受弯构件正截面承载力计算

3 受弯构件正截面承载力计算 [本章学习重点] 1．深入理解适筋梁的破坏的三个阶段。 2．深入理解配筋率对梁正截面的破坏形态的影响。 3．熟练掌握受弯构件正截面承载力基本假定及基本公式、单筋矩形截面梁和 T 形截面梁等正截 面受弯承载力设计计算方法以及双筋矩形截面梁正截面受弯承载力设计计算方法等。 4．掌握受弯构件的构造设计。 3.1 不同配筋钢筋混凝土梁正截面的破坏形态 钢筋混凝土梁按其截面配筋率不同可分为三类：少筋梁、适筋梁、超筋梁，它们各自的破坏形式各 不相同。 ①当梁配筋率很低时为少筋梁破坏。少筋梁的开裂弯矩大于构件的极限弯矩，因此梁一开裂，裂缝 处的钢筋就进入屈服阶段，裂缝迅速向上延伸，梁从中部被劈成两半，破坏突然，属脆性破坏； ②当梁的配筋适当时为适筋梁。适筋梁破坏始于受拉区钢筋屈服，终于受压区混凝土被压碎，此过 程经历时间较长，梁有明显挠曲变形，破坏前有明显预兆，属延性破坏； ③当梁配筋率很高时出现超筋破坏，破坏始于受压区混凝土的压碎，受拉区钢筋达不到屈服，此种 梁不能充分利用钢筋强度，破坏时梁挠度无明显增长，裂缝不宽，受压区高度延伸不高，破坏前无明显， 属脆性破坏。 以上三种梁中少筋梁与超筋梁都是既不安全又不经济的破坏形态，设计中应予以避免，适筋梁中钢 筋和混凝土两种材料性能基本上都能得到充分利用，因此在土木工程中必须把受弯构件的正截面设计成 适筋截面。 3. 2 适筋梁破坏的三个阶段 ①第 I 阶段，即弹性工作阶段：构件尚未开裂，混凝土基本上处于弹性工作状态，直至受拉区裂缝 将要出现而未出现，受拉区混凝土应变达到极限拉应变 maxt =（1.0×10 -4~1.5×10-4）(见图 3.1，图 3.2)， 即构件承受弯矩达到开裂弯矩 crM ，此阶段作为构件抗裂度极限状态计算的依据。 图 3.1 矩形截面适筋梁受弯构件破坏的三个阶段 图 3.2 矩形截面适筋梁受弯构件破坏三个阶段的应力应变分布 ②第Ⅱ阶段，即带裂缝工作阶段：截面弯矩超过构件的开裂弯矩 crM 以后，构件即开裂，受拉区混 凝土几乎全部退出工作，中性轴上移。随荷载增加，钢筋和混凝土应力不断增加，直至受拉钢筋达到屈 服，受压混凝土进入塑性阶段，应力呈曲线分布。在第Ⅱ阶段末时，受拉区钢筋应变 s y ys E f   ,截 面承受的弯矩达到 yM （见图 3.1，图 3.2），它作为构件变形及裂缝宽度计算的依据。 ③第Ⅲ阶段，即破坏阶段：此时钢筋应力达到屈服，当荷载继续增加，钢筋在应力不变的情况下应 变继续增长，此时裂缝不断向上延伸，中性轴不断上移，混凝土压应力不断增大，此时由于构件内力臂 的增大，构件所能承受的弯矩还能有所增加，最后直至受压区混凝土被压碎，受压混凝土应变达到 cu ， 梁宣告破坏。构件承受弯矩达到极限弯矩 uM ,此阶段作为构件承载力极限状态计算的依据（见图 3.1， 图 3.2）。 3. 3 正截面受弯构件的承载力计算 钢筋混凝土梁板等均为受弯构件，掌握受弯构件正截面承载力计算方法，对学习和掌握钢筋混凝土 结构原理具有重要意义。 3. 3.1 正截面受弯承载力计算的基本假定 ①平截面假定（几何关系）。平均应变符合平面截面假定。 ②不考虑受拉区的混凝土参与工作假定（平衡关系）。忽略受拉区混凝土的拉应力。 ③受压区混凝土应力—应变曲线采用抛物线加直线的曲线形式如图 3.3 所示。钢筋应力—应变曲线 采用两段直线的曲线形式如图 3.4 所示。 图 3.3 混凝土应力应变曲线 图 3.4 钢筋应力应变曲线 3.3.2 界限相对受压区高度及梁的配筋率 ①界限相对受压区高度 b 。 相对受压区高度是指构件换算受压高度（非实际受压区高度）与截面有效高度的比值，用 表示， 即 0h x＝ （如图 3.6）。 图 3.5 不同配筋的截面应变图 图 3.6 矩形截面受弯构件正截面等效应力分布及受压区高度 构件中受拉钢筋应力达到屈服点的同时受压区混凝土应变达到极限压应变 cu ，此时的相对受压区 高度称为界限相对受压区高度，用 b 表示，对普通混凝土界面 b 取值为： 有屈服点的钢筋 cus y b E f      1 1 （3.1a） 无屈服点的钢筋 cus y cu b E f      002.0 1 1 （3.1b） b 是衡量受弯构件是否超筋的一个重要指标，当构件 b  时，说明受弯构件在破坏时钢筋未屈 服而混凝土先压碎，即截面属超筋截面，反之若 b  ,说明构件不会发生超筋破坏。 对应于 b 受弯构件最大配筋率为： y c b s f f bh A 1 0 max, max    （3.1c） ②构件的最小配筋率。 当 Mu=Mcr 时梁中的配筋率，称为最小配筋率 min 。若 min  说明 cru MM  ,即梁发生少筋破 坏，反之若 min  说明钢筋混凝土梁极限弯矩大于等于开裂弯矩 crM ,即截面不会发生少筋破坏。 ③受弯构件正截面受弯的实际应力图形，理论应力图形和计算应力图形。 1）受弯构件正截面受弯达到极限状态时实际应力图形如图 3.2(Ⅲa)。 2）受弯构件正截面受弯达到极限状态时的理论应力图形如图 3.7。 图 3.7 混凝土截面理论应力应变分布图 根据受弯构件正截面受弯达到极限状态时承载力的基本假定，可将截面应力图形简化为图 3.6 所 示。 3)受弯构件正截面受弯承载力计算的计算应力图形。 为使计算更为简单明确，按照合力大小不变，合力点位置不变的原则，将理论应力图形经简化变 为等效矩形应力图形，使受弯构件正截面承载力计算大大简化，如图 3.6 所示。 3.3.3 基本计算公式 ①单筋矩形截面梁计算公式，见图 3.6。 1）基本公式： 0N bxfAf csy 1 （3.2） 0 sA M ) 2 ( 01 x hbxfM cu   （3.3） 或 ) 2 ( 0 x hAfM syu  （3.4） 式中： uM —正截面极限承载力（N.mm）； cf — 混凝土抗压设计强度，见附表 5； yf — 钢筋的抗拉设计强度设计值，见附录附表 6； sA —受拉钢筋截面面积； b —截面宽度； x —应力图形换算成矩形后的受压区高度； 0h —截面有效高度 ， sahh 0 （mm）； 1 —当混凝土强度等级不超过 C50 时，取 1 =1，当混凝土强度等级为 C80 时 1 取为 0.94， 其间按线形内插法取值； sa —受拉钢筋合力点至截面受拉边缘的距离， sa =净保护层厚(c)+ 2 钢筋直径 (d)（mm）。 2）计算方法。 a、 直接计算法 即取极限状态 uMM  解上述方程（3.2）和（3.3）可得 sAx, 。 b、利用表格或相关公式求解。 2 01 bhf M c s    或   0 1 bh f f A y c s  （3.5） 2 211 s s     （3.6） s 211  （3.7） 0hf M A sy s   或 0 1 bh f f A y c s   （3.8） 式中： s —截面抵抗矩系数； s —截面内力臂系数。 适用条件： b  防止发生超筋破坏； min  防止发生少筋破坏。 ②双筋矩形截面计算公式，见图 3.8。 图 3.8 双筋矩形截面受力分析图 基本计算公式： 0N bxfAfAf csysy 1 ''  （3.9） 0M )() 2 ( '0 '' 01 ssycu ahAf x hbxfM   （3.10） 式中： 'sf —受压钢筋抗压强度设计值（N/mm 2）； ' sA —受压钢筋截面面积（mm 2）； ' sa —受压钢筋的合力点到截面受压外边缘的距离（mm）， ' sa =净保护层厚度+ 2 受压钢筋直径 。 适用条件： b  防止发生超筋破坏； '2 sax  保证受压钢筋达到屈服。 ③T 形截面数值的受弯承载力计算公式，见图 3.9，3.10。 1） T 形梁类型的判别。 第 I 类 T 形截面梁( 'fhx  )： ) 2 ( ' 0 '' 1 f ffc h hhbfM   或 ''1 ffcsy hbfAf  （3.11） 图 3.9 第一类 T形截面 第 II 类 T 形梁（ 'fhx  ）： ) 2 ( ' 0 '' 1 f ffc h hhbfM   或 ''1 ffcsy hbfAf  （3.12） 图 3.10 第二类 T形截面 图 3.11 第一、二类 T形截面界限 式中：M —受弯构件正截面弯矩设计值（N.mm）； 2） 第 I 类 T 形截面梁计算公式。 受压区未进入腹板，由于不考虑受拉区混凝土参与工作，所以其计算方法与宽度为 'fb 的矩形 截面完全一致，如图 3.9 所示。 基本公式： 0N xbfAf fcsy ' 1 （3.13） 0M ) 2 ( 0 ' 1 x hxbfM fcu   （3.14） 或 ) 2 ( 0 x hAfM syu  （3.15） 3） 第 II 类 T 形截面梁计算公式。 此时由于受压区已进入腹板，可将弯矩分为两部分进行计算如图 3.10。 基本公式： 0 X bxfbbhfAf cffcsy 1 '' 1 )(   （3.16） 0M ) 2 () 2 )(( 01 ' 0 '' 121 x hbxf h hbbhfMMM c f ffcuuu   （3.17） 取极限状态有 MM u  。 根据图 3.10 有： ) 2 )(( ' 0 '' 11 f ffcu h hbbhfM  ； （3.18） )( ''11 bbhfAf ffcsy  ； （3.19） ) 2 ( 012 x hbxfM cu   ； （3.20） bxfAf csy 12  （可按矩形截面求解）， （3.21） 式中 12 uu MMM  ， 21 sss AAA  。 4） T 形截面梁的适用条件。 a、 bxx  或 b  （第 I 类 T 形截面一般均能满足，可不用验算）； b、 min  （第 II 类 T 形截面一般均能满足，可不用验算）。 3.4 例题解析 3.4.1 单筋矩形截面梁的设计与复核 ①设计题。 [情况1] 已知M 、混凝土强度等级、钢筋等级及截面尺寸b及 h，求受拉钢筋 sA 。 a、根据截面内力平衡条件列出平衡方程。       ) 2 ( 01 1 x hbxfM bxfAf cu csy   取极限状态有： uMM  解此二元二次方程组可得到 sx A、 。 适用条件检验： bh x   0 或 max  ， min  bh As 。 若 b  则应加大截面或提高混凝土强度，或改配双筋截面重新设计。 若 min  ，则取 min  ，即 bhAs .min 。 此方法计算繁琐，但公式物理意义明确，易于推导，便于记忆，且不用查表格。 b、表格计算法。 令 c y f f h x 10    ， )5.01(  s ，  5.01s 。 因系数 s ， s 仅与受压区相对高度 有关，可列成表格以备查用。 2 01 bhf M c s    查表得： s 及 ，或由公式         2 211 211 s s s    解出 s 及 。 由 0hf M A sy s   或   0 1 bh f f A y c s  求得 sA 。 适用条件： b  ， min  bh As 。 若 b  则应加大截面或提高混凝土强度，或改配双筋截面重新设计。 若 min  ，则取 min  ，即 bhAs .min 。 此方法计算较简单，可根据表格或相关公式计算，原理与基本方程相同。 [情况2 ] 已知 、混凝土强度等级、钢筋等级及截面尺寸，求b、 h及受拉钢筋 sA 。 在基本方程中有4 个未知数（ xhb s、、、 A ），为使设计的构件更为经济，一般假设梁宽及 配筋率 （取在经济配筋率内），有 c y f f 1 ＝ 。 通过 查表或根据公式（3.5）、（3.6） 求得相应 s 、 s 。 bf M h cs 1 0   （3.22） 取 350  hh （单排）或 600  hh （双排），对h取整，取模数，及检查h/b是否合适，确定 h、b 再按[情况 1]进行配筋计算。 ②校核题 已知： shb A、、 、混凝土强度等级（ cf ）及钢筋强度等级（ yf ），求截面所能承受的极限弯矩 uM 。 1） 可由基本方程组       ) 2 ( 01 1 x hbxfM bxfAf cu csy   解出 x及 uM 。适用条件检验： b  ，及 min  。 若 b  ，则按 b＝ 考虑取 201)5.01( bhfM cbbu   。 （3.23） 若 min  则应修改配筋或修改截面重新设计。 [例 3.1] 已知矩形截面梁 mmmmhb 500250  ， mmas 35 ，弯矩设计值 mkNM  170 ，混凝 土强度等级 C20，钢筋采用 335HRB 级钢，求所需钢筋 sA 。 [解] 0h = 46535500  mm， cf = 6.9 2mmN ， yf = 300 2mmN 11  由基本方程       ) 2 ( 01 1 x hbxfMM bxfAf cu csy   解出： mmxmmAs 6.171,426 2  验算： 544.0369.0 465 6.171  b＝ 22min 14265.187500250002.0 mmmmA ss  故 sA 满足要求，实配 4 22（ sA 1520 2mm ）。 亦可用查表法，计算步骤如下： 2 01 bhf M c s    = 328.0 6.9465250 10170 2 6    根据公式（3.7）得： 793.0s sA = 2 6 1537 300465827.0 10170 mm   结果与解基本方程求得结果相同。截面配筋图见图 3.12。 [例 3.2] 已知钢筋混凝土梁如图 3.13，计算跨度 6.5l ，作用均布荷载设计值 mkN22 （不包括自重）， 混凝土强度等级 20C ，钢筋 HRB335 级，试设计梁截面。 [解]①内力计算 设梁截面尺寸 mmmmhb 500200  自重荷载分项系数 2.1G ，混凝土重力密度为 325 mkN 总荷载设计值为 mkNq /252.1255.02.022  设计弯矩 mmNM  62 10986.525 8 1 。 ②截面尺寸计算 在经济配筋率内设 %0.1 ， mmb 200 则 3125.0 6.9 300 01.0 1  c y f f  ＝ 264.0)5.01(   s （亦可由查表得） bf M h cs 1 0   = mm440 6.9200242.0 1098 6    mmh 46435429  ，取整，取 mmh 500 (按模数) 图 3.12 截面配筋图 图 3.13  h b 5.2 1 500 200  符合要求。 ③配筋计算 mmhh s 465355000   s 236.06.9465200 1098 2 6    根据公式： s 211  及 2 211 s s     863.0s 273.0＝ sA = 300465863.0 1098 6   =814 2mm 验算： 544.0273.0  b＝ 22 min 814150002.0 mmmmbhAs  故符合要求，实配 4 16  2804mmAs  。截面配筋图见图 3.14。 [例 3.3] 已知矩形截面梁尺寸 mmmm 450200  ，配受拉钢筋 HRB335，4 16 排成一排，混凝土采用 20C ，设计弯矩 mkN 84 ，试验算截面承载力。 [解] 由原题知： 222 804,/300,/6.9 mmAmmNfmmNf syc  ， mmh 415354500  bh As = %969.0 450200 804   544.0303.0 6.9 300 00969.0 1  b c y f f   ＝ 257.0)5.01(   s 可得 mkNmkNbhfM csu  8498.844152006.9257.0 2 01 验算： 544.0303.0  b＝ 22 min 8045.124002.0 mmmmbhAs  满足适用条件要求。 经校核可知此梁安全。 图 3.14 截面配筋图 图 3.15 已知 sA求 A时双筋梁的计算 3.4.2 双筋矩形截面梁的设计与复核 ①设计题 设计题分为两类：一类是 sA 、 ' sA 都未知，另一类是已知 ' sA ， sA 未知。 第 I 类：计算步骤。 为充分利用混凝土强度，减少钢材用量，让混凝土相对受压区高度 达到其临界值 b ，假定 b＝ ， 即 0.hx b 由式（3.10） )() 2 ( '0 '' 01 ssycu ahAf x hbxfMM   可得： )( )5.01( )( )2( ' 0 ' 2 01 ' 0 ' 01' sy bbc sy bbc s ahf bhfM ahf xhbxfM A        （3.24） 由式（3.9） bxfAfAf csysy 1 ''  得： y c b y y ss f bhf f f AA 01 ' '  （3.25） 由于结果是在 b＝ 的假定下得出的，所以适用条件： b  ， '2 sax  ，都能满足而不需再进 行验算。 第 II 类，计算步骤。 由于受压区已经配置一定数量受压钢筋，即为 'sA 已知的情况，计算时将 M 分为两部分 21 uuu MMMM  ，如图 3.15。 其中 )( '0 '' 1 ssyu ahAfM  2 0112 bhfMMM csuu  2uM 式相当于单筋矫形梁配筋计算，可采用解基本方程法或表格计算法。如采用表格算法则利用表格 或公式： 2 01 2 bhf M c u s    2 211 s s     0 2 2 hf M A sy u s   又知 ' ' 1 s y y s Af f A  总之得： 21 sss AAA  适用条件： b  ， '2 sax  (1) 若 b  说明受压钢筋不足，需要增加配筋，否则属超筋脆性破坏，问题转变为第 1 类问题， 按 sA 、 ' sA 都未知时求解。 (2) 若 '2 sax  ，说明受压钢筋未能达到屈服强度。此时可取 '2 sax  ，对受压钢筋位置取矩，由 于受压钢筋合力位置与混凝土合力位置重合可得： )( '0 ssy ahAfM  即 )( '0 sy s ahf M A   （3.26） （3）在少数截面尺寸过大时,按双筋计算得 sA 反而比按单筋计算的 sA 要大,此时为节省钢筋应按单 筋截面公式求 sA 。 ②复核题 已知截面尺寸 hb ，混凝土及钢筋等级，受拉及受压钢筋面积（ sA 、 ' sA ）求所能承受弯矩 uM 。 由式（3.9） bxfAfAf csysy 1 ''  bf AfAf x c sysy 1 ''    (1)若 0 '2 hxa bs  ，则由式（3.10）得 )() 2 ( '0 '' 01 ssycu ahAf x hbxfM   (2)若 '2 sax  ，则由式（3.26）得 )( '0 ssyu ahAfM  (3)若 0hx b 则取 0hx b ，由式（3.10）得 )()5.01( '0 ''2 01 ssybbcu ahAfbhfM   [例 3.4] 已知钢筋混凝土双筋矩形梁，截面尺寸 mmmm 500200  ，承受设计弯矩值 mkN 240 ，混凝 土 20C ，钢筋 HRB335 级。求所需纵向钢筋 sA 、 ' sA 。 [解] 由原题知 6.9cf 2mmN ， 300yf 2mmN ， 设钢筋排成双排，则： 440605000 h mm 若设计成单筋截面能承受的最大弯矩： )5.01(201max bbcu bhfM   m240kNM147.2kN.m=9.6 440 200 0.544) 0.5-(1 0.544= 2  说明单筋截面不能满足要求，需设置成双筋截面梁，由式（3.24）得 )( )5.01( )( )2( ' 0 ' 2 01 ' 0 ' 01' sy bbc sy bbc s ahf bhfM ahf xhbxfM A        764 )35440(300 )544.05.01(544.04402006.910240 26     2mm 受拉钢筋 2296 300 6.9 440200544.0 300 300 56801 ' '  y c b y y ss f bhf f f AA   2mm 实配 2281sA 2mm ，6 22， 760' sA 2mm ，2 22，配筋图见图 3.16。 [例 3.5] 已知条件同[例 3.4]，但已知在受压区配 183 纵向钢筋，求所需受拉钢筋截面面积 sA 。 （ 941' sA 2mm ） [解]： MMMM uuu  21 其中：   3.11435440300941)( '0''1  ssyu ahAfM mkN  7.1253.11424012  uu MMM mkN  根据 2M 值按单筋矩形截面进行配筋。 2 01 2 bhf M c u s    = 338.0 6.9440200 107.125 2 6    图 3.16 配筋图 431.0211  s 785.0 2 211    ss   0 2 2 hf M A sy u s   = 1213 440785.0300 107.125 6    2mm 适用条件校核 s 211  =0.338< 544.0b 0hx  =189.6mm > '2 sa =70mm 又 ' ' 1 s y y s Af f A  941941 300 300  2mm 2154121394121  sss AAA 2mm 实配 6 22 ( 2280sA 2mm ) 比较[例 3.4]和[例 3.5]可知，[例 3.4]计算得最后需钢筋总面积为 sA + 30607642296 ' sA 2mm ；[例 3.5]计算得钢筋总面积 sA + 30959412154 ' sA 2mm 。[例 3.5]和[例 3.4]相比受拉区钢筋有所减少， 但总用钢量有所增加，原因是[例 3.4]充分利用了混凝土的强度。 [例 3.6] 已知矩形截面钢筋混凝土 mmmmhb 500200  ，混凝土强度等级采用 20C ，受压钢筋 HRB335, 2 16（ 402' sA 2mm ），受拉钢筋 HRB335, 225 （ 1900sA 2mm ），设计弯矩 M = mkN 200 ，试对该梁进行校核。 [解] 由题可知： 6.9cf 2mmN ， 300' yy ff ＝ 2mmN ， 440605000 h mm   84.4835440402300)( '0''1  ssy ahAfM mkN  ' ' 1 s y y s Af f A  = 402' sA 2mm 1498402190012  sss AAA － 2mm c ys f f bh A 10 2 .  ＝ = 532.0 6.9440200 3001498      15348.05.014401498300)5.01(022  hAfM sy mkN . 84.20115384.4821  uuu MMM mkN  mkN  200 适用条件校核 532.0＝ < 544.0b 234440532.00  hx  mm > '2 sa = mm70 ，满足要求。 [例 3.7] 已知双筋矩形截面梁 mmmmhb 500200  ，设计弯矩M = mkN .150 ，受压区配 2 25， 982' sA 2mm ，钢筋采用 HRB335 级钢，混凝土 20C ，求受拉钢筋 sA 。 [解] 由题可知： 96cf 2mmN ， 300' yy ff ＝ 2mmN ， 465355000 h mm   67.12635465982300)( '0''1  ssyu ahAfM mkN  33.2367.12615012  uu MMM mkN . 根据 2M 数值按单筋截面进行计算： 2 01 2 bhf M c u s    = 0458.0 6.9465200 1019 2 6    0469.0211  s < 544.0b 8.210  hx  mm < 702 ' sa mm 取 x =70mm ， )( '0 sy s ahf M A   = 8.1162 )35465(300 10150 6    2mm 。 3.4.3 T 形截面梁的设计与复核 ①设计题 T 形截面梁的分类       )22 )(11 ' ' f f hx（T） hxT 受压区进入腹板形截面梁类第 受压区未进入腹板形截面梁类）第 1） 第 I 类 T 形梁 由于受压区未进入腹板，所以其计算应与梁宽 'fb 、高为 h 的矩形梁完全一致，根据式（3.13），（3.14） 有： bxfAf csy 1 ) 2 ( 01 x hbxfM cu   其适用条件与矩形梁适用条件一致。 （1） 0hx b ，第 I 类 T 形截面梁 ' fhx  ，所以此条件通常满足。 （2） min  ，控制最小配筋率。 应特别注意的是，此时 是对梁肋部计算的（ bhAs ），这主要是因为梁的最小配筋率是由受 拉区的混凝土的抗拉强度和形状决定的，而与受压区混凝土形状关系不大，所以素混凝土 T 形梁与素混 凝土的矫形梁承受弯矩相差不大。 2） 第 II 类 T 形梁。 当受压区进入腹板后，可将受压区混凝土分为两部分（如图 4-9），从而将承受的弯矩也分为两部分， 根据式（3.15）和（3.16）有： bxfbbhfAf cffcsy 1 '' 1 )(   ) 2 () 2 )(( 01 ' 0 '' 121 x hbxf h hbbhfMMM c f ffcuuu   适用条件： （1） 0hx b ，防止超筋破坏。 （2） min  ，第 II 类 T 形梁一般都满足此条件，可不作验算。 计算步骤： （1）判断 T 形梁为哪一类型。 若 ) 2 ( ' 0 '' 1 f ffc h hhbfM   ，则属于第 I 类 T 形截面； 若 ) 2 ( ' 0 '' 1 f ffc h hhbfM   ，则属于第 II 类 T 形截面。 （2）计算配筋量。 ①第 I 类 T 形梁，按截面为 hb f  ' 的矩形梁设计，参阅矩形截面单筋梁计算方法。 ②第 II 类 T 形梁计算中 M 分为 M1和 M2，相应的将 sA 分为 1sA 和 2sA 。 ) 2 )(( ' 0 '' 11 f ffcu h hbbhfM  ； ) 2 ( 012 x hbxfM cu   ； 可知： y ffc s f hbbf A '' 1 1 )(    ，M2部分可按矩形截面单筋梁计算： 12 uu MMM  = 2 01 .hbf cs ，其中 )5.01(  s 由式（3.5）得： 2 01 2 bhf M c s    ， s 211  2 211 s s     0 2 2 hf M A sy s   21 sss AAA  。 3）适用条件校核。 （1） bxx  或 b  ，第 I 类 T 形截面一般均能满足，可不用验算； （2） min  其中 bhAs＝ 。第 II 类 T 形截面一般均能满足，可不用验算。 ②承载力校核题 计算步骤： 3） 判断 T 形截面类型。 若： ''1 ffcsy hbfAf  ，属于第 I 类 T 形梁； （3.27） 若： ''1 ffcsy hbfAf  ，属于第 II 类 T 形梁。 （3.28） 4） 计算正截面极限承载力值 Mu。 （1） 对第 I 类 T 形梁可按截面为 hb f  ' 的单筋矩形计算。 （2） 第 II 类 T 形梁有： y ffc s f hbbf A '' 1 1 )(    （3.29） 12 sss AAA － （3.30） 由 0 2 2 bh As 计算 C y f f 1 2    )5.01(  s 2M = 2 01 .hbf c ， )2 ( ' 011 f sy h hAfM  21 MMM u  3)适用条件校核. （1） b  ，第 I 类 T 形截面一般均能满足，可不用验算；对第 II 类 T 形梁，若 b  ，可按 b  计算 Mu。 （2） min  ，第 II 类 T 形截面一般均能满足，可不用验算。对第 I 类 T 形梁若 min  可按矩 形截面考虑。 3.4.4 T 形截面双筋梁 结合 T 形截面梁与双筋矩形截面梁的计算法。 1． 计算步骤。（一般为校核题） 1）T 形梁类型 若 ''''1 syffcsy AfhbfAf  ，属于第则 I 类 T 形梁； （3.31） 若 '''' 1 syffcsy AfhbfAf  ，则属于第 II 类 T 形梁。 （3.32） 2）计算承载力 Mu。 （1）对第 I 类 T 形梁可按截面为 hb f  ' 的矩形截面双筋梁进行计算。 （2）对第 II 类 T 形梁可完全按截面内力平衡条件： 0N sysyffc AfAfhbbbxf  '''' 1 ])([ （3.33） 0M )() 2 ()()2( '0 '' ' 0 '' 101 ahAf h hhbbfxhbxfM sy f ffccu   （3.34） 由（3.33）解出 x 代入（3.34）中即可求出 Mu。 5） 适用条件校核 （1） bxx  或 b  ，防超筋破坏。对第 I 类 T 形截面一般均能满足，可不用验算；对第 II 类 T 形梁，若 b  ，可按 b  ， 0.hx b 代入（3.34）计算 Mu。 （2） min  ，防止少筋破坏。第 II 类 T 形截面一般均能满足，可不用验算。对第 I 类 T 形梁若 min  可按矩形截面考虑。 [例 3.8] T 形截面梁， 250b mm , 800h mm , 600' fb mm , 100 ' fh mm ,混凝土 20C ， 钢筋 HRB335，设计弯矩 M= mkN 500 ，纵筋取双排，求 sA 。 [解] 1）判断 T 梁类型。 740608000 h mm   4.3972/1007401006006.9) 2 ( ' 0 '' 1  f ffc h hhbf mkN . mkN .500 由此知梁属第 II 类 T 形梁。 2）求受拉纵筋 sA 。     8.2312/1007401002506006.9) 2 )(( ' 0 '' 11  f ffc h hbbhfM  mkN . 2.2688.23150012  MMM mkN  2 01 2 bhf M c s    = 178.0 6.9740250 103.234 2 6    图 3.17 截面配筋图  198.0211 s 544.0b 901.0 2 211    ss   0 2 2 hf M A sy s   = 4.1171 740915.0300 103.234 6    2mm y ffc s f hbbf A '' 1 1 )(    = 1120 300 100)250600(6.9   2mm 4.229111204.117121  sss AAA 2mm 3）适用条件校核。 198.0 < 544.0b ,又属于第 II 类 T 形梁， min  可不作验算。 满足要求，实配 2 18＋6 20 （ 2391sA 2mm ），配筋图见图 3.17。 [例 3.9] I 形截面梁， 600'  ff bb mm ， 250b mm , 500h mm , 100 '  ff hh mm ， 混凝土 20C ，钢筋 HRB335，设计弯矩 mkN 220 ，求所需受拉钢筋 sA 。 [解] 设钢筋在受拉翼缘内排成单排， 465355000 h mm 1） 判断 T 形梁类型。   04.2392/1004651006006.9) 2 )(( ' 0 '' 1  f ffc h hbbhf mkN  mkN  220 所以受压区不进入腹板内，属第 I 类 T 形梁。 2） 按截面为 0 ' hb f  的矩形截面计算。 2 0 ' 1 hbf M fc s    = 20.0 4656006.9 10250 2 6    887.0 2 211    ss   0hf M A sy s   = 4.2020 465887.0300 10250 6    2mm 3) 适用条件的验算。 （1） 由于此梁为第 I 类 T 形梁，所以 b  均能满足，不作验算。 （2）    ff s hbbbh A )(0  %3.1 100)250600(465250 4.2020   > %15.0min  图 3.18 截面配筋图 *注 I 形截面梁在计算最小配筋率时要计算受拉区翼缘面积和梁肋面积的和。 最后配筋 4 25（ sA =1964 2mm ），配筋图见图 3.18。 [例 3.10] T 形截面梁 250b mm , 700h mm , 600' fb mm , 100 ' fh mm ，混凝土 20C ， 配有 HRB335, 7 20（ 2200sA 2mm ）受拉钢筋，设计弯矩 350 mkN  ，问此梁能否满足要求？ [解] 640607000 h mm 1） 判断此梁类型。 66000002200300 syAf N 5760001205006.9'0 ' 1 hbf fc N sy Af > ' 0 ' 1 hbf fc 。属第 II 类 T 形梁。 2） 根据式（3.29）和（3.30）得： y ffc s f hbbf A '' 1 1 )(    = 960 300 120)250500(6.9   2mm 1240960220012  sss AAA 2mm 0 2 1 bh As = 00887.0 700250 1240   00887.01  cm y f f   277.0 6.9 300  239.0)5.01(   s 9.2346402506.9239.0 22012  bhfM cs mkN      1672/1206401202505006.9) 2 )(( ' 0 '' 11  f ffc h hbbhfM  mkN  9.4011679.23421  MMM u mkN . >M= mkN 350 满足。 3） 适用条件校核。 对第 II 类 T 形梁不需校核 min  ，又 277.0 < 544.0b ，满足适用条件。 该梁满足承载力要求，配筋图见图 3.19。 [例 3.11]* T 型截面梁 200b mm , 600h mm , 500' fb mm , 100 ' fh mm ，受拉纵筋 图 3.19 截面配筋图 HRB335, 6 18（ 1526sA 2mm ），受压纵筋 HRB335, 3 18（ 763' sA 2mm ），混凝土 20C ， ' sa =35mm 。求该梁所承受最大弯矩。 [解] 1）判断此梁类型。 540606000 h mm 6820002200310 syAf N 9.8043007631205006.9'''0 ' 1  syfc Afhbf kN sy Af < ''' 0 ' 1 syfc Afhbf  ，说明受压区不进入腹板，属第 I 类 T 形梁。 2）求 Mu ' 1 '' fc sysy bf AfAf x    = 5006.9 )7631526(300   =47.7mm 明显： 7027.47  sammx mm 不满足适用条件。取 70x 进行计算：   2.23135540300526)( '0  ssyu ahAfM mkN  3)适用条件校核。 第 I 类 T 形梁 b  一般满足，不必校核。 bh As = %27.1 600200 1526   > %15.0min  满足。 '2 sax  条件计算时已考虑。 最后此梁能承受极限弯矩 9.238uM mkN  ，配筋图见图 3.20。 [例 3.12]* T 形截面梁， 200b mm , 600h mm , 400fb mm , 100fh mm ，配有纵向 受压钢筋 2 20（ 628' sA 2mm ），受拉钢筋 6 25 （ 2945sA 2mm ），如图 3.21 所示，混凝土 20C ， 求此梁能承受的最大弯矩。 [解] 1）判别 T 形梁类型。 540606000 h mm 5.8832945300 syAf kN 30