矩阵的逆

§4.4 矩阵的逆 第四章 矩阵 §4.4 矩阵的逆 一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的定义和性质 三、矩阵可逆的判定和求法 四、矩阵方程 第四章 矩阵 一、可逆矩阵的概念 在§4.2我们看到，矩阵与复数相仿，有加、减、 乘三种运算。那么，矩阵的乘法是否也和复数一样有 逆运算呢？ 这就是本节所要讨论的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。 对这一节矩阵，如不特别声明，都是讨论 nn× 这里 是 阶单位矩阵。E n 矩阵。对于任意 n A AEAAE ==阶方阵 都有： 。 从乘法的角度来看， 阶单位矩阵在 阶方阵中n n 的地位类似于数1在复数中的地位。 第四章 矩阵 二、可逆矩阵的定义和性质 1、可逆矩阵的定义 使得 EBAAB == (4.4.1) 这里 是 阶单位矩阵。则称 是可逆矩阵，E n A 的逆矩阵。A 定义：设 是 阶方阵，如果存在 阶方阵A n n B， B是称 1 1ab aa−= = 问题1： 使 ？AB E= 对一个复数 0≠a ，有 1 0b a−= ≠ ，使 n 0A ≠ 0B ≠，能否找到阶方阵 ，对 第四章 矩阵 2、可逆矩阵的性质 性质1：若矩阵 是可逆矩阵，则 的逆矩阵必A A 记为 。1−A 设 和 都是 的逆矩阵，则有B 1B A 唯一， 证： EBAAB == ， ，于是1 1AB B A E= = 性质2：若矩阵 可逆，则 的逆矩阵 也A A 1−A 且 。( ) 11A A−− = 性质3：若矩阵 可逆，则 的转置矩阵 也A A A′ 可逆， 可逆，且 。1 1( ) ( )A A− −′ ′= 1 1 1B BE BAB EB B= = = = 。 第四章 矩阵 因为 可逆，所以 ，A 1 1AA A A E− −= = 于是 也就是： 所以 性质4：若矩阵 、 可逆，则 也可逆，A B AB 且 。( ) 1 1 1AB B A− − −= ，1 1BB B B E− −= = 1 1( ) ( )AA A A E E− −′ ′ ′= = = ， 1 1( ) ( )A A A A E− −′ ′ ′ ′= = ， ( ) 1 1( )A A− −′ ′= 。 证明： 证明： 1 1AA A A E− −= = ， 于是 ( )( ) ( )( )1 1 1 1AB B A B A AB E− − − −= = 所以 矩阵 、A B可逆，则 ( ) 1 1 1AB B A− − −= 。 第四章 矩阵 三、矩阵可逆的判定和求法 由 1、定义法 例4.4.1 求 的逆矩阵。1 2 0 1 A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 解：设 解得： 1 2 3 41, 2, 0, 1b b b b= = − = = ， 1 2 3 4 b b B b b ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 是A的逆矩阵， 1 3 2 4 1 1 2 3 4 3 3 4 2 2 2 1 0 2 0 1 b b b b b b b AB BA b b b b b + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 因此A的逆矩阵是： 1 1 2 0 1 A− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠。 第四章 矩阵 2、公式法（伴随矩阵法） 定义： 中元素 的代数余子式，ija 则矩阵 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = nnnn n n AAA AAA AAA A " ### " " 21 22212 12111 * 称为矩阵A的伴随矩阵。 ijA ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = nnnn n n aaa aaa aaa A " ### " " 21 22221 11211 是矩阵设 由行列式按一行(列)展开的公式： 第四章 矩阵 1 1 2 2 , 0,i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧ =+ + + = ⎨ ≠⎩ " 1 1 2 2 , 0,i j i j ni nj A i j a A a A a A i j ⎧ =+ + + = ⎨ ≠⎩ " 由此可得以下等式（4.4.2)： 0 0 0 0 0 0 A A A E A ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ " " # # # " 11 12 1 11 21 1 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a A A A a a a A A A AA a a a A A A ∗ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ " " " " # # # # # # " " 11 21 1 11 12 1 12 22 2 21 22 2 1 2 1 2 n n n n n n nn n n nn A A A a a a A A A a a a A A A A A a a a ∗ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ " " " " # # # # # # " " 0 0 0 0 0 0 A A A E A ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ " " # # # " 第四章 矩阵 那么由(4.4.2)得如果 | | 0A ≠ ， * *1 1( ) ( )A A A A E A A = = (4.4.3) 由此可得A可逆的充分必要条件如下： 定理4.4.1：矩阵A可逆的充要条件是 ，0A ≠ 且当A可逆时， 1 *1A A A − = （4.4.4） 根据定理4.4.1容易看出，对于n阶方阵 ,A B， EAB =如果 那么 就都是可逆的,且它们互为逆矩阵。BA, 第四章 矩阵 可逆矩阵。 对于方阵 AB,A B 可逆的充要条件是：， ,A B 均为 则A0ad bc− ≠若 ，例4.4.3 设 a bA c d ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠， 可逆，求其逆矩阵。 由于 ，故A可逆，0A ad bc= − ≠解： 1 1 1d b d bA c a c aA ad bc − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 。 第四章 矩阵 可逆则求其逆。 问A是否可逆？若A 解：因为 ，故A可逆。2 0A = ≠ 经计算： 11 12 132, 3, 2,A A A= = − = 故 1 2 6 4 1 3 6 5 2 2 2 2 A− −⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ 例4.4.4 设 1 2 3 2 2 1 3 4 3 A ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ， 21 22 236, 6, 2,A A A= = − = 31 32 334, 5, 2A A A= − = = − 第四章 矩阵 四、矩阵方程 设A、B、C是已知矩阵， X是未知矩阵，形如 下式的方程称为矩阵方程： , ,AX B XA B AXB C= = = 。 第四章 矩阵 设线性方程组为： 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , , n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩ " " """""""" " 利用矩阵的逆可得Cramer法则的另一种推导方法。 用A表示方程组的系数矩阵，X表示方程组的未知 量向量，B表示方程组的常数向量，则方程组变为矩阵 方程： BAX = (4.4.5) 2、Cramer法则的矩阵推导法 若 BAX = 有唯一解： BAX 1−= 。0|| ≠A ，则 第四章 矩阵 如果 ，那么A可逆。0|| ≠A 于是把 BAX 1−= 代入(4.4.5)，得恒等式 ，BBAA =− )( 1 是线性方程组的一个解。1X A B−= 如果 是方程组(4.4.5)的一个解，那么由CX = BAC = 得 BAACA 11 )( −− = 也就是说 即 1X C A B−= = 这就是说，解 是唯一的。BAX 1−= 用 的公式(4.4.4)代入得 ，乘出来就是1−A *1X A B A = 证明： 第四章 矩阵 其中： ( ) 1 2 1 2 1 1 1 , 1,2, , n i i i i ni i ki k n b b DX A A A b A i n A A D b = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑" "# ， 1 , , 1,2, , n i i i ki k DD b A i n D= = = =∑ "D= A 。 3、与可逆矩阵相乘不改变矩阵乘积的秩 在§4.3，我们得到关于矩阵乘积的秩的不等式 )](),(min[)( BAAB 秩秩秩 ≤ 如果其中有一个矩阵是可逆的，情况又如何呢？ 第四章 矩阵 ( ) ( ) ( ) ( )Rank A Rank PA Rank AQ Rank PAQ= = = 。 定理4.4.2：A是一个 矩阵，如果P是ns× ss× 证明：令 ，则 ，B PA= 1P B A− = 由定理4.3.2， ( ) ( ), ( ) ( )R B R A R A R B≤ ≤ 于是有 同理有 可逆矩阵，Q是 nn× 可逆矩阵，那么 ( ) ( )R A R B=因此 ( ) ( )Rank A Rank PA= ， ( ) ( )Rank A Rank AQ= 。 ( ) ( ) ( )Rank PA Rank AQ Rank PAQ= = 。又 故 ( ) ( ) ( ) ( )Rank A Rank PA Rank AQ Rank PAQ= = = 。 第四章 矩阵 例4.4.5 已知 2 5 4 6 1 3 2 1 X −⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ，求 。X 2 5 1 0 1 3 = ≠ ， 2 5 1 3 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠故 可逆，解：因为 12 5 3 5 1 3 1 2 − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠。且 12 5 4 6 1 3 2 1 X − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 于是 3 5 4 6 2 23 1 2 2 1 0 8 − − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠。