§21.1二重积分概念

第二十一章 重积分 §1二重积分概念 教学目的与要求： 1) 掌握二重积分的定义和性质； 2）了解二重积分的可积条件； 3) 了解平面点集可求面积的充要条件． 教学重点： 二重积分的定义和性质． 教学难点： 1）二重积分的可积条件； 2) 平面点集可求面积的充要条件． 教学内容： 一、 平面图形的面积 为了研究定义在平面图形(即平面点集)上函数的积分，我们首先讨论平面有界图形的面积问题． 所谓一个平面图形 是有界的，是指构成这个平面图形的点集是平面上的有界点集，即存在一矩形 ，使得 ． 设 是一平面有界图形，用某一平行于坐标轴的一组直线网 分割这个图形．这时直线网 的网眼---小闭矩形 可分为三类: (i)上的点都 是 的内点； (ii) 上的点都是 的外点，即 ； (iii) 上含有 的边界点． 我们将所有属于直线网 的第(i)类小矩形(图中阴影部分)的面积加起来，记这个和数为 ，则有 (这里 表示包含 的那个矩形 的面积)；将所有第(i)类与第(iii)类小矩形(图中粗线所围部分)的面积加起来，记这个和数为 ，则有 ． 注 通过图像还可说明，如果加细（在原来的分割中再添加直线网），则 越来越大， 越来越小． 由确界存在定理可以推得，对于平面上的所有直线网，数集 有上确界，数集 有下确界，记 ， ． 显然有 (1) 通常称 为 的内面积， 为 的外面积． 定义1 若平面图形 的内面积 等与它的外面积 ，则称 为可求面积，并称其共同值 为 的面积． 定理21．1 平面有界图形 可求面积的充要条件是：对任给的 ，总存在直线网 ，使得 ． (2) 证 必要性 设平面有界图形 的面积 ．由定义1，有 ．对任给的 ，由 及 的定义知道，分别存在直线网 和 ，使得 ， ． (3) 记 为由 与 这两个直线网合并所成的直线网，可证得 ． 于是由(3)可得 ， 从而得到直线网 有 ． 充分性 设对任给的 ，存在某直线网 ，使得(2)式成立． 但 ． 所以 ． 由 的任意性，因此 ，因而平面图形 可求面积． 由不等式(1)及定理21．1立即可得： 推论 平面有界图形 的面积为零的充要条件是它的外面积 ，即对任给的 ，存在直线网 ，使得 EMBED Equation.3 ， 或对任给的 ，平面图形 能被有限个其面积总和小于 的小矩形所覆盖． 定理21．2 平面有界图形 可求面积的充要条件是： 的边界 的面积为零． 证 由定理21．1， 可求面积的充要条件是 ：对任给的 ，存在某直线网 ，使得 ．由于 ， 所以也有 ．由上述推论， 的边界 的面积为零． 定理21．3 若曲线 为定义在 上的连续函数 的图像，则曲线 的面积零． 证 由于 在闭区间 上一致连续．因而对任给的 ，总存在 >0，当把区间 分成 个小区间 ( )并且满足 时，可使 在每个小区间 上的振幅都成立 < ．现把曲线 按自变量 分成 个小段，这时每个小段都能被以 为宽， 为高的小矩形所覆盖．由于这 个小矩形面积总和为 EMBED Equation.3 ， 所以由定理21．1的推论即得曲线 的面积为零． 我们还可以证明：由参量方程 ， ( )所表示的平面光滑曲线，(即 ， ，在[ ]上具有连续的导函数)或按段光滑曲线，其面积一定为零． 二 二重积分的定义及其存在性 先讨论一个几何问题----求曲顶柱体的体积．设 为定义在可求面积的有界闭区域 上的非负连续函数．求以曲面 为顶， 为底的柱体的体积 ． 采用类似于求曲边梯形面积的方法．先用一组平行于坐标轴的直线网 把区域 分成 个小区域 (称 为区域 的一个分割)．以 表示小区域 的面积．这个直线网也相应地把曲顶柱体分割成 个以 为底的小曲顶柱体 ．由于 在 上连续，故当每个 的直径都很小时， 在 上各点的函数值都相差无几，因而可在 上任取一点 ，用以 为高， 为底的小平顶柱体的体积 EMBED Equation.3作为 的体积 的近似值(如图2l—3)，即 把这些小平顶柱体的体积加起来，就得到曲顶柱体体积 的近似值 当直线网 网眼越来越细密，即分割 细度 ( 为 的直径)趋于零时，就有 下面叙述定义在平面有界闭区域上函数 的二重积分的概念． 求曲顶柱体的体积与定积分概念一样，是通过“分割、近似求和、取极限”这三个步骤得到的，所不同的是现在讨论的对象为定义在平面区域上的二元函数． 下面叙述定义在平面有界闭区域上函数 的二重积分的概念． 设 为 平面上可求面积的有界闭区域， 为定义在 上的函数．用任意的曲线把 分成 个可求面积的小区域 以 表示小区域 的面积，这些小区域构成 的一个分割 ，以 表示小区域 的直径，称 为分割 的细度．在每个 上取一点 ，作和式 　　　　　　　　　　　　 称它为函数 在 上属于分割 一个积分和． 定义2 设 是定义在可求面积的有界闭区域 上的函数． 是一个确定的数，若对任给的正数 ，总存在正数 ，使对于 的任何分割 ，当它的细度 < 时，属于 的所有积分和都有 ， (4) 则称 在 上可积，数 称为函数 在 上的二重积分，记作 (5) 其中 称为二重积分的被积函数， 称为积分变量， 称为积分区域． 注 ． 注 当 时，二重积分 在几何上就表示 为曲顶， 为底的曲顶柱体的体积． 注 当 时，二重积分 的值就等于积分区域 的面积． 由二重积分定义知道，若 在区域 上可积，则与定积分情况一样，对任何分割 ，只要当 时，(4)式都成立．因此为方便计算起见，常选取一些特殊的分割方法，如选取平行与坐标轴的直线网来分割 ，则每个小网眼区域 的面积 = ．此时通常把 记作 (6) 首先可以像定积分那样类似地证明函数 在有界可求面积区域上可积 的必要条件是它在 上有界． 设函数 在 上有界， 为 的一个分割，它把 分成 个可求面积的小区域 ．令 ， 作和式 ， ，它们分别称为函数 关于分割 的上和与下和．二元函数的上和与下和具有与一元函数的上和与下和相同的性质，这里就不再重复．下面列出有关二元函数可积性定理．我们给出定理21．7的证明，其余请读者自行证明． 定理21．4 在 上可积的充要条件是： ． 定理21．5 在 上可积的充要条件是：对于任给的正数 ，即存在 的某个分割 ，使得 ． 定理21．6 有界闭区域 上的连续函数必可积． 定理21．7 设 是定义在有界闭区域 上的有界函数．若 的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则 在 上可积． 证 不失一般性，可设 的不连续点都落在某一条光滑曲线 上．记 的长度为 ．于是对任给的 >0，把 等分成 段： ． 在每段 上取一点 ，使得 与其一端点的弧长为 ．以 为中心作边长为 的正方形 ，则 ．从而有 ．记 ，则 为一多边形．设 的面积为 ，那么 ． 现在把区域 分成两部分．第一部分 ，第二部分 ，由于 在 上连续，根据定理21．6与定理21．5，存在 的分割 使得 ．又记 )， ，以 表示 与多边形 的边界所组成的区域 的分割，则有 ， 其中 是 在 上的振幅．由于 在 上有界，故 是有限值．于是由定理21．5就证明了 在 上可积． 三 二重积分的性质 二重积分的性质与定积分的性质相类似，列举如下: 1．若 在区域 上可积， 为常数，则 在 上也可积，且 2．若 在 上都可积，则 在 上也可积，且 3(积分区域可加性)．若 在 和 上都可积，且 与 无公共内点，则 在 上也可积，且 EMBED Equation.3 注 需要强调 与 无公共内点，通过图像解释下，如果有公共点，则 ， 因为右边在计算体积时计算公共部分两次，而左边计算体积时只计算了公共部分一次． 4．若 与 在 上可积，且 则 5．若 在 上可积，则函数 在 上也可积，且 6．若 在 上可积，且 则 这里 是积分区域 的面积． 7．(中值定理) 若 在有界闭区域 上连续，则存在 ，使得 这里 是积分区域 的面积． 中值定理的几何意义：以 为底， 为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于 在区域 中某点 的函数值 作业题：1 _1232275992.unknown _1232276214.unknown _1232301889.unknown _1382069048.unknown _1382070619.unknown _1382071139.unknown _1382071252.unknown _1382070461.unknown _1382068737.unknown _1382068912.unknown _1232302048.unknown _1236603373.unknown _1232302035.unknown _1232277071.unknown _1232277762.unknown _1232279478.unknown _1232280625.unknown _1232280995.unknown _1232281805.unknown _1232301869.unknown _1232301530.unknown _1232282244.unknown _1232281289.unknown _1232281384.unknown _1232281521.unknown _1232281622.unknown _1232281307.unknown _1232281202.unknown _1232281264.unknown _1232281279.unknown _1232281140.unknown _1232280726.unknown _1232280851.unknown _1232280934.unknown _1232280800.unknown _1232280694.unknown _1232280704.unknown _1232280676.unknown _1232279982.unknown _1232280359.unknown _1232280557.unknown _1232280222.unknown _1232280184.unknown _1232280214.unknown _1232280030.unknown _1232279560.unknown _1232279848.unknown _1232279513.unknown _1232277916.unknown _1232279400.unknown _1232279436.unknown _1232278015.unknown _1232279005.unknown _1232279238.unknown _1232278134.unknown _1232278042.unknown _1232278107.unknown _1232277956.unknown _1232277869.unknown _1232277877.unknown _1232277797.unknown _1232277324.unknown _1232277554.unknown _1232277568.unknown _1232277710.unknown _1232277401.unknown _1232277436.unknown _1232277374.unknown _1232277345.unknown _1232277366.unknown _1232277259.unknown _1232277302.unknown _1232277147.unknown _1232276571.unknown _1232276707.unknown _1232276832.unknown _1232276884.unknown _1232276816.unknown _1232276597.unknown _1232276314.unknown _1232276341.unknown _1232276153.unknown _1231918343.unknown _1232275569.unknown _1232275861.unknown _1232275950.unknown _1232275973.unknown _1232275710.unknown _1232275762.unknown _1232275804.unknown _1232275610.unknown _1232275096.unknown _1232275215.unknown _1232275296.unknown _1232275461.unknown _1232275557.unknown _1232275243.unknown _1232275158.unknown _1232275113.unknown _1232275142.unknown _1232274860.unknown _1232275027.unknown _1232275063.unknown _1232274865.unknown _1231921399.unknown _1231935535.unknown _1231937005.unknown _1232274854.unknown _1231937941.unknown _1231939144.unknown _1231939400.unknown _1231937087.unknown _1231935577.unknown _1231935644.unknown _1231936423.unknown _1231935554.unknown _1231934209.unknown _1231934236.unknown _1231934668.unknown _1231922402.unknown _1231920039.unknown _1231921385.unknown _1231919881.unknown _1222945897.unknown _1222945914.unknown _1222946070.unknown _1222946085.unknown _1222946093.unknown _1222946102.unknown _1222946106.unknown _1222946110.unknown _1231914159.unknown _1231915301.unknown _1222946112.unknown _1222946113.unknown _1222946115.unknown _1222946111.unknown _1222946108.unknown _1222946109.unknown _1222946107.unknown _1222946104.unknown _1222946105.unknown _1222946103.unknown _1222946098.unknown _1222946100.unknown _1222946101.unknown _1222946099.unknown _1222946095.unknown _1222946096.unknown _1222946094.unknown _1222946089.unknown _1222946091.unknown _1222946092.unknown _1222946090.unknown _1222946087.unknown _1222946088.unknown _1222946086.unknown _1222946075.unknown _1222946081.unknown _1222946083.unknown _1222946084.unknown _1222946082.unknown _1222946077.unknown _1222946079.unknown _1222946080.unknown _1222946078.unknown _1222946076.unknown _1222946073.unknown _1222946074.unknown _1222946071.unknown _1222945922.unknown _1222946066.unknown _1222946068.unknown _1222946069.unknown _1222946067.unknown _1222946064.unknown _1222946065.unknown _1222945957.unknown _1222945918.unknown _1222945920.unknown _1222945921.unknown _1222945919.unknown _1222945916.unknown _1222945917.unknown _1222945915.unknown _1222945906.unknown _1222945910.unknown _1222945912.unknown _1222945913.unknown _1222945911.unknown _1222945908.unknown _1222945909.unknown _1222945907.unknown _1222945901.unknown _1222945904.unknown _1222945905.unknown _1222945902.unknown _1222945899.unknown _1222945900.unknown _1222945898.unknown _1222945880.unknown _1222945889.unknown _1222945893.unknown _1222945895.unknown _1222945896.unknown _1222945894.unknown _1222945891.unknown _1222945892.unknown _1222945890.unknown _1222945885.unknown _1222945887.unknown _1222945888.unknown _1222945886.unknown _1222945882.unknown _1222945883.unknown _1222945881.unknown _1222945872.unknown _1222945876.unknown _1222945878.unknown _1222945879.unknown _1222945877.unknown _1222945875.unknown _1222945873.unknown _1222945874.unknown _1222945869.unknown _1222945870.unknown _1222945871.unknown _1222945735.unknown _1222945865.unknown _1222945868.unknown _1222945723.unknown