2002-2008电子科大高等数学竞赛试题及解答

电子科技大学应用数学学院 余时伟录入整理 1 2002 年电子科大高等数学竞赛试题 一、选择题（40 分，每小题 4 分）. 1．设 )(xf 在 ] ,[ aa− （ 0>a ）上连续，且为非零偶函数， ∫=Φ x dttfx 0 )()( ，则 )(xΦ （ ）. （A）是偶函数； （B）是奇函数； （C）是非奇非偶函数； （D）可能是奇函数，也可能是偶函数. 2．设 )(xf 在 ] ,[ ba 上连续，且 0)( =∫ba dxxf ，则……………………………………（ ）. （A）在 ) ,( ba 内不一定有 x使 0)( =xf ； （B）对于 ] ,[ ba 上的一切 x都有 0)( =xf ； （C）在 ] ,[ ba 的某个小区间上有 0)( =xf ；（D）在 ) ,( ba 内至少有一点使 0)( =xf . 3．已知当 0→x 时， ∫ ′′−= x dttftxxF 0 22 )()()( 的导数 )(xF ′ 与 2x 为等价无穷小，则 )0(f ′′ ………………………………………………………………………………………（ ）. （A）等于 0； （B）等于 2 1 ； （C）等于 1； （D）不存在. 4．设 )(xy 是微分方程 xeyxyxy =+′−+′′ 2)1( 的满足 0)0( =y ， 1)0( =′y 的解，则 20 )(lim x xxy x − → ………………………………………………………………………………（ ）. （A）等于 0； （B）等于 1； （C）等于 2； （D）不存在. 5．设直线 L： ⎩⎨ ⎧ −=−− −=++ 3102 123 zyx zyx ，平面π ： 224 =+− zyx ，则它们的位置关系是 （ ）. （A） π//L ； （B）L 在π 上； （C） π⊥L ； （D）L 与π 斜交. 6．设在全平面上有 0),( <∂ ∂ x yxf ， 0),( >∂ ∂ y yxf ，则保证不等式 ),(),( 2221 yxfyxf < 成 立的条件是………………………………………………………………………………（ ）. （A） 21 xx > ， 21 yy < ； （B） 21 xx < ， 21 yy < ； （C） 21 xx > ， 21 yy > ； （D） 21 xx < ， 21 yy > . 7．设 S 为八面体 1|||||| ≤++ zyx 全 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面上半部分的上侧，则不正确的是………（ ）. （A） 02 =∫∫ S dydzy ；（B） 0 =∫∫ S dydzy ；（C） 02 =∫∫ S dydzx ；（D） 0 =∫∫ S dydzx . 8．设常数 0>λ ，则级数∑∞ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− 1 2 tan)1( n n n πλ 是……………………………（ ）. （A）条件收敛； （B）绝对收敛； （C）发散； （D）敛散性与λ 有关 9．设 A、B 都是 n阶非零矩阵，且 O=AB ，则 A 和 B 的秩…………………………（ ）. （A）必有一个等于零；（B）都等于 n；（C）一个小于 n，一个等于 n；（D）都小于 n . 电子科技大学应用数学学院 余时伟录入整理 2 10．设 A 是 3 阶可逆矩阵，且满足 062 =−− EAA ， 144|| * =A （ *A 为 A 的伴随矩阵）， 则 A 的三个特征值是………………………………………………………………………（ ）. （A）3，3， 2− ； （B） 3− ， 3− ，2； （C）3， 2− ， 2− ； （D） 3− ，2，2. 二、（8 分）设 )(xf 在 0=x 的邻域具有二阶导数，且 3 1 0 )(1 lim e x xfx x x =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++→ ，试求 )0(f ， )0(f ′ 及 )0(f ′′ . 三、（8 分）设 2)1arcsin()( −=′ xxf 及 0)0( =f ，求 ∫10 )( dxxf . 四、（8 分）设函数 ),( yxu 满足 0=− yyxx uu 与 xxxu =)2 ,( ， 2)2 ,( xxxu x = ，求 )2 ,( xxu xx ， )2 ,( xxu xy ， )2 ,( xxu yy （ xu 表示u 对 x的一阶偏导数，其他类推）. 五、（8 分）设向量组 1α ， 2α ，…， sα 是齐次线性方程组 0=AX 的一个基础解系， 向量 β 不是方程组 0=AX 的解，即 0≠βA ，试证明：向量组 β ， 1αβ + ， 2αβ + ，…， sαβ + 线性无关. 六、（10 分）已知三元二次型 AXX T 经正交变换化为 2322212 yyy −− ，又知 αα =*A ， 其中 T)1 ,1 ,1( −=α ， *A 为 A 的伴随矩阵，求此二次型的表达式. 七、（8 分）设 S 是以 L 为边界的光滑曲面，试求可微函数 )(xϕ 使曲面积分 ∫∫ ++− S dxdyxzdzdxxxydydzxx 4 )( 4 )( )1( 2 ϕϕ 与曲面 S 的形状无关. 八、（10 分）设一球面的方程为 4)1( 222 =+++ zyx ，从原点向球面上任一点 Q 处 的切平面作垂线，垂足为点 P，当点 Q 在球面上变动时，点 P 的轨迹形成一封闭曲面 S， 求此封闭曲面 S 所围成的立体Ω 的体积. 九、（10 分）设函数 )(xf 在 ] ,[ aa− （ 0>a ）上连续，在 0=x 可导，且 0)0( ≠′f . （1）求证： ) ,0( ax ∈∀ ， )1 ,0(∈θ ，等式 )] () ( [ )( )( 00 xfxfxdttfdttf xx θθ −−=+ ∫∫ − 成 立. （2）求极限 θ+→0limx . 十、（10 分）设函数 )(xϕ 在（ −∞，+∞）连续，周期为 1，且 0 )(1 0 =∫ dxxϕ ，函数 )(xf 在[0，1]上有连续导数，设 dxnxxfan )( )( 1 0∫= ϕ ，求证：级数∑ ∞ =1 2 n na 收敛. 电子科技大学应用数学学院 余时伟录入整理 3 2002 电子科大高等数学竞赛试题解答 一、选择题（40 分，每小题 4 分，只有一个 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 正确）. 1．（B）.2．（D）.3．（B）.4．（B）.5．（C）.6．（A）.7．（D）.8．（A）.9．（D）.10．（C）. 二、（8 分） [解] 0])(1ln[lim3 ])(1ln[ lim])(1[lim 00 3 1 0 =++⇒= ++ ⇒=++ →→→ x xfx x x xfx e x xfx xx x x 0 0 )0()(lim)0(')0(0)(lim0)(lim 000 =− −=⇒==⇒=⇒ →→→ x fxfffxf x xf xxx 由等价无穷小得 4 0 )0(')('lim)0("2 2 )('lim2)(lim3 )( lim 00200 =− −=⇒=⇒=⇒= + →→→→ x fxff x xf x xf x x xfx xxxx 三、（8 分） [解] ∫ ∫ ∫ ∫ −−−=−−−=−=1 0 1 0 1 0 1 0 210 )1arcsin()1()(')1()]()1[()1()()( dxxxdxxfxxfxxdxfdxxf ux =−1令 ∫ ∫∫− −−− −−−=−=− 0 1 0 1 4 30 1 2222 0 1 2 ] 1 2arcsin[ 2 1arcsin 2 1arcsin du u uuuduuduuu ]1 2 [ 2 1 0 1 4 −−+−= t π 2 1 4 −= π . 四、（8 分）[解]等式 xxxu =)2,( 两端对 x 求导,得 1)2,(2)2,( =+ xxuxxu yx 2)2,( xxxux =∵ . )1(2 1)2,( 2xxxu y −=∴ 这两个等式,对 x 求导得 xxxuxxu xyxx 2)2,(2)2,( =+ , .)2,(2)2,( xxxuxxu yyyx −=+ 由已知条件得 yxxyyyxx uuuu == , ,故解得 xuu yyxx 3 4−== ， xuxy 3 5= . 五 、（ 8 分 ） [ 证 ] 设 有 一 组 数 skkkk ,,,, 21 " 使 得 ∑ = =++ s i ik 1 0)( αββ , 即 ∑∑ == −=+ s i ii s i i kkk 11 )()( αβ 两边左乘A,得 ∑∑ == =−=+ s i ii s i i AkAkk 11 0)()( αβ 0≠βA∵ , ∑ = =+∴ s i ikk 1 0 ∑ ∑ = = =+=−∴ s i s i iii kkk 1 1 0)()( βα ,即∑ = = s i iik 1 0α , sααα ,,21 "∵ 为 0=AX 的基础解系 0021 =⇒====∴ kkkk s" 。故 sαβαββ ++ ,,, 1 " 线性无关。 六、（10 分）[解]由条件知 A 的特征值为 1,1,2 −− ，则 2|| =A ， *A∵ 的特征值为 λ || A ， ∴A*的特征值为 2,2,1 −− ，由已知α 是 A*关于 1=λ 的特征向量，也就是α 是 A 关于 2=λ 的特征向量，设 A 关于 1−=λ 的特征向量为 Txxx ),,( 311=β , A∵ 是实对称阵，α 与 X 要正交， 0321 =−+∴ xxx 解 出 TT )1,0,1(,)0,1,1( 21 =−= ββ . 令 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −== 1 0 1 0 1 1 1 1 1 ),,( 21 ββαP ， 则 电子科技大学应用数学学院 余时伟录入整理 4 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −=− 1 1 2 1APP ， ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −=∧= − 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1PPA ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 0 1 1 1 0 1 1 1 0 2 1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 2 故 323121 222 xxxxxxAXX T −−= 七、（8 分）[解]以 L 为边界任作两个光滑曲面 21, SS ，它们的法向量指向同一例， ∫∫∫∫=∴ 21 SS ， 记 *S 为 1S 与 2S 所围成的闭曲面，取外侧，所围立体为Ω ，则 0 21* =+= ∫∫∫∫∫∫ −SSS ，由高斯 公式得 0)( =∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂∫∫∫ Ω dV z R y Q x P ，由 Ω 的任意性得 )(')1()(20 2 xxxx z R y Q x P ϕϕ −+−⇒=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ 04)(4 =++ xxxϕ , 即 04)(2)(')1( 2 =++− xxxxx ϕϕ 解线性非齐次方程得 2)( 2 −+−= ccxxϕ . 八 、（ 10 分 ） [ 解 ] 设 点 Q 为 ),,( 000 zyx ， 则 球 面 的 切 平 面 方 程 为 0))(1()()( 000000 =−++−+− zzzyyyxxx 垂 线 方 程 为 tzztyytxx z z y y x x =+==⇒+== 1,,1 000000 代 入 4)1( 202020 =+++ zyx 及 切 平 面 方 程 得 2 222 4 t zyx =++ ， )( 222222 zyxtzzyx ++=+++ ，即 )(4)( 2222222 zyxzzyx ++=+++ （P 点轨 迹）.化为球坐标方程得 ϕρ cos2 −= . ∫∫∫∫ −−== − πϕππ ϕϕπρρϕϕθ 0 3cos2 0 2 0 2 0 )cos2()cos2(32sin ddddV 340π= . 九、（10 分）[证]（1）令 ∫ ∫ −+= x x dttfdttfxF 0 0 )()()( , ),0( ax ∈ ,由中值定理得 )1,0(),0)((')0()( ∈−=− θθ xxFFxF 0)0( =F∵ ， ∫ ∫ − −−=+∴ x x xfxfxdttfdttf 0 0 )]()([)()( θθ . （ 2）由上式变形得 = +∫ ∫ − 2 0 0 2 )()( x dttfdttf x x θθ θθ x xfxf 2 )()( −− ，两边取极限， +→ 0x ， )0(' 2 1 4 )()(lim 0 f x xfxf x =−−= +→左 ， θ+→= 0lim)0(' xf右 ， 0)0(' ≠f∵ ， 2 1lim 0 =∴ +→ θx . 十、（10 分）[证]由已知条件 ∫ ∫ ∫ − ====1 0 2 1 1 0)()()( nn duuduuduu ϕϕϕ " ，令 ∫= x dttxF 0 )()( ϕ 则 )(xF 为周期为 1 的函数，且 0)()0(),()(' === nFFnxnxF ϕ ， 因此 ∫∫∫ −=== 1 0 101 0 1 0 )()('1)()(1)()(1)(')( dxnxFxfnxFxfnnxdFxfndxnxFxfan ∫−−= 1 0 )('1)0(0(1)1()1(1 xfnFfnFfn dxnxF )( = dxnxFxfn )()('1− ， )(xF∵ 连续、周期， )(xF∴ 有界， 01 >∃∴ M ，使 ),( +∞−∞∈∀x ，有 MxF ≤|)(| ，即 MnxF ≤|)(| ， 又 )(' xf∵ 在 ]1,0[ 连续， 02 >∃∴ M ，使 )1,0(∈∀x ，有 2|)('| Mxf ≤ ， 电子科技大学应用数学学院 余时伟录入整理 5 故 ,1|)()('|1|| 21MMndxnxFxfnan ≤≤ 2 2 2 12 2 1 MM n an ≤ ，由正项级数比较法知∑∞ =1 2 n na 收敛. 2003 高等数学竞赛试题 一、选择题（40 分） 1. 设 nnn yzx ≤≤ ，且 0)(lim =−∞→ nnn xy ，则 nn z∞→lim （ ） (A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在； (D) 一定不存在. 2. 设 )(xf 是连续函数， )()( xfxF 是 的原函数，则（ ） (A) 当 )(xf 为奇函数时, )(xF 必为偶函数； (B) 当 )(xf 为偶函数时, )(xF 必为奇函数； (C) 当 )(xf 为周期函数时, )(xF 必为周期函数； (D) 当 )(xf 为单调增函数时, )(xF 必为单调增函数. 3. 设 0>a ， )(xf 在 ),( aa− 内恒有 2|)(|0)(" xxfxf ≤> 且 ，记 ∫−= aa dxxfI )( ，则有（ ） (A) 0=I ; (B) 0>I ; (C) 0 ，则齐次线性方程组 0)( =XAB （ ） (A) 无解； (B) 只有零解； (C) 有非零解； (D) 可能有解，也可能无 解. 10. 设 ),,2,1(),,( nizyxM iiii "= 是空间 )4( ≥nn 个相异的点，记 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 1 222 111 nnn zyx zyx zyx A #### ，则 nMMM ,,, 21 " 共面的充分必要条件是（ ） (A) 秩(A)=1; (B) 秩(A)=2; (C) 秩(A)=3; (D) 秩(A)=2 或秩(A)=3. 二、（8 分）设 )( 1 lim)( 2 212 Nn x bxaxxxf n n n ∈+ ++= − ∞→ ，试确定 a 、b 的值，使 与)(lim1 xfx→ )(lim1 xfx −→ 都存在. 三、（8 分）设 )()( xfxF 是 的一个原函数，且 1)0( =F xxfxF 2cos)()(, = ，求 dxxf∫ π0 |)(| . 四、（10 分）设 }0,0|),,{( 2223 >≤≤−−−∈=Ω azyxaRzyx ，S 为Ω 的边界曲面外侧，计 算 ∫∫ +++ ++= S zyx dzdxyaxdydzaxI 1 )(2 222 五、（10 分）已知向量组 mααα ,,, 21 " 线性无关，向量 sβββ ,,, 21 " 都可用 mααα ,,, 21 " 表出， 即 1 ( 1,2, , ) m i ij j j c i sβ α = = =∑ " 求证： sβββ ,,, 21 " 线性相关的充分必要条件是矩阵 msijcC ×= )( 的秩 sCR <)( . 六、（10 分）设 n 阶实对称矩阵的秩为 r，且满足 AA =2 （称 A 为幂等矩阵），求： （1）二次型 AXX T 的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形； （2）行列式 || 2 nAAAE ++++ " 的值，其中 E 为单位矩阵. 七、（10 分）已知 10 =x ， 1 3 0 1 4 x x = + ， 4 1 3 1 2 += xx ，…， 4 1 31 +=+ nn x x ，…. 求证：（1）数列 }{ nx 收敛；（2） }{ nx 的极限值 a 是方程 0144 =−+ xx 的唯一正根. 八、（12 分）设 ),( yxf 在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证： 2 20 lim 2 (0,0) D f fx y x y dxdy f x yε π→ ∂ ∂+∂ ∂ = −+∫∫ , 其中 D 为圆环域： 1222 ≤+≤ yxε 九、（12 分）如图所示，有一圆锥形的塔，底半径为 R，高为 )( Rhh > ，现沿塔身建一登上 塔顶的楼梯， 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于 xoy平面的直线的夹角为 电子科技大学应用数学学院 余时伟录入整理 7 4 π ，楼梯入口在点 ( ,0,0 )R , 试求楼梯曲线的方程. 2003 高等数学竞赛试题参考解筨 一、选择题（40 分） 1.C ; 2. A ; 3. B ; 4. B ; 5. D ; 6. A ; 7. D ; 8. D; 9. C; 10. D ; 二、（8 分）解：当 | | 1x < 时， 2 2 1lim lim 0n n n n x x −→∞ →∞= = ，故 2( )f x ax bx= + ； 当 | | 1x > 时， 1( )f x x = 1 1 2 1 1 1 , 1, lim ( ) 1, lim ( ) , 1 ( ) , 1 1, 1 , 1, lim ( ) , lim ( ) 1, 1 x x x x x f x f x a b a b x f x ax bx x x f x a b f x a b x − + − + →− →− → → ⎧ < − = − = − − =⎪⎪⎪= + − < <⎨⎪⎪ > = + = + =⎪⎩ 0a = ， 1b = 。 三、（8 分）解： ( ) ( )F x f x′ = ， ( ) ( ) cos 2F x F x x′ = ， ( ) ( ) cos 2F x F x dx xdx′ =∫ ∫ 2 ( ) sin 2F x x C= + ，由 (0) 1F = 知 1C = ， ( ) 1 sin 2 | cos sin |F x x x x= + = + ， 2 2| cos 2 | | cos sin || ( ) | | cos sin | | ( ) | | cos sin | x x xf x x x F x x x −= = = −+ 4 0 0 4 | ( ) | (cos sin ) (sin cos ) ( 2 1) (1 2) 2 2.f x dx x x dx x x dx ππ π π= − + − = − + + =∫ ∫ ∫ 四、（10 分）解： 2 2 21 :S z a x y= − − − （下侧）， 2 2 2 2 : 0 x y a S z ⎧ + ≤⎨ =⎩ （上侧），∵ 2 0 S =∫∫ ， ∴ 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 12( ) 1 1S S S S S S S S axdydz x a dzdx a a + ⎛ ⎞= + = = + + = −⎜ ⎟⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫w w [ ] 1 2 2 2 1 12( ) 2( ) 1 1S S axdydz x a ydzdx a x a dV a a+ Ω = + + = + ++ +∫∫ ∫∫∫w 4 3 2 2 2 2 1 1 3 1 4 2(3 2 ) 3 2 31 1 1 1 a aa x dV adV a a a a a ππ Ω Ω = + = = ⋅ ⋅ =+ + + +∫∫∫ ∫∫∫ 五、（10 分） 解：（ ⇒ ）设 1 2, , , sβ β β" 线性相关，则 ∃ 不全为 0 的 1 2, , , sk k k" 使 电子科技大学应用数学学院 余时伟录入整理 8 1 1 2 2 0s sk k kβ β β+ + + =" ，即 1 0 s i i i k β = =∑ ， 1 1 1 1 1 0 s s m m s i i i ij j i ij j i i j j i k k C k Cβ α α = = = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∵ 1 2, , , mα α α" 线性无关，∴ 1 0 ( 1,2, , ) s i ij i k C j m = = =∑ " ，即 1 2, , , sk k k" 是齐次线性方程组 1 0 s ij i i C y = =∑ 的非零解，故 ( )R C s< 。 （⇐）设 ( )R C s< ，则 1 0 s ij i i C y = =∑ 有非零解，即∃不全为 0 的 1 2, , , sk k k" 使 1 0 s i ij i k C = =∑ 成 立，从而 1 1 1 1 1 0 s s m m s i i i ij j i ij j i i j j i k k C k Cβ α α = = = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ，故 1 2, , , sβ β β" 线性相关。 六、（10分）解：∵A为实对称阵，∴ ∃正交阵P，使 1 1 2( , , , )nP AP diag λ λ λ− = = Λ" ， 1A P P−= Λ ， 1, , nλ λ" 为 A 的特征值。 （1）设λ 是 A 的任一特征值，α 为对应特征向量，则 Aα λα= ， 2 2A A Aα α λ α λ α= = = ， 2 (1 ) 0λα λ α λ λ α− = − = ， 0λ = 或 1λ = ，即实对称幂等矩阵的特征值只取 0 或 1。 由 ( ) ( )r A r r= Λ = ，知 1 2, , , nλ λ λ" 中有 r 个 1，n r− 个 0，适当排列 P 中列向量，可使 0 0 0 rE⎡ ⎤Λ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ，其中 rE 为 r 阶单位矩阵，故二次型的标准形为 2 2 2 1 2 ry y y+ + +" 。 （2）由 2A A= 得 2 2 ( 2)k kA A A A k−= = = ≥" ，故 2 1| | | | | ( ) | | | (1 )n rE A A A E nA E P n P E n n−+ + + + = + = + Λ = + Λ = +" 七、（10 分） 解一：（1）∵ 0 1nx< < ， 3 3 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 4 4 ( 4)( 4) n n n n n n n n x x x x x x x x − + − − −− = − =+ + + + 2 2 1 1 1 24 n n n n n nx x x x x x− − −− + +< 13 16 n nx x −−< 2 1 2 1 0 3 3 16 16 n n nx x x x− − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞< − < < −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠" 3 1 4 31 16 5 5 16 n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ； 又∵ 0 3 16 n n ∞ = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑ 收敛，∴ 10 n nn x x ∞ + = −∑ 收敛， ∴ 1 0 ( )n n n x x ∞ + = −∑ 收敛，又因 1 0n nS x x+= − ，故{ }nx 收敛。 电子科技大学应用数学学院 余时伟录入整理 9 （2）令 lim nn x a→∞ = ，∵ 0 1nx< < ，∵ 0a ≥ ，且 3 1 4 a a = + ， 4 4 1 0a a+ − = ，即 a 是 4 4 1 0x x+ − = 的根，令 4( ) 4 1f x x x= + − ， (0, )x ∈ +∞ ， 3( ) 4 4 0f x x′ = + > ， (0) 1f = − ， lim ( ) x f x→+∞ = +∞ ，故 ( ) 0f x = 根唯一。 解二：由已知 0 1x = ， 1 3 0 1 0.2 4 x x = =+ ， 2 31 1 0.2495 4 x x = =+ …， 3 32 1 0.2490 4 x x = + …， 由此可见， 0 2x x> ， 1 3x x< （用归纳法证明偶数项单调减少，奇数项单调增加）。 设 2 2 2n nx x− ≥ ， 2 1 2 1n nx x− +≤ 。 2 2 23 3 2 1 2 1 1 1 4 4n nn n x x x x +− + = ≥ =+ + ， 2 1 2 33 32 2 2 1 1 4 4n nn n x x x x+ ++ = ≤ =+ + 由 0 1nx< ≤ 知{ }2nx 、{ }2 1nx + 收敛，令 2lim nn x a→∞ = ， 2 1lim nn x b+→∞ = ； 由 20 1nx< ≤ ， 2 10 1nx +< ≤ ，知 0 1a≤ ≤ ， 0 1b≤ ≤ 。 对 2 3 2 1 1 4n n x x − = + 两边取极限得 3 1 4 a b = + ， 3 4 1ab a+ = ① 对 2 1 3 2 1 4n n x x+ = + 两边取极限得 3 1 4 b a = + ， 3 4 1a b b+ = ② 由①—②得 2 2( ) 4( ) 0ab b a a b− + − = ，解得 0a b− = 由 a b= 知{ }nx 收敛，且为方程 4 4 1 0x x+ − = 的根（再证唯一性）。 八、（12 分） 解一：令 cosx r θ= ， cosy r θ= ， cos sinf f x f y f f r x r y r x y θ θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ， f f fr x y r x y ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ 。 由已知当 1r = 时， (cos ,sin ) 0f θ θ = ， 2 2 2 x y D D frxf yf rI dxdy rdrd x y r θ ∂ + ∂= =+∫∫ ∫∫ 2 1 2 1 0 0 ( cos , sin ) |fd dr f r r d r π π εεθ θ θ θ ∂= =∂∫ ∫ ∫ 2 2 0 0 (cos ,sin ) ( cos , sin )f d f d π πθ θ θ ε θ ε θ θ= −∫ ∫ * *0 2 ( cos , sin )fπ ε θ ε θ= − ， * [0,2 ]θ π∈ ，故 0 lim 2 (0,0)I fε π→ = − 解二：令 2 2( , )yf x yP x y= − + ， 2 2 ( , )xf x yQ x y = + ，∵ 2 2 f fx y Q P x y x y x y ∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂− =∂ ∂ + 电子科技大学应用数学学院 余时伟录入整理 10 ∴ 2 2 D f fx y x y dxdy x y ∂ ∂+∂ ∂ +∫∫ ，令 1L 为 2 2 1x y+ = （逆时针）， 2L 为 2 2 2x y ε+ = （顺时针） 1 2L L Pdx Qdy Pdx Qdy= + + +∫ ∫v v 2 : cos , sinL x yε θ ε θ= = 1 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) L L yf x y dx xf x y dy yf x y dx xf x y dy x y x y − + − += ++ +∫ ∫v v 1 2 2 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) L L yf x y dx xf x y dy yf x y dx xf x y dyε= − + + − +∫ ∫v v [ ]02 210 ( sin )( sin ) cos cos ( cos , sin )f dπ ε θ ε θ ε θ ε θ ε θ ε θ θε= + − − + ⋅∫ 2 0 ( cos , sin )f d π ε θ ε θ θ= −∫ * *02 lim ( cos , sin )fεπ ε θ ε θ→= − ， * [0, 2 ]θ π∈ * * 2 20 0 lim 2 lim ( cos , sin ) 2 (0,0) D f fx y x y dxdy f f x yε ε π ε θ ε θ π→ → ∂ ∂+∂ ∂ = − = −+∫∫ 。 九、（12 分）解：设曲线上任一点为 ( , , )x y z ，∵ h z r h R − = ， ∴曲线参数方程为（*） ( )cos ( )sin (0 2 ) ( ) x r y r hz h r R θ θ θ θ θ π θ ⎧⎪ =⎪ = ≤ ≤⎨⎪⎪ = −⎩ ， 在点 ( , , )x y z 的切向量为 { }( ), ( ), ( )v x y zθ θ θ′ ′ ′=G ，垂线方向向量为 (0,0,1)k =G 。 ( ) ( )cos ( )sin ( ) ( )sin ( )cos ( ) ( ) x r r y r r hz r R θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ⎧⎪ ′ ′= −⎪ ′ ′= +⎨⎪⎪ ′ ′= −⎩ ， 2 2 2 ( )cos 4 | | | | ( ) ( ) ( ) v k z v k x y z π θ θ θ θ ′⋅= =⋅ ′ ′ ′+ + G G G G ， 2 2 2 2 2 ( )1 2 ( ) ( ) ( ) h r R hr r r R θ θ θ θ ′− = ′ ′+ + ，化简得 2 2 dr Rr d h Rθ = ± − ，由实际问题应 0 dr dθ < ， 解得 2 21 R h Rr C e θ− −= ，由 0θ = ， r R= 得 1C R= ，故 2 2Re R h Rr θ− −= ，将此式代入参数方 程（*）即得楼梯曲线。 电子科技大学应用数学学院 余时伟录入整理 11 电子科技大学 2004 年高等数学竞赛试题 一、选择题（40 分） 1. 下列命题中正确的命题有几个？ ………………………………………………（ ） （1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量； （3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量. (A) 1 个； (B) 2 个； (C) 3 个； (D) 4 个. 2. 设 1, 0( ) 0, 0 x f x x ≠⎧= ⎨ =⎩ ， 1sin , 0 ( ) 1 , 0 x x g x x x ⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩ 则 0x = 是间断点的函数是 ………………（ ） (A) ( ) ( )f x g x+ ； (B) ( ) ( )f x g x− ； (C) { }max ( ), ( )f x g x ； (D) { }min ( ), ( )f x g x .. 3. 设ξ 为 ( ) arctanf x x= 在 [ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 220lim b b ξ → = （ ） (A) 1； (B) 1 2 ； (C) 1 3 ； (D) 1 4 . 4. 设 ( ) , ( )f x g x 连续，当 0→x 时， ( )f x 与 ( )g x 为等价无穷小，令 0 ( ) ( ) x F x f x t dt= −∫ ， 1 0 ( ) ( ) G x x g xt dt= ∫ , 则当 0→x 时， ( ) ( )F x G x是 的 …………………………… （ ） (A) 高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 同阶无穷小但非等价无穷小；(D) 等价无穷 小. 5. 设 ),( yxf 在点 )0,0( 的某邻域内连续，且满足 2 20 0 ( , ) (0,0)lim 3 1 sin cosxy f x y f x x y y→→ − = −+ − − 则 ),( yxf 在点 )0,0( 处 …………………………………………………… （ ） (A) 取极大值； (B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值. 6. 设 ( )f x 在 ( , )−∞ +∞ 连 续 ， 且 导 函 数 ( )y f x′= 的 图 形 如 图 所 示 ， 则 ( )f x 有…………………………… （ ） (A) 1 个极小值点与 2 个极大值点，无拐点； (B) 2 个极小值点与 1 个极大值点，1 个拐点； (C) 2 个极小值点与 2 个极大值点, 无拐点； (D) 2 个极小值点与 2 个极大值点，1 个拐点. 7. 设 f 有连续的一阶导数，则 (1,2) (0,0) ( )d ( )df x y x f x y y+ + + =∫ …………………… （ ） (A) 1 0 2 ( ) df x x∫ ； (B) 30 ( ) df x x∫ ； (C) (3) (0)f f− ； (D) 0 . 8. 设任意项级数 1 n n a ∞ = ∑ 条件收敛，将其中的正项保留负项改为 0 所组成的级数记为 1 n n b ∞ = ∑ , 电子科技大学应用数学学院 余时伟录入整理 12 将 其 中 的 负 项 保 留 正 项 改 为 0 所 组 成 的 级 数 记 为 1 n n c ∞ = ∑ ， 则 1 n n b ∞ = ∑ 与 1 n n c ∞ = ∑ ………… …………………………（ ） (A) 两者都收敛； (B) 两者都发散； (C)一个收敛一个发散； (D) 以上三种情 况都可能发生. 9. 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A O∗ ≠ ，且非齐次线性方程组 A = βx 有两个不同的解向 量 1 2 , ξ ξ ，则下列命题正确的是 …………………………………………………（ ） (A) +1 2ξ ξ 也是 A = βx 的解； (B) A = βx 的通鲜为 1 1 2 2k k= +ξ ξx （ 1 2,k k R∈ ）； (C) 满足 0A Eλ− = 的数 λ 必不为零； (D) 1 2ξ − ξ 是 A = 0x 的基础解系. 10. 设 1 1 1 1 1 2 2 2 3 2 4 2 3 3 3 3 , , , , a b c d a b c d a b c d ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ α α α α 则三个平面 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 : : : a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d π π π + + = + + = + + = 两两相交成三条平行直线的充要条件是 ……………………………………（ ） (A) 秩 1 2 3 1 2 3 4( , , ) 1, ( , , , ) 2r r= =α α α α α α α ; (B) 秩 1 2 3 1 2 3 4( , , ) 2, ( , , , ) 3r r= =α α α α α α α ; (C) 1 2 3, ,α α α 中任意两个均线性无关，且 4α 不能由 1 2 3, ,α α α 线性表出; (D) 1 2 3, ,α α α 线性相关，且 4α 不能由 1 2 3, ,α α α 线性表出. 二、(10 分）设 ( )f x 在区间 ( , )−∞ +∞ 连续， 0 1( ) ( ) d ( >0), ( ) ( ) d 2 x a x x a F x f t t a G x f t t a + −= =∫ ∫ , 试解答下列问题：（1）用 ( )G x 表示 ( )F x ；（2）求 ( )F x′ ；（3）求证： 0 lim ( ) ( ) a F x f x→ == ； （4）设 ( )f x 在 [ ],x a x a− + 内的最大值和最小值分别是 M m、 ,求证： ( ) ( )F x f x M m− ≤ − . 三、（10 分）求曲线 ln ln 1x y+ = 所围成的平面图形的面积. 四、（10 分）设曲面 S 为曲线 e 0 yz x ⎧ =⎨ =⎩ (1 2y≤ ≤ ) 绕 z 轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲 面积分 24 d d 2 d d (1 ) d d S I zx y z z z x z x y= − + −∫∫ 五、（10 分）设 n 阶矩阵 1 2 1=( , , , , )n nA −"α α α α 的前 1n − 个列向量线性相关, 后 1n − 个列向 量线性无关, 1 2 n= + + +"β α α α ; （1）证明线性方程组 A = βx 有无穷多解；（2）求方 程组 A = βx 的通解. 六、（10 分）设 ( 4)n n > 阶矩阵的 4 个不同特征值为 1 2 3 4, , , λ λ λ λ , 其对应的特征向量依次 为 1 2 3 4, , , α α α α ，记 1 2 3 4= + + +β α α α α , 求证： 2 3, , , A A Aβ β β β 线性无关. 七、（10 分）设幂级数 0 n n n a x ∞ = ∑ , 当 1n > 时 2 ( 1) n na n n a− = − ，且 0 14, 1a a= = ; （1）求幂级数 0 n n n a x ∞ = ∑ 的和函数 ( )S x ；（2）求和函数 ( )S x 的极值.. 电子科技大学应用数学学院 余时伟录入整理 13 八、（10 分）设函数 ),( yxf 可微， ( , ), 0, 1 2 f f x y f x π∂ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ , 且满足 ( ) coty 1 ( 0, ) lim e 0, n n f y n f y→∞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 求 ( , )f x y . 九、（10 分）如图所示，设河宽为 a ，一条船从岸边一点O 出发驶向对岸，船头总是指向对 岸与点O 相对的一点 B 。假设在静水中船速为常数 1V ，河流中水的流速为常数 2V ，试求 船过河所走的路线(曲线方程)；并讨论在什么条件下（1）船能到达对岸；（2）船能到达点 B . 电子科技大学 2004 年高等数学竞赛试题参考解答 一、选择题（40 分） 1. ( A ) ; 2.（ B ）; 3.（ C ）; 4.（ D）; 5.（ A）; 6.（ D）7.（ B ）; 8.（ B） 9（ D）; 10. （ C ） 二、(10分） 解（1） 0 0 1 1 1( ) ( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( )] 2 2 2 x a x a x a x a F x f t dt f t dt f t dt G x a G x a a a a + + − −= = − = + − −∫ ∫ ∫ （2） 1 1( ) [ '( ) '( )] [ ( ) ( )] 2 2 F x G x a G x a f x a f x a a a ′ = + − − = + − − （3） 0 0 0 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]lim ( ) lim lim 2 2a a a G x a G x a G x a G x G x G x aF x a a→ → → + − − + − + − −= = 1 [ '( ) '( )] '( ) ( ) 2 G x G x G x f x= + = = （4） 1 1| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | [( ) ( )] ( ) ( ) | 2 2 x a x a F x f x f t dt f x x a x a f f x a a ξ+−− = − = + − − −∫ | ( ) ( ) | ( )f f x M m x a x aξ ξ= − ≤ − − ≤ ≤ + 三、（10分） [解 1]去掉绝对值曲线为： , 1 1, 1 , 1 0 1 , 0 1 1 1 , 0 1 0 1 xy e x y y x x y e y ex x y xy x y e = ≥ ≥⎧⎪⎪ = ≥ < <⎪⎨ = < < ≥⎪⎪ = < < < <⎪⎩ 且 且 且 且 1 1 1 1 1( ) ( ) e e e xA ex dx dx e ex x e e = − + − = −∫ ∫ [解 2]令 ln , ln , , , :| | | | 1,u vx u y v x e y e D u v′= = = = + ≤则 0 0 u u v u v v u v x x e J e e y y e = = = ⋅ . | | D D dxdy J dudv ′ = =∫∫ ∫∫ u v D e e d