第五章 二次型

第五章 二次型 §1 二次型及其矩阵 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 一、二次型及其矩阵表示 设 P是一个数域,一个系数在数域 P中的 nxx ,,1  的二次齐次多项式 )1(222),,,( 222 2 222112112 2 11121 nnnnnnnn xaxxaxaxxaxxaxaxxxf   称为数域 P上的一个 n元二次型，简称二次型. 定义 1 设 nn yyxx ,,;,, 11  是两组文字，系数在数域 P 中的一组关系式           nnnnnn nn nn ycycycx ycycycx ycycycx     2211 22221212 12121111 , , (2) 称为由 nxx ,,1  到 nyy ,,1  的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式 0ijc ,那么线性替换(2)就称为非退化的. 线性替换把二次型变成二次型. 令 ., jiaa jiij  由于 ,ijji xxxx  所以二次型(1)可写成 )3( ),,,( 1 1 2 2211 22 2 2221221 112112 2 11121         n i n j jiij nnnnnnn nn nnn xxa xaxxaxxa xxaxaxxa xxaxxaxaxxxf     把(3)的系数排成一个 nn 矩阵 , 21 22221 11211                nnnn n n aaa aaa aaa A     (4) 它称为二次型(3)的矩阵.因为 ,,,2,1,, njiaa jiij  所以 AA  把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的.令                                                        n i n j jiij nnnnn nn nn n nnnnn n n n xxa xaxaxa xaxaxa xaxaxa xxx x x x aaa aaa aaa xxxAXX 1 1 2211 2222121 1212111 21 2 1 21 22221 11211 21 ,,, ,,,            或 AXXxxxf n ),,,( 21  应该看到二次型(1)的矩阵 A 的元素,当 ji  时 jiij aa  正是它的 ji xx 项的 系数的一半,而 iia 是 2 ix 项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此 可得,若二次型 BXXAXXxxxf n ),,,( 21  且 BBAA  , ,则 BA  . 令                               nnnnn n n y y y Y ccc ccc ccc C      2 1 21 22221 11211 , , 于是线性替换（4）可以写成                                            nnnnn n n n y y y ccc ccc ccc x x x       2 1 21 22221 11211 2 1 或者 CYX  . 经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型，替换后的二次型与原来的 二次型之间有什么关系，即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的 关系. 设 AAAXXxxxf n  ,),,,( 21  (7) 是一个二次型，作非退化线性替换 CYX  (8) 得到一个 nyyy ,,, 21  的二次型 BYY  ， 二、矩阵的 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 关系 现在来看矩阵 A与 B的关系. 把（8）代入（7），有 .)( )()(),,,( 21 BYYYACCY ACYCYCYACYAXXxxxf n   易看出，矩阵 ACC 也是对称的，由此即得 ACCB  . 这是前后两个二次型的矩阵的关系。 定义 2 数域 P 上两个 n阶矩阵 A， B称为合同的，如果有数域 P 上可逆的 nn 矩阵C ,使得 ACCB  . 合同是矩阵之间的一个关系，具有以下性质: 1) 自反性:任意矩阵 A都与自身合同. 2) 对称性:如果 B与 A合同,那么 A与 B合同. 3) 传递性:如果 B与 A合同,C与 B合同,那么C与 A合同. 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的。 这样把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以下的讨论提供了有力的工具。 最后指出，在变换二次型时，总是要求所作的线性替换是非退化的。从几何 上看，这一点是自然的因为坐标变换一定是非退化的。一般地，当线性替换 CYX  是非退化时，由上面的关系即得 XCY 1 . 这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原.这样就使我们从所得二次型的性 质可以推知原来二次型的一些性质. §2 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形 一、二次型的标准型 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 22 22 2 11 nnxdxdxd   . （1） 定理 1 数域 P上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1） 的形式. 易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵，   . 00 00 00 ,,, 2 1 2 1 21 22 22 2 11                               nn n nn x x x d d d xxx xdxdxd        反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论，经过非退化 的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理 1 可 以叙述为： 定理 2 在数域 P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理 2 也就是说，对于任意一个对称矩阵 A都可以找到一个可逆矩阵C使 ACC 成对角矩阵. 二次型 ),,,( 21 nxxxf  经过非 退化 线性 替 换所 变成的 平方 和称为 ),,,( 21 nxxxf  的标准形. 例 化二次型 32312121 622),,,( xxxxxxxxxf n  为标准形. 二、配方法 1. ,011 a 这时的变量替换为               . , , 22 2 1 1 1111 nn n j jj yx yx yaayx  令                  100 010 1 1 1 1112 1 11 1     naaaa C , 则上述变量替换相应于合同变换 11 ACCA   为计算 11 ACC  ，可令              nnn n n aa aa Aaa     2 222 1112 ,,, . 于是 A和 1C 可写成分块矩阵                    1 1 11 1 1 11 1 , nEO a C A a A    , 这里为 的转置， 1nE 为 1n 级单位矩阵.这样 . 1 11 1 111 11 1 1 11 1 111 11 1 1 11 1 11 1 1 11 11                                                                 aAO Oa EO a aAO a EO a A a Ea O ACC n nn 矩阵  1111 aA 是一个 )1()1(  nn 对称矩阵，由归纳法假定，有 )1()1(  nn 可逆矩阵G使 DGaAG   )( 1111  为对角形，令        GO O C 1 2 , 于是                              DO Oa GO O aAO Oa GO O CACCC 11 1 111 11 2112 11  , 这是一个对角矩阵，我们所要的可逆矩阵就是 21CCC  . 2. 011 a 但只有一个 0iia . 这时，只要把 A的第一行与第 i行互换，再把第一列与第 i列互换，就归结 成上面的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取 列i iPC                            100000 010000 000001 000100 000010 001000 ),1(1         i行 显然 ),1(),1( iPiP  . 矩阵 ),1(),1(11 iAPiPACC   就是把 A的第一行与第 i行互换，再把第一列与第 i列互换.因此， 11 ACC  左上角 第一个元素就是 iia ，这样就归结到第一种情形. 3. ,,,2,1,0 niaii  但有一 .1,01  ja j 与上一情形类似，作合同变换 ),2(),2( jAPjP  可以把 ja1 搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形.与那 里的变量替换相对应，取                   1000 0100 0011 0011 1      C , 于是 11 ACC  的左上角就是        12 12 20 02 a a , 也就归结到第一种情形. 4. .,,2,1,01 nja j  由对称性， .,,2,1,1 nja j  也全为零.于是        1 0 AO O A , 1A 是 1n 级对称矩阵.由归纳法假定，有 )1()1(  nn 可逆矩阵G使 DGAG  1 成对角形.取        GO O C 1 ， ACC  就成对角形. 例 化二次型 323121321 622),,( xxxxxxxxxf  成标准形. §3 唯一性 经过非退化线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.由第四章§4 定理 4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过非退化线性替换后，二次型矩 阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上 不为零的平方项的个数.因之，在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项 的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称 为二次型的秩. 至于标准形中的系数，就不是唯一确定的.在一般数域内，二次型的标准形 不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关. 下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题. 设 ),,,( 21 nxxxf  是一个复系数的二次型，由本章定理 1，经过一适当的非 退化线性替换后， ),,,( 21 nxxxf  变成标准形，不妨假定化的标准形是 ridydydyd irr ,,2,1,0, 22 22 2 11   . (1) 易知 r就是 ),,,( 21 nxxxf  的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，再作一非退化线 性替换                   , , , 1 , 1 11 1 1 1 nn rr r r r zy zy z d y z d y   (2) (1)就变成 222 2 1 rzzz   (3) (3)就称为复二次型 ),,,( 21 nxxxf  的 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 形.显然，规范形完全被原二次型矩阵的 秩所决定，因此有 定理 3 任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化线性替换可以变成规 范形，且规范形是唯一的. 定理 3 换个说法就是，任一复数的对称矩阵合同于一个形式为                     0 0 1 1   的对角矩阵.从而有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等. 设 ),,,( 21 nxxxf  是一实系数的二次型.由本章定理 1，经过某一个非退化线 性替换，再适当排列文字的次序，可使 ),,,( 21 nxxxf  变成标准形 ,22 11 22 22 2 11 rrpppp ydydydydyd    (4) 其中 rridi ;,,2,1,0  是 ),,,( 21 nxxxf  的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数 总可以开平方，所以再作一非退化线性替换                   , , , 1 , 1 11 1 1 1 nn rr r r r zy zy z d y z d y   (5) (4) 就变成 ,22 1 22 2 2 1 rpp zzzzz    (6) (6)就称为实二次型 ),,,( 21 nxxxf  的规范形.显然规范形完全被 pr, 这两个数所 决定. 定理 4 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变 成规范形，且规范形是唯一的. 这个定理通常称为惯性定理. 定义 3 在实二次型 ),,,( 21 nxxxf  的规范形中，正平方项的个数 p 称为 ),,,( 21 nxxxf  的正惯性指数；负平方项的个数 pr  称为 ),,,( 21 nxxxf  的负惯 性指数；它们的差 rpprp  2)( 称为 ),,,( 21 nxxxf  的符号差. 应该指出，虽然实二次型的标准形不是唯一的，但是由上面化成规范形的过 程可以看出，标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是一 致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准形中系数为正的平方项的 个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指 数. 定理 5 （1）任一复对称矩阵 A都合同于一个下述形式的对角矩阵：                            OO OI r 0 0 1 1   . 其中对角线上 1 的个数等于 A的秩. （2）任一实对称矩阵 A都合同于一个下述形式的对角矩阵：             000 00 00 pr p I I , 其中对角线上 1 的个数 p及-1 的个数 pr  （ r等于 A的秩）都是唯一确定的， 分别称为 A的正、负惯性指数，它们的差 rp 2 称为 A的符号差.. §4 正定二次型 一、正定二次型 定义 4 实二次型 ),,,( 21 nxxxf  称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实 数 nccc ,,, 21  都有 0),,,( 21 ncccf  . 实二次型 22 22 2 1121 ),,,( nnn xdxdxdxxxf   是正定的当且仅当 nidi ,,2,1,0  . 设实二次型 ,,),,,( 1 1 21 jiij n i n j jiijn aaxxaxxxf     (1) 是正定的，经过非退化实线性替换 CYX  (2) 变成二次型 ,,),,,( 1 1 21 jiij n i n j jiijn bbyybyyyg     (3) 则 nyyy ,,, 21  的二次型 ),,,( 21 nyyyg  也是正定的，或者说，对于任意一组不全 为零的实数 nkkk ,,, 21  都有 0),,,( 21 nkkkg  . 因为二次型（3）也可以经非退化实线性替换 YCX 1 变到二次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，非 退化实线性替换保持正定性不变. 二、正定二次型的判别 定理 6 实数域上二次型 ),,,( 21 nxxxf  是正定的 它的正惯性指数等于 n . 定理 6 说明，正定二次型 ),,,( 21 nxxxf  的规范形为 22 2 2 1 nyyy   (5) 定义 5 实对称矩阵 A 称为正定的，如果二次型 AXX  正定. 因为二次型（5）的矩阵是单位矩阵 E，所以一个实对称矩阵是正定的它 与单位矩阵合同. 推论 正定矩阵的行列式大于零. 定义 6 子式 ),,2,1( 21 22221 11211 ni aaa aaa aaa P iiii i i i       称为矩阵 nnijaA )( 的顺序主子式. 定理 7 实二次型 AXXxxaxxxf n i n j jiijn   1 1 21 ),,,(  是正定的矩阵 A的顺序主子式全大于零. 例 判定二次型 323121 2 3 2 2 2 1321 48455),,( xxxxxxxxxxxxf  是否正定. 定义 7 设 ),,,( 21 nxxxf  是一实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数 nccc ,,, 21  都有 0),,,( 21 ncccf  ,那么 ),,,( 21 nxxxf  称为负定的；如果都有 0),,,( 21 ncccf  ， 那 么 ),,,( 21 nxxxf  称 为 半 正 定 的 ； 如 果 都 有 0),,,( 21 ncccf  ，那么 ),,,( 21 nxxxf  称为半负定的；如果它既不是半正定又不 是半负定，那么 ),,,( 21 nxxxf  就称为不定的. 由定理 7 不难看出负定二次型的判别条件.这是因为当 ),,,( 21 nxxxf  是负定 时， ),,,( 21 nxxxf  就是正定的. 定理 8 对于实二次型 AXXxxxf n ),,,( 21  ，其中 A是实对称的，下列条件 等价： （1） ),,,( 21 nxxxf  是半正定的； （2）它的正惯性指数与秩相等； （3）有可逆实矩阵C，使                nd d d ACC  2 1 其中 nidi ,,2,1,0  ； （4）有实矩阵C使 CCA  . （5） A的所有主子式皆大于或等于零； 注意，在（5）中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的. 比如               2 1 21 2 221 10 00 ),(),( x x xxxxxf 就是一个反例. 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 Th8, )1()5(  设 A的主子式全大于或等于零， mA 是 A的m级顺序 主子式， mA 是对应的矩阵 mm mm mmmm m m mm PPP aaa aaa aaa AE             1 1 1 21 22221 11211      其中 iP是 mA 中一切 i级主子式之和，由题设 0iP ，故当 0 时， 0 mm AE ， AE  是正定矩阵. 若 A不是半正定矩阵，则存在一个非零向量   n bbbX 210  ，使 )0(00  CCAXX 令 0 22 2 2 100      nbbb C XX C   0)( 000000  CCAXXEXXXAEX  与 0 时 AE  是正定矩阵矛盾，故 A是半正定矩阵. Th8 )5()1(  记 A的行指标和列指标为 kiii ,,, 21  的 k级主子式为 kA ，对应 矩阵是 kA ，对任意   0,,, 210  kiii bbbY  ，有   0,,, 210  ncccX  ,其中       ,,,,,0 ;,,,, 21 21 k kj j iiij iiijb c   又 A是半正定矩阵,从而 00000  AXXYAY k . 若 0kA ，则 P234,12T，存在 0Y 使 0 YAY k 与 0 YAY k 矛盾，所以 0kA . ◇设 A为 n级实矩阵，且 0A ，则 AAAA  , 都是正定矩阵. ◇设 A为 mn 实矩阵，则 AAAA  , 都是半正定矩阵. 证明 AA 是实对称矩阵， nRX  令 AXU  ，则 U 是 m 维实向量   muuuU ,,, 21  0))(()( 222 2 1  muuuUUAXAXXAAX  AA 是半正定矩阵，同理可证 AA 是半正定矩阵. ◇设 A是 n级正定矩阵，则 0k 时， nAAkAA .,, *1 都是正定矩阵. 证明 由于 A正定，存在可逆矩阵C，使 EACC  , ECAC   111 )( ,从而 1A 为正定矩阵. )0(0)(,0,0  kXkAXAXXRX n kA 正定 又 A正定， 0A , 1A 正定, 1*  AAA 正定. kkk AAA ,0 对称 当 km 2 时， kkkm EAAAA )(2  ,从而 mA 正定. 当 12  km 时, )()(12 kkkm AAAAA   所以 mA 与 A合同，因而 mA 正定. 第五章 二次型(小结) 一、二次型与矩阵 1. 基本概念 二次型;二次型的矩阵和秩;非退化线性替换;矩阵的合同. 2. 基本结论 (1) 非退化线性替换把二次型变为二次型. (2) 二次型 AXXxxxf n ),,,( 21  可经非退化的线性替换 CYX  化为二次型 AYYyyyf n  ),,,( 21   ACCB  . (3) 矩阵的合同关系满足反身性、对称性和传递性. 二、标准形 1. 基本概念 二次型的标准形;配方法. 2. 基本定理 (1) 数域 P上任意一个二次型 ),,,( 21 nxxxf  都可经过非退化的线性替换 CYX  化为标准形式 2222 2 11 nn ydydyd   . (2) 在数域 P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 三、唯一性 1. 基本概念 复二次型的规范形;实二次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差. 2. 基本定理 (1) 任一复二次型 ),,,( 21 nxxxf  都可经过非退化的线性替换 CYX  化为唯 一的规范形式 frzzz r  , 22 2 2 1  的秩. 因而有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等. (2) 惯性定律 :任一实二次型 ),,,( 21 nxxxf  都可经过非退化线性替换 CYX  化为唯一的规范形式 frzzzz rpp   , 22 1 22 1  的秩, p为 ),,,( 21 nxxxf  的惯性指数.因而两个 n元实二次型可经过非退化线性替换互 化它们分别有相同的秩和惯性指数. (4) 实二次型的标准形式中系数为正的平方项的个数是唯一确定的,它等于 正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数. 四、正定二次型 1. 基本概念 正定二次型，正定矩阵;顺序主子式，负定二次型，半正定二次型，半负定 二次型，不定二次型. 2. 基本结论 (1) 非退化线性替换保持实二次型的正定性不变. (2) 实二次型 AXXxxxf n ),,,( 21  正定 ① A与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵 P ,使得 PPA  ; ② A的顺序主子式都大于零. ③ ),,,( 21 nxxxf  的正惯性指数等于 n .