三重积分的计算方法小结

三重积分的计算方法小结 杨玉敏 (鞍山师范学院数学系，辽宁鞍山114007) 鞍山师范学院学报 2007-04，9(2)：60一63 摘要：三重积分的计算是数学分析中的难点，结合教学本文较全面地给出了三重积分计算中的若干处理 方法，对学习者有一定的指导意义． 关键词：三重积分；对称性；坐标变换 中图分类号：0172．2文献标识码：A 文章篇号：1008—2441(200r7)02JD060“ MethodsofCaculationofTripleIntegral YANGYu．min (D印硎脚m矿胁矶e蒯}妇，Aw如耳ⅣD肌以珈而e巧妙，A瑚Jjla乃“∞凡垤114007，蕊讹) Abstract：ThecalculationoftripleintegralistlledimcultyinMathematicsanalysis．In山ispaper， unifyingteaching，we西vein8tructiVemet}lodsoft}lecalculationoftripleintegmlforleamer． Keywords：％pleintegral；Symme田；C00rdinatealtemate 三重积分的计算是初学者的一个难点．计算三重积分即要将它化成累次积分，教材中给出了计算公 式、换元法和定限法，但要具体地实现这一点，既要有较强的几何直观能力，以便于将积分体 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成适当 的形式，又需要灵活选择计算公式和方法，以便于计算[1，2|．其中的方法和技巧学生难以把握，为了更 快更好地培养学生在这方面的能力，作者在教学中 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 出三重积分计算中的若干处理方法． 1在直角坐标系下将三重积分转化成三次累次积分进行计算[1，2] 当空间积分区域是由长方体、四面体或任意体形成时，将三重积分转化成累次积分． 例1 皿(1+茁+)，+石)一3山，Q：由茗+y+z=1，茁=o，)，=o及==o所成． 解积分闭区域在xoy面的投影是一个三角形区域D={o蔓菇sl，05ysl一髫}，0≤zs1一 茗一)，，故三重积分 珂(1+州㈦-3d叫’1。出，1‘5。矿一。(1+州㈦q出=丢(·以一扣 2坐标变换法[1·2] (1)当积分区域是柱面、锥面，或由柱面、锥面、旋转抛物面与其它曲面所围成的形体，被积函数为 砜石2+广)；砜孝)；砜y2+z2)，砜手)；)灭戈2+z2)，)八÷)-计算三重积分一般采取的是柱坐标变换 收稿日期：2005一06—28 作者简介：杨玉敏(1970一)，女，辽宁鞍⋯人，鞍山师范学院数学系副教授 万方数据 第2期 杨玉敏：三重积分的计算方法小结 61 r出曲出等舭菇，y，z)山=舭rc。sa，rsinp，z)rd口dr出． n n 例2计算，=皿(菇2+广)如，力：并2+广=孙，彳=2所围成． f菇2瑚8口 ， 解用柱坐标变换{)，=rsinp，．，=r，os日s2竹，os口s2盯，osrs2，予szs2 【z=二 ，‘=卜口一r厂草地=孚 例3计算，=Ⅲ(y2+，)山，记是由x。y平面上的曲线广=2茗绕茗轴旋转而成的曲面与平面菇= 5所围成的闭区域． 解曲线{y2．“绕戈轴旋转，所得的旋转曲面方程为y2+z2=2菇． L互=U 由于立体在yoz平面的投影为圆域．故采用柱坐标变换 泽一r，⋯一胚叫⋯5 则=卜rrar厂孚，出争 (2)当空间立体为球体或球体的一部分一锥体时，被积函数是，(茗2+y2+，)的时候可采用球坐 标变换． r名=rsin咖c08p {，，=rsin币sin9，，=r2sin咖，j 【==rc08击 舭埘，三)山=舭rsin咖c。s口，rsin咖sina，rcos咖)r2sin州口d咖dr． 例：4计算J=弘出，以：搿2+y2+(z一凸)25口2，菇2+)，2s，所围成． f石=781nqbc。8口 解 利用球坐标变换{y=rsin咖sin口，'，=r2sin咖，o≤咖兰子，o≤p≤2订，o≤r≤2口c。s币 【名：，c。。西 则，=厂”。d口广。d咖厂”哪。rc。s咖厂2sin咖dr=吾竹。4．另外，此题也可以采用柱坐标变换来做． 3利用“先二后一’’的方法计算三重积分[3] 例5 || 阳 坩 ∞ 出 r r 孑 |I = = 茁 y 石 万方数据 62 鞍山师范学院学报 第9卷 解利用“先二后一”的方法进行计算，用平行于xoy面的平面去截积分区域得到D，的面积应很容 易计算．故原式为： 厂。=中dy+凡出箩出曲=厂。耐出+●小2吨刊2肛扣， 此解法与例4相比，显得更容易求解． 例6计算皿彬山，n：菇2+y2+三2s1的第一卦限部分，如图1． 解P小出妒⋯J．1。z出“一cos⋯ar 执孑呼妩：去． 图1积分区域图 例7计算口(茗2+严+z2)出，力：z2+广≤2甜，石2+y2+。2s3n2(n>o)． n 解被积函数以龙，，，，石，=菇2+广+，，由{萎：荽i；鼍3口：，解 得g=口，z=一3口(舍去)． 平面z=口把闭区域分成两部分．记下半部分为n，，上半部分为 n：，如图2，故 『7r(茹2+y2+，)凼川 n ≯+y2+，)¨口(并2+，， 也 厂。出巧(茗2+y2+，)出母+．f伍。出巧(茁2+，，2+z2)出昌2=积分区域图 厂。出一p厂压。(r2∽rar+，厢。出n日厂(h2)rdr； 2耵厂。[；+譬]凡‰J．厢。[手+譬]∥出一 }口5(18万一务 iT呵．I出肯溃不徊话会千赫耜甬黼蜘一个亦暑的懵形十b活会千一船倍浑 4 利用积分区域的对称性以及被积函数的奇、偶性来进行计算 (1)若空间闭区域是关于xoy面对称，即V(茹，)，，z)∈力，了(髫，y，一：)∈力，则当爪戈，y，一名)=一 八并，，，，彳)，即被积函数在力上关于彳的奇函数时，JJ腴x，y，彳)山=o，当八搿，y，一名)=以茗，y，三)，即被积函 甾 数在n上关于石为偶函数时，拟菇，y，二)如=2职茗，，，，。)如，力，是x。y面上侧的部分． 积分区域关于其它两个坐标平面yoz，xoz对称时，被积函数是菇，，，的奇、偶函数时也有上述的相应 的结论． (2)若空间区域是关于二轴对称，即V(菇，y，孑)E力，|(一石，一)，，名)∈力，则当火石，y，z)在砣上是 ，●＼仃啦 万方数据 第2期 杨玉敏：三重积分的计算方法小结 63 菇，，，的奇函数时，职石，)，，孑)如=o；当八菇，)，，彳)在以上是戈，)，的偶函数时，职茗，y，暑)山=2职茁，y， 石)如，皿是Q位于过z轴的平面一侧的部分。 (3)若空间区域力关于原点0对称，即V(茗，y，暑)岜力，j(一z，一)，，一名)∈以，则当八省，，，，暑)在n 上是x，，，，=的奇函数时，职茗，y，三)山=o；当“省，y，：)在力上是石，)，，z的偶函数时，职石，y，名)山= 2职石，)，，z)曲，以是过原点D的平面一侧的部分． (4)若空间区域力具有轮换对称性，即V(戈，y，三)∈妇，了(，，，z，戈)，(石，茹，y)∈n尺菇，y，z)=五(戈， )，，石)+z()，，”)+^(V，y)等职埘，；)d秽=3肛("，z)乩 例8计算，=俨号睾睾半∽眦2+广+，“ 解积分区域是关于xoy面对称，被积函数是彳的奇函数，所以积分值为零． 例9计算j=Ⅲ菇弦2如，以：y=茹3，石=o，y=±l，z=o，三；l所围成的空间闭区域． 解积分区域是关于石轴对称的，被积函数是菇，)，的偶函数，将积分区域在第一卦限的部分记作力． 则 驴弦2扯2驴2¨2，1。出，1。叽矿虻2，1。z2出卜瓤池=2，1。丢2出=÷ 例10计算f=肌矽面，以：手+詈+z=l，省=o，互=o所围成的四面体． 解积分区域关于坐标原点是对称，被积函数是髫，，，，z的奇函数，因此，此积分值等于零． 例11计算f=弘弘2如，n：石+y+名=l，及三个坐标平面所围成的区域． 解因八省，，，，彳)=筇+，，+：，积分区域具有轮换性，故肌山=少山=肛面，于是 ⋯肛=3J．1。菇出，1‘。。母厂7。出=3厂。出J-卜5。”⋯)曲=玑砌叫2出=丢 参考文献： [1]华东师范大学．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，2001． [2]同济大学．高等数学[M]．北京：高等教育出版社，1996． [3]潘正义．对三重积分f。2出够引力出母方法的一些看法[J]_数学学"997'(1)．30． (责任编辑：张冬冬) 万方数据 三重积分的计算方法小结 作者： 杨玉敏， YANG Yu-min 作者单位： 鞍山师范学院,数学系,辽宁,鞍山,1141107 刊名： 鞍山师范学院学报 英文刊名： JOURNAL OF ANSHAN NORMAL UNIVERSITY 年，卷(期)： 2007，9(2) 引用次数： 0次 参考文献(3条) 1.华东师范大学 数学分析 2001 2.同济大学 高等数学 1996 3.潘正义 对三重积分∫cc12dz∫∫Dzf(x,y,z)dxdy方法的一些看法 1997(1) 相似文献(10条) 1.期刊论文 王云丽 运用对称性简化直角坐标三重积分计算 -河南教育学院学报(自然科学版)2004,13(3) 运用对称性计算直角坐标系下的四个三重积分定理(并给予证明),简化直角坐标三重积分的计算. 2.期刊论文 倪传京.NI Chuan-jing 利用函数的奇偶性与积分区域的对称性求三重积分的值 -淮南职业技术学院学 报2002,2(2) 对使用一元奇、偶函数在对称区间上的积分性质,求定积分值的问题进行了推广,阐述了利用三元函数的奇偶性与区域的对称性,求三重积分值的方法 . 3.期刊论文 方壮.FANG Zhuang 运用对称性简化球面坐标三重积分计算 -黄山学院学报2007,9(5) 讨论了在球面坐标下,动用对称性简化三重积分计算问题的解决方法,给出了在球面坐标下,运用对称性简化三重积分计算的几个定理并给出了严格的 证明. 4.期刊论文 王云丽 运用对称性简化柱面坐标三重积分计算 -湘潭师范学院学报（自然科学版）2004,26(4) 运用对称性简化计算柱面坐标三重积分,并给予证明. 5.期刊论文 丁黎明.DING Li-ming 一类三重积分的特殊解法 -巢湖学院学报2007,9(3) 在三元函数的奇偶性定义的基础上,给出了利用三元函数的奇偶性与区域的对称性求三重积分值的简便方法. 6.期刊论文 梁应仙.辛兰芬 对称性在三重积分计算中的应用 -沈阳大学学报2003,15(4) 将空间区域的对称性应用于三重积分的计算之中,归纳出了利用对称性计算三重积分的方法. 7.期刊论文 冯长焕 利用对称性技巧解多元函数重积分 -赣南师范学院学报2004,25(3) 用图表的形式给出有对称性的多元函数的二、三重积分的命题,并用实例验证这些命题的正确性,同时指出在高等数学的学习中发现并运用这些技巧 能大大地简化计算并减少出错. 8.期刊论文 徐翠忠 函数奇偶性与对称性在重积分上的推广 -科教导刊2009(12) 本文根据连续的奇偶函数在对称区间上的一重积分的性质,推广到连续的奇偶函数在对称域上的二重积分、三重积分、第一类曲面积分的性质,以简 化计算量. 9.期刊论文 赵云梅.李薇.ZHAO Yun-mei.LI Wei 对称性在积分中的妙用 -红河学院学报2005,3(3) 数学的对称美是解决数学难性在计算不同的积分中的妙用,使一些较复杂的计算变得简化,利用对称性计算积分也是一种非常重要的计算技巧. 10.期刊论文 曾华.孙霞林.ZENG Hua.SUN Xia-lin 三重积分及曲面积分的算法研究 -长江工程职业技术学院学报 2006,23(3) 探讨了轮换对称性在积分计算中的应用,利用积分变量与积分区域的轮换对称性先简化重积分及面积分,然后再采用其它方法来计算,使这两类复杂的 积分计算变得简单.并给出实例分析. 引证文献(1条) 1.苏文珣 三重积分计算法的一种直观理解[期刊论文]-中国科教创新导刊 2009(34) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_assfxyxb200702019.aspx 下载时间：2010年5月24日