W_2_1空间中的最佳插值逼近算子_崔明根

1 9 5 6 年 s 月 计 算 数 学 第 2 期 砰 ; 空间中的最佳插值逼近算子‘ . 崔 明 根 邓 中 兴 (哈尔滨工业大学) (哈尔滨科技大学) O N T H E B E S T O PE R A T O R O F IN T E R PO LA T IO N IN W 生 C u i M in g 一 g en (衬 a , b萝, I, , z it “t o o j T o c h o o lo g 夕) D e n g Z h o n g 一x in g (月 a r b in U 。矛, 。r t介夕 o f S c io n c o a 二d T o c ho o lo g y ) A b st rac t T hi。 pa p e : g iv es 。 bes : o pe r a to r o f io te r po la tio n fo r ba ll U ~ {}l u }1成 户}in w l[ a , b ] : 。黑(万 ) 一 艺 , 厂(x )r, , w her e , { x * }〔 〔。 , b l , JI; ” W“ , 产(二) 一 艺 夕* , * (‘) , 了, 一 艺 “* I * , , * u 一 u ( x * ) , 掩留 1 甲* (二 ) ~ e ‘ + ‘凌十 e Z a + Zb 一 ( r + x 左) + 亡为 + I x 一 工介} + 。 Z b 一 lx 一 x 左. 2 ( e , b 一 e 劫) 亏1 . 问 题 的 提 法 设 x 是函数空间 , 1 5“ {补 }丫是给定的一组实数 . 由下式确定 X 上的一组泛函 {I l’}r : ~ “ ( x , ) 二 “j , “( x ) 〔 X , z ~ 1 , 2 , ⋯ , , . ( l ) 设 X 。 是 X 的 ” 维子空间 , 定义X 上的算子 H 。 : ( H 。。 ) ( 二) 一 艺 a , (二) , , u , u ( 、) 。X , ai (二) 。X 。 , 护~ l , 2 , ⋯ , 。 . ( 2 ) 对 X 中的集合 A , 称 * 19 8 4 年 2 月 l呼 日收到 . 计 算 数 学 1 9 8 6 年 石刁(x 。 ; {a j(、) }了) 二 su p l(H , u )(戈) 一 u (劣)‘ (3 ) 、矛声、1户月什亡夕‘了、了‘、 口 〔 才 为 A 关于 X , 中插值基元组 毛a , (幻” 的插值逼近偏差 , G , (X 。 ) 二 in f E , (X 。 ; {a , (二 )}艾) 兮jkxi) 奥如 为 A 关于子空间 X 。 的插值逼近偏差 , d , (: ) 三 in f 己, (x 。) X ”〔x 为 A 的插值逼近偏差 . 若某个 n 维子空间 X 。 达到(5 )的下确界 , 则称此 X 。 为集合 A 的 最佳插值逼近子空间 , 记为 X 雪. X穷中达到 (4 )的下确界的 丈“ , (幻 }r 称为集合 汉 的最佳 插值逼近基元组 , 记为 {a广(x )}穿. 这时称 H : (二) 二 艺 a于(x )I , (6 ) 为集合 A 的最佳插值逼近算子 . 本文得到了 分孟空间中球 u 一 丈“ (幻 ‘ 附{: !!训 攫 p , p > 。冬的最佳插值逼近算 子的具体表达式 . 砂; 空间即如下函数空间 : 砂; 二 牙孟〔。 , b1 ~ 丈“(x) ; “(动 是在区间〔。 , 司上绝对连续的实函数 , 而且 ‘〔习 e L ’[ a , b ] } . 在 W } 中 , 规定内积如下 : ‘“ , ·’一 ! “ (二 )。(x )‘二 + { ’。 , ( 二)。 , (二 )、二 , 。 , , 。二; . 可以证明 , 才孟空间关于范数 !】· }}一 丫石丁万 是完备的 · 5 2 . 主 要 结 果 定理 . 设 互异内点 , 则 u (二) ‘ W I U ~ {“ (二) 〔 W I; }}“ I}成 p , 户 > 0 } , 毛x j片 是 [ a , b ] 中一 组 l “ u 的最佳插值逼近算子是 月公(二) 一 艺 , 产(戈)r, , (7 ) 其中 , 少(二) 一 艺 口* , * (二) , 2 , ⋯ , 几 , (8) 一 见 口* I * , 夕* 是实数 , I* 由(1 )式确定 , 甲*(二) 一 。 月 + : 食 + 。劫+ Zb 一 (二 + x 友) + 。而+ l, 一 ‘灸l + 。2卜{ , 一 才乓叮 (9 ) Jrllee.es、..j -‘.、 2 0 对任何 “(x ) 〔 2 ( 。 , b 一 e , ‘) 分; , 下式成立 : I,(衅u ) ~ “ , , i~ l , 2 , ⋯ , 。 . (1 0 ) 2 期 崔明根等 : w 毛空间巾的最佳插值逼近算子 3 0 当 {X , }厂 在 [。 , b }中稠密时 , ,; m (月劣“ )(万)里 “(二 ) , “ (二) 。 甲 ; , 二 。 ta , b ] . 亏3 . 主要结果的证明 (一 ) {1 5}丫 u (劣 ) ~ 是 W生上一组有界线性泛函 . 事实上 , 由 · (, ) + {: 一 (君。d , , 一 , 〔〔一 ‘, , · 〔 W“ !·(·) }‘ !· (, , ! + !: ,一(·) ,‘二 上式两端对 夕积分并用 C a uc hy 积分不等式 , 得到 }! u }I 。 提 M !I。 !I, 其中 }} · }}: 表示 c 汇。 , 占] 的最大值范数 , 材 ~ (乡一 。)一去+ (占一 。). 因此 }1 1。 } ~ } u ( x i) }簇 }!“ }}。 成 M }j“ }}, u 〔砂盖, 夕~ 1 , 2 , ⋯ , n . 这表明 }!I , !!( M (, ~ 1 , 2 , ⋯ , , ) , 而 15 的线性是显然的 . 由 R 让sz 泛函表示定理 , 有 甲沂 W I, 使对 “ 〔W {, 11。 ~ (“ (二) , 甲i(二) ) , !!I, ,}~ }!甲, !I, j ~ l , 2 , ⋯ , n . (二) 对于 x 〔 [ a , b ] , 作 W卷上的泛函 口二 : 口二u 一 u (万) , u 〔W I. 由(1 1) 式易知 , Q二 是线性有界泛函 , 故有 R 二 〔 w 玉, 使 “(劣) 一 Q , “ ~ (“ (y ) , R 二 (y)) , u 〔 W }. 由(12) , (1 3 ) , (1 4 )三式 , 有 甲s(二) ~ 夕二甲 , ~ (中i(y) , R 二 (y)) 一 (R 二 (夕) , (夕, (夕) ) ~ I , R 二 (y) ~ R 二 ( x i) , 夕~ 1 , 2 , ⋯ , , . (三) 求 R : (y ) 的表达式 . 考虑微分方程 一 些望卫 十 F 二 (刃 一 。, y 钾 二 , d y ‘ J F 二 (夕) } _ d F 二 (夕) } _ 。— l 一— l — V ,d y l梦‘。 d y l, ‘bF 二 (夕) }, 。 一。~ F 二 (y) 1, 二: + 。,亘五丛业 . } d y ! d F , (夕) 】 _ , · :一 吕 一 刁一 1, 二x 一 0 d y ] ,哪 + o l ‘....,..怪‘,‘、se-.... .‘....‘.、 不难求出其解为 e 二 + y + 。 Za + Z b 一(x + 夕) + 。耘一 (夕一 ‘ ) 十 e Zb + (夕一 ‘ ) 2( e , 乡一 e 劫) ‘ : + y + e 知+ Zb 一 (二 + y ) 十 e劫 + (y 一 工 ) 十 e Zb 一 (y 一 x ) 2 ( 。 Zb 一 e Z a) y 毛 才 , (1 1) (1 2 ) (1 3 ) (1斗) (1 5) (16 ) (1 7) y 妻 x 。 了..,.IJ、....且L 一一、,了夕厂 . k F 计 算 数 19 8 6 年 易验证 F二 (刃 满足 (14 )式 . 事实上 , 设 e > o , 有 ( “ (, , · F 二 (·, ’一 ({厂 + !:{: + { )F 二〔, ,· (, , ‘, + ({ ’一 “ + { ’“ + { \ J a J 二一 七 J ) F ; (, )· ‘ (, )‘, / f 二一 “ [ x + 已 什 、 _ _ , _ _ . , _ ~ (} + l + } )F : 仁, )“仁y )d y + F ,t又y) u 仁, ) \沙口 J 七一 E J 二十 6 1 F牙仁y)“ 仁y )Jy 十 ) 二一 。“王又, )“’(y)口y + “·又y’“仁y ) F犷(夕)“ (夕)J夕 几. ...J产 I J 一 !: 一 ‘ (一 F , (, ) + “· (, )’· (, )“, + }: + 。 + !::: (一 ; ; (, ) + r 二(, ))·(, )、, + !:{: F· (, )· (, )‘, ; ; (y ) “ , (, )、, + ; 1(, )“ (y)} ’ 一 ‘ + ; ; (, )“(, ) } ’ . 令 s , O 并注意到(16 )式 , 得 ( “ (y) , F 二 (y) ) ~ (F二(x 一 o ) 一 F l(x + o ))“ (劣) ~ “ (万)。 因此 , 取 R , (y) ~ F 二 (y) , (18 ) 又由(15 )式 , 便得 甲, (尤 )(r ~ l , 2 , ⋯ , , ) 的表达式 (9 ). (四 ) 由(9 )式知 , {哟 (x) }梦是线性无关函数组 . 用 Sch m idt 方法将其正交化 , 得 到标准正交函数系 {甲户(劝 }了, 即 甲尹(劣) 一 艺 夕*甲* (‘ ) , 2 , ⋯ , 。 , 夕* 为实数 . 记 X七~ sp a n 〔{甲产(二 ) }全] . 由 d 。 (‘ ) 的定义并注意到(12 ) , (14 )二式 , 有 d u (劣) 一 in f in f x 沂叫 笠留毓” S : 。{ “(/ ) 一全。 , (工) , ,““ 七 U . j = l . ............ 、,夕、.产夕r 几、 夕甲~ in f in f su P X o C ‘l气留袅乏。 “ “” ( “ (, ) , R 二 (y) ) 一 艺 。, (x )(。(, ) , ~ p in f in f s u p x o C 甲l气留毓。 ” “”“ ( 。 (y) , R 二 (, ) 一 艺 a , (二)甲, (, )) ~ p in f in f气〔叫号留毓。 {{ R · (·, 一客一(· , , 了(夕, l}· 由于 X 史是 W孟的闭子空间 , 由上式看出 d 。 (‘) 一 p IIR , (, ) 一 (p x雾), R 二 (, ) !! , 这里 (p 咭), 是到子空间 X宕的投影算子 . 于是 (1 9 ) (2 0) 2 期 崔明根等 : 砂毛空间中的最佳插值逼近算子 ‘· (·卜 ·{卜(·卜客(“· (, , , 一 1卜(,卜客(R · (, ) , 柯i艺伺 一 l ‘胜ee.Lres . ..L一1}R ·(, , 一客艺 夕*(R · (y) , 灸(, , ) 甲: (,川 , * (, ,小厂(, , 一1}R · (y , 一客 R · (, ) {, 产(y) }} 一 }卜(y卜 (客, 尹(夕, ‘, )“· (y , }}· (2 1) 上式中 f, ~ 艺 凡I * , 从而取 H劣(劣) 一 (p , 雾)二 一 艺 , 产(二 )r, , (2 2 ) 即为球 u 的最佳插值逼近算子 . 1 “ 得证 . (五 ) 对任何 “ ‘ w l, 注意到 甲 , (x ) 〔 X 宕(z ~ l , 2 , ⋯ , n ) , 有 1 1(H劣“ ) ~ ((月舅“ )(‘ ) , 甲 , (‘) ) ~ ((p x竺“)(‘) , 甲, (‘ )) 一 (u (二 ) , (p x 劣甲, )(‘) ) 一 (“(x ) , 甲, (‘ )) 一 1 5“ 兰 “ , (护~ 1 , 2 , ⋯ , n ). 2o 得证 . (六 ) 设 {X j犷 在〔。 , b] 中稠密 . 由前面的证明知 , w ; 中的 标准正 交函 数系 {甲产(二) }厂 如下 : , 产(二 ) 一 艺 夕* , * (: ) , (2 3 ) 其中 钱 (幻 〔邵; . 对 “ 。 w ; , 使下式成立 : ( u (二 ) , 甲* (万)) ~ I *u ~ 、(x *) , 反~ l , 2 , ·⋯ 可以断言 , 夭中尹(幻广 是 W I 中的完备系 . 事实上 , 若有 “ 〔砰玉, 使 ( “(二) , 甲少(二 )) ~ o , 丈~ l , 2 , ⋯ , 则由(2 3 ) , (2 4 )二式 , 有 (2 斗) j i 护 o 一 艺 口、(“ (二) , , , (二) ) 一 艺 夕, I *“ 一 艺 浮*u (x , ) , i一 ‘, 2 , 因此 “(: , ) 一 0(z ~ l , 2 , ⋯ ) . 由 {X i片 在 [ a , b ] 中的稠密性及 。 (‘) 的连续性知 , u (x ) 二 0 (二 〔 [ a , b ] ). 设 “ 是自然数 , 仍记 s pan [ {甲夕}月 三 X雾, 则对任何 “ 〔w 丢, 有 }} u (x ) 一 (川“) (劣) {}~ }}u (二 ) 一 (p X雾“ )(二)介 计 算 数 学 t 9 8 6 年 一 }卜(·卜客(· (·, , , 尹(·, , , 才(· ) }卜0 , 一注意到(1 1) 式 , 即知 。m (雌)(二 )里 “(二) , x * [。 , ‘ ; 1. 3 。 得证 . 定理全部证毕 . 5 4 . 余 项 设 {xi ” 满足 。 ~ 二 1 < x : < ⋯ < x 。 ~ b . 考虑广义二阶微分算子 L 二 一 一 D Z 十 I , (2 5 ) 其中 I 为恒等算子 , 于是 乙二尸二 (y) 一 占(x 一 夕) . (2 6 ) 又由(1 5 )式 , 有 乙二沪j(二) 2 , ⋯ , 几 ,因此当 x 传 x 、(i 一 l , 2 , 从而 当 x 今 x *(i 一 l , 2 , L ~ 占(x 一 x , ) , z ~ n ) 时 , 由(8 )式得 x 甲产(二 ) ~ o , , 2 , ⋯ , n . 记 , · (二) ~ u (二) 一 (磷“ )(二) n ) 时 L : (H g “ )( 二) ~ 0 . (2 7 ) ~ “(万) 一 艺 , 产(二)f,“ , 则由(2 7)式 , 当 二 铸 二 ; (‘一 ‘, 2 , ⋯ , 。) 时 , 乙二 r (二) ~ 乙 : 、 (, ) . 而由(1 0 )式立即得知 r (x i) ~ 0 (i ~ l , 2 , ⋯ , n ) . 考虑微分方程 、、户、,了O乃”Q护,Ž,‘‘了、了、 L 二 r ( 二) ~ L 二“ (二) , r ( x i ) 一 r ( x l* + l ) ~ o , 其解为 r (二 ) ~ ~ l , 2 , ⋯ , 刀 一 l ; x i < x < x i + ‘; u 贬 W + ‘ G 〔, . 、+ 。 , (二 , , ) 乙:“ ( ‘) J , , 其中 G 〔, , , , : 】( x , , ) 是微分方程 ( 2 8 ) 的格林函数 : 亡 t 一 亡 Z x i+ i 一 了 2 ( e Z x , 一 e , x ‘+ ‘) 亡才 一 e Z x 宕一 , 2 ( 。 , x ‘一 e , x ‘+ ‘) · ( e , 一 e , “一, ) , r 镇 t , ( 3 0 ) · ( 。x 一 。, “+ ‘一 ‘ ) , 二 ) ‘, I J I ..、 ”、, 了 X 了、 +1 ‘ 二 i < x 、 z < x , + : , i ~ 1 , 2 , ⋯ , n 一 1。 5 5 . 附 记 1 。 在研究 , 个节点的多项式插值问题中 , 大量结果表明 , 当正交多项式系 {气 x 2 期 崔明根等 : 甲 ; 空间中的最佳插值逼近算子 (幻 找。。 中最后一个多项式 P 。 (幻 的零点为插值节点时 , 可以得到较好的结果 . 例如 , 以第一 、 二类 月e6 bl llj eB 多项式的零点作插值节点 , H er m ite 一Fe jer 插值多项 式 对 Li p 。 (0 < 。 < l) 类函数和连续函数能够达到或 “几乎” 达到多项式最佳逼近阶 t1 一 ,J . 本文利 用正交函数系 {甲八幻 }梦封 构造最佳插值逼近算子 , 也是以 {xi }界: 为 最 后一 个 函数 甲扎 : (幻 的零点 . 事实上 , 由(s) 式可以解 出 , ‘ (x) 一 艺 从, 老(x ) 2 , ⋯ , 。 + l , 从 为实数 . 当 i ~ 1 , 2 , ⋯ , 。 时 , 由 {甲产(x) ”织 的正交性 , 有 甲才+ 、(x , ) ~ (, 才+ L(二) , , , (: ) ) 一 艺 ‘*(, 乳 , (, ) , , 老(二)) 一 0 . 矽{ 完备性的证明 . 左。 , (二) } 是 W ) 中的 C a u ehy 列 : !}u 。 一 “n : }}, o (, , m 一 知 , }} 口 〔 L Z u 。 一 “。 11护 * o , !,u 二一 武 !!LZ 一 。 (n , 二 * co ) . 由 L ZC。 , co ) . 由】1 · 】}的定义 b] 的完备性 , 有 “ , 2o设 a , b ] , 使 (L Z ) , (L , ) u 仲一 u , u . 一 少 , 伦 一 0 0 .现证 u 〔砂{, 分以下几步 : (i) 自然数 !: , ·二(·, ‘“· 对 2 , ⋯ 是等度绝对连续的 . 事实上 , 对任意 6 > 0 , 有 N , 当 ” > N 时 , 有 {: (“二(· , 一 (·, , ’‘· < (含)’ 目了去万, 而 卜二(x ) }( }u二(x ) 一 。 (‘ )(+ 1。 (二 ) { 在 [ a , b ]上 p . p . 成立 . 于是 , 当 。 > N , [ a , b ] , 利用 C a u c hy 积分不等式 , 有 l“几(二) !d x < !, (二) IJ之 + 三 . 2 e < (3 1) 取 占。 , 使对任何 m es e < a。 , 。 < [ 。 , b ] , 有 32”句3435((V((, · (幻 ’dx < 号软 则对 , ~ N + l , N + 2 , ⋯ , 由(3 1 ) , (3 2 )得到 } u几(二) ld 二 < s , 。 < [ a , b ] , m es e < 几. 对上述 6 > O , 当 。 < [ 。 , 石] 时 , 有 沙心 n ~ l 2 , ⋯ , N 时 , 有 占i > o(i ~ 1 , 2 , ⋯ , N ) ; 当 m es 。 } u ;( 二) ld x < 。 , j ~ l , 2 , ⋯ , N 取 舀 ~ m in {凡 , 占: 占、 }, 则当 m es。 <= 占 , 巴 < [ 。 , 占] 时 , 有 ! 。 , ·“(·, “‘ < “ ’ ” - 2 , ⋯ 计 算 数 学 1 9 8 6 年 一一 ‘ , 、 、 一 一 _ , . , 、 、 一 , 、 一致 , 、 , _ , , 、 、 . _ , 、气11少 仔仕 l u八劣对 阴寸 夕U 悦“ 。 ‘又男月 , 便 u 。 , Lx )一 u 又劣 , L二 毛 L a , b j) · 田 u 。戈劣夕二 “ (二) 知 , 有子列 ‘“ 。 , (: )黑 。 (二 ) . 设 二。 。 [ 。 , 占1 , 使 。。 , (二。)一 (·。) , 注意到 二 * (·, 一 , (一 , 一 !;。 ·‘, (才)“: , 二 x 。 “不t) dt 关于 ‘ 一致收敛 , 而 “ ·。(约 是连续函数 , 则存在连续函数 g闰 , 满足 u 。 , (二 )巴 。(二 ) , 二 、 [ 。 , 乡r. 因此 “ (二) p o p 。 g (二) , 即 u (二 ) , g (二 ) 在 L ‘[ 。 , b ] 中等价 . 故不 妨取 u (: ) 三 g (二) . (、i、) “ (二) 是绝对连续 函数 . 事实上 , 任取区 l’ed 列 {La ‘, 夕‘] }空二 La , b ] , 满足 习 、 i = 1 (夕‘一 a 、) < 占 , 由 , 。 、 , 、 r口i , , 、 , “ ” * 、户‘j 一 “ ”, 、。‘/ ~ Jai “。 * 、劣 ’“二 及(3 5 )式 , 得 食 女艺 !“。、(夕、) 一 “ 。 , (a *)}蕊 艺 , ‘ l“二* (万) }d x < 8 , 即 “(幻 是绝对连续的 . (i v ) “’ (二) ~ , (: ) (p . p . [ a , b ] ) . 设 尺是无限次可微而支集在 [ a , b ] 内的实 函 数全体 , 则对任何 甲(幻 〔K , 有 “ , (二 ) , (x )d 二一 !: u (男)甲‘(二) d x ~ 一 辣}:二。(·, , ’(·, ‘· ~ li m 走, 的 u二, (‘ )甲(‘)d x 一 } _ 。(‘)甲(‘)d x . 因此 。 , (, ) 要些二 , (二) * 乙’[ 。 , 右1. 综合上述 , 我们证明了 “ (幻 〔 w ; . 参 考 文 献 E . M o ld o v a n , o b ser v a tio n s su r e er t a in s p r o c ed es d , i。一er p o la t io n g e o e r a lise s , 汉c洲 、 R p R . , B “1. 勺应- s o c t . s一1 . M a t . 石若二 . , 6(19 5斗), 礴7 7一4 8 2 . 王仁宏 , 科学通报 , 7(19 7 9 ) , 2 9 2一2 9 5一 孙燮华 , 杭州大学学报 , 3 (1 9 8 3 ) . 崔明根 , 计算数学 , 3 (1 9 8 ) ) , 2 7 7一 2 79 . 崔明根 , 计算数学 , 1(’9 8 4) . 1 09 一 1 12 - Ž.JŽ..1.J, .J, ‘J1二2341净r.Lf.L户.Lr.L”l‘