2010届高三数学第一轮复习（圆锥曲线方程)
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．(2008福建文、理)双曲线的两个焦点为，若P为其上的一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（ B ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
2、(2008海南、宁夏文)双曲线的焦距为（ D ）
A. 3
B. 4
C. 3
D. 4
3．(2008全国Ⅱ卷理)设，则双曲线的离心率的取值范围是（ B ）
A．
B．
C．
D．
4.(2008山东理)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点
到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
方程为（ A ）
（A） (B) (C) (D)
5.(2008陕西文、理) 双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A．
B．
C．
D．
6.(2008上海文)设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于（D）
A．4
B．5
C．8
D．10
7(2008天津文)设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，
离心率为，则此椭圆的方程为（ B ）
A．
B．
C．
D．
8、(2008重庆理)已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=,则双曲线方程为 (C )
（A）－=1
(B) (C)
(D)
9. (2008湖南理)已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=
过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .
10. (2008江苏)在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ．
11．(2008江西文)已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．
12、（2008安徽文）设椭圆其相应于焦点的准线方程为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求证：
;
（Ⅲ）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,求 的最小值
.解 ：（1）由题意得：
椭圆的方程为
(2)方法一：
由（1）知是椭圆的左焦点，离心率
设为椭圆的左准线。则
作，与轴交于点H(如图)
点A在椭圆上
同理
。
方法二：
当时，记，则
将其代入方程 得
设 ，则是此二次方程的两个根.
................(1)
代入（1）式得 ........................(2)
当时， 仍满足（2）式。
（3）设直线的倾斜角为，由于由（2）可得
，
当时，取得最小值
★★★高考要考什么
【热点透析】
一、圆锥曲线的定义
1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P| ||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0
1时为双曲线。
二、圆锥曲线的方程。
1.椭圆：（a>b>0）或（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）
2.双曲线：（a>0, b>0）或（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）
3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）
三、圆锥曲线的性质
知识要点：
1.椭圆：（a>b>0）
（1）范围：|x|≤a，|y|≤b （2）顶点：(±a,0)，(0,±b) （3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e=∈(0,1) （5）准线：
2.双曲线：（a>0, b>0）
（1）范围：|x|≥a, y∈R （2）顶点：(±a,0) （3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：∈(1,+∞) （5）准线： （6）渐近线：
3.抛物线：y2=2px(p>0)
（1）范围：x≥0, y∈R （2）顶点：（0,0） （3）焦点：（,0）
（4）离心率：e=1 （5）准线：x=-
主要题型：
（1）定义及简单几何性质的灵活运用；
（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）。
★★★突破重难点
【例1】若F1、F2为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线上，且满足：
，
则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．3
解：由知四边形F1OMP是平行四边形，又
知OP平分∠F1OM，即F1OMP是菱形，设|OF1|=c，则|PF1|=c.
又|PF2|-|PF1|=2a， ∴|PF2|=2a+c，
由双曲线的第二定义知,且e>1，∴e=2，故选C.
【例2】（06上海春）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
解：（1）设曲线方程为， 由题意可知，. .
曲线方程为.
（2）设变轨点为，根据题意可知
得 ，
或（不合题意，舍去）.
.
得 或（不合题意，舍去）.
点的坐标为，.
答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出指令.
【例3】如图1，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且，。
（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围
成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数(
使？请给出证明。
解：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如
图直角坐标系，则A（2，0），椭圆方程可设为
。
而O为椭圆中心，由对称性知|OC|=|OB|
又，所以AC⊥BC
又，所以|OC|＝|AC|，
所以△AOC为等腰直角三角形，所以点C坐标为（1，1）。将（1，1）代入椭圆方程得，则椭圆方程为。
（2）由直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，设直线CP的斜率为k，则直线CQ的斜率为－k，直线CP的方程为y-1=k(x-1)，直线CQ的方程为y-1=-k(x-1)。由椭圆方程与直线CP的方程联立，消去y得
(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0①
因为C（1，1）在椭圆上，所以x＝1是方程①的一个根，于是
同理
这样，， 又B（－1，－1），所以，
即kAB=kPQ。所以PQ∥AB，存在实数(使。
【例4】如图，直线l1和l2相交于点M，l1 ⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线C的方程．
解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．
依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛线段的一段，其中A、B分别为C的端点．设曲线段C的方程为
y2=2px (p＞0)，(xA≤x≤xB，y＞0)，其中xA，xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|．
所以 M (－，0)，N (，0)．
由 |AM|=，|AN|=3得
(xA＋)2＋2PxA=17， ①
(xA－)2＋2PxA=9． ②
由①、②两式联立解得xA=，再将其代入①式并由p＞0解得
或．
因为△AMN是锐角三角形，所以＞xA，故舍去．
∴ P=4，xA=1．
由点B在曲线段C上，得xB=|BN|－=4．
综上得曲线段C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．
解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点．
作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F．
设 A (xA，yA)、B (xB，yB)、N (xN，0)．
依题意有
xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，
yA=|DM|==2，由于△AMN为锐角三角形，故有
xN=|AE|+|EN|=4．
=|ME|+=4
XB=|BF|=|BN|=6．
设点P (x，y)是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合
{(x，y)|(x－xN)2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0}．
故曲线段C的方程
y2=8(x－2)(3≤x≤6，y＞0)．
第十七讲 圆锥曲线的定义、性质和方程(二)
【例5】已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量与是共线向量。
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点， F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围；
解：（1）∵，∴。
∵是共线向量，∴，∴b=c,故。
（2）设
当且仅当时，cosθ=0，∴θ。
【例6】设P是双曲线右支上任一点.
（1）过点P分别作两渐近线的垂线，垂足分别为E，F，求的值；
（2）过点P的直线与两渐近线分别交于A、B两点，且的面积.
解：（I）设
∵两渐近线方程为
由点到直线的距离
公式
小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载
得
（II）设两渐近线的夹角为，
【例7】如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．求双曲线的离心率．
解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．
依题意，记A(－c，0)，C(，h)，B(c，0)，其中c为双曲线的半焦距，c=|AB|，h是梯形的高．
由定比分点坐标公式，得点E的坐标为
， ．
设双曲线的方程为，则离心率．
由点C、E在双曲线上，得
由①式得代入②式得所以，离心率
【例8】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：（I）由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：，，，，
椭圆的标准方程为
（Ⅱ）设，，
联立 得，
又，
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
，即， ，
，
解得：，，且均满足，
当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点
所以，直线过定点，定点坐标为
★★★自我提升
1.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(C )
（A）2EQ \r(,3) （B）6 （C）4EQ \r(,3) （D）12
2．如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（ C ）
A． B． C． D．
3．抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( B)
( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 0
4．双曲线的虚轴长为4，离心率，F1、F2分别是它的左，右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|为（A）.
A、 B、 C、 D、8
5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．
6．过椭圆左焦点F，倾斜角为60(的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为( B )
(A) (B) (C) (D)
7．椭圆+=1的离心率e=，则m=___________m=8或2。
8． F1、F2是椭圆（a>b>0）的两焦点，过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形ABF2，其中∠BAF2=900，则椭圆的离心率是________
9．已知椭圆E的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，抛物线C以F2为焦点，F1为其顶点，若P为两曲线的公共点，且e|PF2|=|PF1|，则e＝__________。
10．如图，已知三点A(－7, 0)，B(7,0)，C(2,－12).
① 若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，
求另一焦点P的轨迹方程；
② 若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一
焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。
解析：①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|，
即
故P的轨迹为A（－7，0）、B（7，0）为焦点实轴长为2的双曲线的一支，
其方程为
；
② 经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上,
总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14
故点Q的轨迹为以A（－7，0）、B（7，0）为焦点长轴长为28的椭圆，
其方程为
。
11．如图，A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2．当AC垂直于x轴 时，恰好|AF1|:|AF2=3:1
（I）求该椭圆的离心率；
（II）设，，试判断(((((是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请
说明
关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书
理由．
解：（I）当C垂直于x轴时，
，由，
得，
在Rt△中，
解得 =．
（II）由=，则，．
焦点坐标为，则椭圆方程为，
化简有．
设，，
①若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为
代入椭圆方程有．
由韦达定理得：，∴
所以，同理可得
故(((((=．
②若直线轴，，，
∴(((((＝6．
综上所述：(((((是定值6．
12．已知椭圆（a＞b＞0）上两点A、B，直线上有两点C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x2+y2-2y-8=0，求椭圆方程和直线的方程。
解：圆方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圆心O＇（0，1），半径r=3。
设正方形的边长为p，则，∴，又O＇是正方形ABCD的中心，∴O＇到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即，由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4。
（1）设AB：y=x-2 由 y=x-2
CD：y=x+4 x2+y2-2y-8=0
得A（3，1）B（0，-2），又点A、B在椭圆上，∴a2=12，b2=4，椭圆的方程为。
（2）设AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4），（-3，1）代入椭圆方程得
，此时b2＞a2（舍去）。
综上所述，直线方程为y=x+4，椭圆方程为。
图1
�
�
①
②
②
x
y
A
B
C
O
F1
F2
� EMBED AutoCAD.Drawing.14 ���
_979992380.dwg
浙公网安备 33021202002483