null第三节、常见分布的数学期望和方差 第三节、常见分布的数学期望和方差 null一、常见离散型分布的数学期望和方差 1、0-1分布的期望和方差 设随机变量X服从参数为p
(0
0
的泊松分布， 则EX=DX=λ． 证明 由数学期望的定义，知现在求方差： null于是，EX=DX=λ．从而说明了分布参数λ的意义． 例4.17 假设一商店每周（7天）平均售出63台电冰箱，
其中因为质量问题
要求
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返修的占5‰ ．试求一个季度
（90天）售出的电冰箱中的平均返修件数． 解 以v(t)表示t=90天内售出的电冰箱台数．可以假设
v(t)服从参数为λt的泊松分布．由条件知Ev(7)=7λ=
63；从而λ=9，即平均每天售出9台电冰箱．这样，
v(t)服从参数为λt=9t的泊松分布： null以表示一个季度（90天）售出的电冰箱中的返修件数，
随机变量的可能值为自然数m=0,1,2,…．记a=λt．由条
件知，电冰箱的返修率p=0.005；在售出n(n=0,1,2,…)台
电冰箱的条件下，返修件数X关于事件{ v(t)=n}的条件分
布，是参数为(n,p)的二项分布．由全概率公式，对于任
意m(m=0,1,2,…)，有 null其中pa=pλt=0.005×9×90=4.05．故返修件数X服从参数
为4.05的泊松分布：于是，电冰箱中的平均返修件数为EX=4.05．null二、常见连续型分布的数学期望和方差 1、均匀分布的期望和方差 设随机变量X在区间[a,b]上服
从均匀分布，则 例4.19 假设随机变量X和Y相互独立，且都在区间(0,1)
上均匀分布，试求随机变量Z=|X－Y|的数学期望． 解 易见和的联合概率密度为 null所以2、正态分布的期望和方差 设随机变量 证明 null证明 (1) 由数学期望的定义，有(2) 由方差的定义，设u=(x－μ)／σ，有null例4.20 假设随机变量X服从正态分布 |X－ μ|不大于50的概率为0.95，求随机变量X的
标准
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差σ．已知解 由条件知，随机误差X服从正态分布，所以随机变量null3、对数正态分布的期望和方差 随机变量X服从参数为 的对数正态分布： 其数学期望和方差为： 证明 对于任意正整数k，有nullnull4、指数分布的期望和方差 设随机变量X服从参数
为λ的指数分布，则证明 由数学期望的定义，有 null例4.21 假设一装置启动后无故障工作的时间Xh服从指数
分布，平均无故障工作的时间为200 h；每次启动（在无
故障的情形下）只需工作10 h便自行关机．试求该装置
每次启动无故障工作的时间T的分布函数．解 由于X服从指数分布，EX=1/λ=2(100h)，故分布参数
λ=0.5，因此X的分布函数为 易见，T=min{X,0,1}．设F(t)是T的分布函数，则对于t<0，
F(t)=0；对于t>0.1，F(t)=1；对于0≤t≤0.1,有null于是，T=min{X,0,1}的分布函数为例4.22 一微波线路有两个中间站，其中任何一个出
现故障都要引起线路故障．假设两个中间站无故障
的时间都服从指数分布，平均无故障工作的时间为
１和0.5（1000h），试求线路无故障工作时间X的
数学期望．null解 设Xi(i=1,2)是第i个中间站无故障工作时间，则X=min
{X1, X2}．由条件知，可以认为X1和X2独立,E X1 =1，E X2 =
0.5；从而X1和X2服从参数分别为1和的指数分布，故X1和
X2的概率密度及其联合密度：由随机变量的函数的数学期望的计算公式，有 null
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