数），化为普通方程：2SHAPE\*MERGEFORMAT﹣2y﹣3SHAPE\*MERGEFORMAT=0．曲线C的参数方程为SHAPE\*MERGEFORMAT（m为参数），化为普通方程：y2=6x．联立SHAPE\*MERGEFORMAT，化为：4x2﹣20x+9=0．∴x1+x2=5，x1x2=SHAPE\*MERGEFORMAT．∴|AB|=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=8．　D[选修4-5：不等式选讲]24．若关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），求函数f（x）=（a﹣1）SHAPE\*MERGEFORMAT+（b﹣1）SHAPE\*MERGEFORMAT的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；一元二次不等式的解法．【分析】由题意可得1，2是方程x2﹣ax+b=0的两根，运用韦达定理可得a=3，b=2，即有f（x）=2SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT，运用柯西不等式即可得到所求最大值．【解答】解：关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），可得1，2是方程x2﹣ax+b=0的两根，即有1+2=a，1×2=b，解得a=3，b=2，则函数f（x）=（a﹣1）SHAPE\*MERGEFORMAT+（b﹣1）SHAPE\*MERGEFORMAT=2SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT，由x﹣3≥0，4﹣x≥0可得3≤x≤4，由柯西不等式可得，（2SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT）2≤（4+1）（x﹣3+4﹣x），即有2SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT≤SHAPE\*MERGEFORMAT．当2SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，即为x=SHAPE\*MERGEFORMAT∈[3，4]时，f（x）取得最大值SHAPE\*MERGEFORMAT．　[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．已知正六棱锥S﹣ABCDEF的底面边长为2，高为1，现从该棱锥的7个顶点中随机取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得的三角形的面积．（1）求概率P（X=SHAPE\*MERGEFORMAT）的值；（2）求X的分布列，并求其数学期望E（X）．SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有SHAPE\*MERGEFORMAT=35种取法，求出X=SHAPE\*MERGEFORMAT的三角形的个数，由此能求出P（X=SHAPE\*MERGEFORMAT）．（2）由题意，X的可能取值为SHAPE\*MERGEFORMAT，2，SHAPE\*MERGEFORMAT，2SHAPE\*MERGEFORMAT，3SHAPE\*MERGEFORMAT，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的概率分布列和E（X）．【解答】解：（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有SHAPE\*MERGEFORMAT=35种取法，其中X=SHAPE\*MERGEFORMAT的三角形如△ABF，这类三角形共有6个，∴P（X=SHAPE\*MERGEFORMAT）=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT．（2）由题意，X的可能取值为SHAPE\*MERGEFORMAT，2，SHAPE\*MERGEFORMAT，2SHAPE\*MERGEFORMAT，3SHAPE\*MERGEFORMAT，其中，X=SHAPE\*MERGEFORMAT的三角形如△ABF，这类三角形共有6个，其中，X=2的三角形有两类，如△SAD（3个），△SAB（6个），共9个，其中X=SHAPE\*MERGEFORMAT的三角形如△SBD，这类三角形共有6个，其中X=2SHAPE\*MERGEFORMAT的三角形如△CDF，这类三角形共有12个，其中X=3SHAPE\*MERGEFORMAT的三角形如△BDF，这类三角形共有2个，∴P（X=SHAPE\*MERGEFORMAT）=SHAPE\*MERGEFORMAT，P（X=2）=SHAPE\*MERGEFORMAT，P（X=SHAPE\*MERGEFORMAT）=SHAPE\*MERGEFORMAT，P（X=2S