谈谈代数数论_代数数论百年历史回顾及分期初探_黎景辉

书书书 谈谈代数数论—代数数论 百年历史回顾及分期初探 黎景辉 （Ｋ．Ｆ．Ｌａｉ） （美国耶鲁大学） 第一部　序幕 本文简单地讲讲代数数论的历史，希望简单 的讲就比较容易看见全貌，这样就方便把握整个 历史分期及对整个过程的分析．至于文中所讨论 的是否属于“代数数论”的范围，大家都会有不同 的意见．例如：当Ｚ是整数环时，有人会认为研究 Ｋｎ（Ｚ）是代数拓扑学．有人会说 Ｋｎ（Ｑｐ（ －槡 ｄ）） 的研究是属于代数数论，但如果Ｆ 是域，Ｋｎ（Ｆ） 是Ｋ 理论．我不想为此花时间争论．不管是用代 数、分析、几何、拓扑方法，我相信基本上什么是代 数数论大家是有相当共识的．还有一些题目我没 有谈到而有专家认为是代数数论的范围，例如— 代数数论数值算法，代数数有理逼近，代数域上的 解析数论，组合与概率代数数论，函数域上超越数 论，不定方程与ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ几何，等．只好请大家 行文畅述了．我国数学家在代数数论有非凡的成 就，我认为需要专文介绍，这里没有谈到的，请大 家原谅．当然要畅顺的阅读本文是需要一点代数 知识的，比如你最少要知道群，环，域这三件事．对 学生来说，不必要看明白也可以看下去，因为这样 你最少知道还有什么可以学的． 奠基时代 我不打算为代数数论下个定义，因为这样便 把代数数论限死了．我首先说说代数数论里几个 重要的概念． １．我以Ｑ记有理数域．设Ｘ 为变元，以 Ｑ（Ｘ） 记有理函数域．当ａ是一个复数时，以ａ代Ｘ 从Ｑ （Ｘ）得出的域记为 Ｑ（ａ）． ２．域扩张，就是一个域Ｅ 包含另一个域Ｆ． 若Ｅ 包含有理数域 Ｑ 我便称Ｅ 为数域．最重要 的数域是二次扩张 Ｑ（槡ｄ），其中ｄ是整数，槡ｄ不 是有理数． ３．设有域扩张ＥＦ，考虑自同构α：Ｅ → Ｅ 满足条件：对所有ｘ∈Ｆ，有α（ｘ）＝ｘ．由所有 这样的自同构α所组成的集合记作Ａｕｔ（Ｅ／Ｆ）． 当Ｅ／Ｆ是Ｇａｌｏｉｓ时，Ａｕｔ（Ｅ／Ｆ）记为Ｇａｌ（Ｅ／Ｆ） 并称为Ｅ／Ｆ的Ｇａｌｏｉｓ（伽罗瓦）群．当Ｇａｌ（Ｅ／Ｆ） 为交换群时则称Ｅ／Ｆ 为交换扩张． ４．最简单的二次型便是多项式ｘ２＋ｙ２＋ｚ２． ５．在 Ｑ 上的椭圆曲线是指以ｙ２＝ ４ｘ３－ ｇ２ｘ－ｇ３所定义的曲线，其中ｇ２，ｇ３为有理数并 且Δ＝ｇ３２－２７ｇ２３≠０．最著名的椭圆曲线是ｙ２＝ ｘ（ｘ－ａｌ）（ｘ－ｃｌ）其中ｌ为 ≥５的素数并要求有 非零整数ａ，ｂ，ｃ满足费马方程ａｌ＋ｂｌ＝ｃｌ． ６．对实部大于１的复数ｓ定义黎曼ｚｅｔａ函 数为 ζ（ｓ）＝∑ ∞ ｎ＝１ １ ｎｓ ＝ｐ素数 １ １－ｐ－ｓ 　　这是数论里常见的Ｌ 函数的祖先．注意这个 等式是等价于整数的基本性质：任一整数必可写 成素数乘积的唯一分解． ７．平常的绝对值｜ｘ｜在有理数域 Ｑ上定义 一个度量．按此度量把 Ｑ 完备化便得实数域 Ｒ． 我们说一个度量空间是完备是指这空间具有下述 性质：空间中的任何 Ｃａｕｃｈｙ（柯西）序列都收敛 在该空间之內．现固定素数ｐ，设整数ａ有因子分 解ａ＝ｐｎｄ，其中ｄ与ｐ 沒有公因子，则以ν（ａ） 记ｎ．定义分数的ｐ－绝对值 ａ ｂ ｐ ＝ｐ ｖ（ｂ）－ｖ（ａ） 　　把有理数域 Ｑ 对ｐ－绝对值完备化便得ｐ １２０１３年　第５２卷　第５期　　 　　　　　　数学通报 －进数域 Ｑｐ． 数论家 Ｗｅｉｌ（１９０６－１９９８，是Ｐｉｃａｒｄ的学生） 告诉 我 高 斯 的 书 Ｄｉｓｑｕｉｓｉｔｉｏｎｅｓ　Ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃａｅ （Ｅｎｇｌｉｓｈ　ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ　Ｓｐｒｉｎｇｅｒ　１９８６）对他有很大 的影响．后来他写了一本有陈省身题字的数论历 史名著－Ｎｕｍｂｅｒ　Ｔｈｅｏｒｙ：Ａｎ　Ａｐｐｒｏａｃｈ　Ｔｈｒｏｕｇｈ Ｈｉｓｔｏｒｙ　Ｆｏｒｍ　Ｈａｍｍｕｒａｐｉ　ｔｏ　Ｌｅｇｅｎｄｒｅ（１９８４）． 我问他为什么他这本书停在高斯之前．他说：从高 斯开始便是现代数论了！应该留给下一代去写这 段历史． 请让我从高斯开始．以下是代数数论的主要 的奠基工作． １．Ｇａｕｓｓ（高斯）（１７７７－１８５５）：二次型，二 次域扩张，二次互反律，带复乘的椭圆曲线 ２．Ａｂｅｌ（阿贝尔）（１８０２－１８２９）：Ａｂｅｌ积 分，五次方程沒有一般根号解公式 ３．Ｊａｃｏｂｉ（１８０４－１８５１）：椭圆函数，θ函数 ４．Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ（１８０５－１８５９）：Ｌ 函数，类数公 式，算术序列中的素数 ５．Ｋｕｍｍｅｒ（１８１０－１８９３）：交换扩张 ６．Ｇａｌｏｉｓ（伽罗瓦）（１８１１－１８３２）：群论在 域扩张的应用 ７．Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ（１８１５－１８９７）：椭圆函数 ８．Ｈｅｒｍｉｔｅ（１８２２－１９０１）：复数域上的二 次型理论 ９．Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ（１８２３－１８５２）：模形式，Ｅｉｓ－ ｅｎｓｔｅｉｎ级数 １０．Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ（１８２３－１８９１）：有理数域的 交换扩张 １１．Ｄｅｄｅｋｉｎｄ （１８３１ － １９１６）：ζ 函数， 理想 １２．Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ（１８４９－１９１７）：无分岐域 扩张 １３．Ｐｏｉｎｃａｒｅ（１８５４－１９１２）：模形式 １４．Ｈｅｎｓｅｌ（１８６１－１９４１）：ｐ －进数 这些工作是在十九世纪完成的．一本很好的 快速介绍这些成果的书是 － 塞尔 （Ｓｅｒｒｅ）著， 数论教程，冯克勤 翻译 阿房宫赋翻译下载德汉翻译pdf阿房宫赋翻译下载阿房宫赋翻译下载翻译理论.doc ．一本讲Ｌ函数的经典著 作是Ｄａｖｅｎｐｏｒｔ，Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ　Ｎｕｍｂｅｒ　Ｔｈｅｏｒｙ． 未开始主题之前，我为大家介绍模形式．已知 三角函数 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ　２πｘ 有以下性质：对任意整数ｎ有 ｆ（ｎ＋ｘ）＝ｆ（ｘ） 我们称整数ｎ为函数ｆ（ｘ）的周期．整数群Ｚ为 ｆ（ｘ）的周期群． 我们可以问：是否存在一些函数ｆ，它的周 期群比整数群Ｚ更复杂．当然先问什么群比Ｚ复 杂．第一个情形便是由整数对 （ｎ，ｍ）所组成的群 Ｚ×Ｚ．这个群的加法是这样定义的： （ｎ，ｍ）＋ （ｎ１，ｍ１）＝ （ｎ＋ｎ１，ｍ ＋ｍ１） 我们可以使用复数把这个群Ｚ×Ｚ推广一点．取 两个复数ｗ１，ｗ２使得 ｗ１ ｗ２ 不是实数．则复数集合 Γ＝ ｛ｗ ＝ｎ１ｗ１＋ｎ２ｗ２∶ｎ１，ｎ２∈Ｚ｝ 是复平面的一组格点． Ｔｈｅ　ｄｉａｇｒａｍ　ａｂｏｖｅ　ｔｈｅ·ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓ　ｔｈｅ　ｅｌｅｍｅｎｔｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｌａｔｔｉｃｅ Γ＝ ｛ｎ１ｗ１＋ｎ２ｗ２∶ｎ１，ｎ２∈Ｚ｝ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ　ｂｙ　２　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｎｕｍｂｅｒｓ　ｗ１，ｗ２． 用复数的加法，Γ便是一个群．Γ实际上是与Ｚ× Ｚ同构的． 现在我们可以问：是否存在复变函数ｆ（ｚ） 使得Γ 是ｆ（ｚ）的周期群，即是说，对任意 ｗ ∈ Γ，以下公式成立： ｆ（ｗ ＋ｚ）＝ｆ（ｚ）． 这样的函数ｆ（ｚ）我们称为椭圆函数． 例子：已给群Γ，则我们用无穷级数： ｆ（ｚ）＝∑ ｗ∈Γ １ （ｚ－ｗ）３ 所定义的ｆ（ｚ）是一个椭圆函数． 我们要指出Ｚ和Ｚ×Ｚ都是交換群．最简单 的非交換群是ＳＬ２Ｚ，它的元素是２×２矩阵 ａ　ｂ ｃ　（ ）ｄ 其中ａ，ｂ，ｃ，ｄ 是整数，并且行列式ａｄ－ｂｃ＝ １，这是用矩阵乘法来定义的一个非交換群． 我们以Ｈ 记上半复平面：Ｈ ＝ ｛ｚ＝ｘ＋ｉｙ： ２ 数学通报　　　　　　　 　２０１３年　第５２卷　第５期 ｙ＞０｝．若ｚ∈Ｈ， γ＝ ａ　ｂ ｃ　（ ）ｄ ∈ＳＬ２Ｚ 则设 γ（ｚ）＝ａｚ＋ｂｃｚ ＋ｄ． 如此我们说ＳＬ２Ｚ作用在 Ｈ 上． 我们可以问：是否存在函数ｆ（ｚ）在ＳＬ２Ｚ 这个作用下不变，即是说 ｆ（γ（ｚ））＝ｆ（ｚ）． 在ＳＬ２Ｚ里有元素 γ＝ １　ｎ ０　（ ）１ ， 其中ｎ是任意整数，这时 γ（ｚ）＝ｚ＋ｎ０ｚ＋１＝ｚ＋ｎ 于是对所有γ∈ＳＬ２Ｚ成立的条件 ｆ（γ（ｚ））＝ｆ（ｚ） 是包括要求 ｆ（ｚ＋ｎ）＝ｆ（ｚ） 即是包括要求整数群Ｚ是ｆ的周期，从这个角度 来看，我们所寻求满足条件 ｆ（γ（ｚ））＝ｆ（ｚ） 的函数ｆ（ｚ）是三角函数的推广．但是，是否有这 样的函数呢？ 引进符号：若γ＝ ａ　ｂ ｃ　（ ）ｄ 则设ｊ（γ，ｚ）＝ ｃｚ＋ｄ．因为几何的考量我们把条件 ｆ（γ（ｚ））＝ｆ（ｚ） 推广一点．固定一整数ｋ≥０．我们考虑定义在 上半复平面 Ｈ 上的解析函数ｆ（ｚ），并要求对任 意γ∈Γ，以下等式成立 ｊ（γ，ｚ）－ｋｆ（γ（ｚ））＝ｆ（ｚ）． 我们称这样的ｆ（ｚ）为模形式．例子：设ｋ为≥４ 的偶数，由以下Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ级数所定义的函数Ｇｋ （ｚ）为模形式： Ｇｋ（ｚ）＝ ∑ ｍ，ｎ∈Ｚ （ｍｚ＋ｎ）－ｋ 在其中 （ｍ，ｎ）≠ （０，０）． 有一个很著名的模形式 Δ＝ｑ∏ ∞ ｎ＝１ （１－ｑｎ）２４，ｑ＝ｅ２πｉｚ 把它的Ｆｏｕｒｉｅｒ展开写成 Δ＝∑ ∞ ｎ＝１ τ（ｎ）ｑｎ Ｒａｍａｎｕｊａｎ（１８８７－１９２０）猜想：当ｐ是素数时， ｜τ（ｐ）｜＜２ｐ １１ ２ 在二十世纪的代数数论里模形式扮演一个完 全意想不到的角色！推荐一本关于模形式的书 － Ｄｉａｍｏｎｄ　＆ Ｓｈｕｒｍａｎ，Ａ　Ｆｉｒｓｔ　Ｃｏｕｒｓｅ　ｉｎ Ｍｏｄｕｌａｒ　Ｆｏｒｍｓ． 第二部 　主题 以下我把二十世纪的代数数论分为五幕 来讲． １．交换类域论 ２．岩泽理论 ３．Ｌａｎｇｌａｎｄｓ（朗兰兹）对应 ４．Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ（格罗滕迪克）代数几何学在 代数数论的应用 ５．同伦代数几何学在代数数论的应用 １　第一波 奠基之后的第一波是从十九世纪末到二十世 纪中叶，由 ［１］Ｈｉｌｂｅｒｔ（１８６２－１９４３）开始经过 ［２］高木贞治 （Ｔａｋａｇｉ　１８７５－１９６０）到 ［３］Ｅ．Ａｒｔｉｎ（１８９８－１９６２）， ［４］Ｃｈｅｖａｌｌｅｙ （１９０９－１９８４，１９４１ 年 Ｃｏｌｅ Ｐｒｉｚｅ）， ［５］中山正 （Ｎａｋａｙａｍａ　１９１２－１９６４）， ［６］Ｔａｔｅ（１９５６年 Ｃｏｌｅ　Ｐｒｉｚｅ，２０１０年 Ａｂｅｌ Ｐｒｉｚｅ，是Ｅ．Ａｒｔｉｎ的学生）， ［７］Ｓｅｒｒｅ（１９５４年菲尔兹奖，１９８５年Ｂａｌｚａｎ Ｐｒｉｚｅ，２０００年 Ｗｏｌｆ　Ｐｒｉｚｅ，２００３年 Ａｂｅｌ　Ｐｒｉｚｅ）完 成了交换扩张的 Ｇａｌｏｉｓ群的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示之上同调理论， 即交换类域论． 好的参考书有 １）高木贞治，代数的整数论，岩波书店 （等 待中文版）； ２）岩泽健吉，局部类域论，冯克勤译，科学出 版社； ３）Ｓｅｒｒｅ，Ｌｏｃａｌ　Ｆｉｅｌｄ； ４）Ａｒｔｉｎ－Ｔａｔｅ，Ｃｌａｓｓ　Ｆｉｅｌｄ　Ｔｈｅｏｒｙ． 类域论的一个核心定理是互反律．高斯的二 次互反律是互反律的鼻祖．让我们用拓扑群的语 ３２０１３年　第５２卷　第５期　　 　　　　　　数学通报 言介绍交换互反律．设Ｇ 为拓扑群，由所有连续 同态Ｇ →Ｃ×所组成的集合记为Ｇ＊．设Ｆ 为数 域，Ｆａｂ为Ｆ 的最大交换扩张，Ａ× 为 Ｆ 的ｉｄｅｌｅ 环，则交换互反律是指存在单同态 ρ：（Ｇａｌ（Ｆ ａｂ／Ｆ））＊→ （Ａ×／Ｆ×）＊ 满足Ｌ 函数条件 ＬＡｒｔｉｎＦ （χ，ｓ）＝Ｌ Ｈｅｃｋｅ Ｆ （ρ（χ），ｓ）． 在这里应推介高维局部域的互反律．这方面 最早的工作是 ［１］加藤和也（Ｋａｚｕｙａ　Ｋａｔｏ）的硕士论文 Ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｌｏｃａｌ　ｃｌａｓｓ　ｆｉｅｌｄ　ｔｈｅｏｒｙ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ Ｋ－ｇｒｏｕｐｓ，Ｊ．Ｆａｃ．Ｓｃｉ．Ｕｎｉｖ．Ｔｏｋｙｏ　Ｓｅｃｔ．ＩＡ Ｍａｔｈ．２６（１９７９），２７（１９８０）和 ［２］Ｖｏｓｔｏｋｏｖ，Ｅｘｐｌｉｃｉｔ　ｆｏｒｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｌａｗ　ｏｆ ｒｅｃｉｐｒｏｃｉｔｙ，Ｉｚｖ．Ａｋａｄ．Ｎａｕｋ　ＳＳＳＲ　Ｓｅｒ．Ｍａｔ． ４２（１９７８），ｎｏ．６，１２８８–１３２１；Ｅｎｇｌｉｓｈ　ｔｒａｎｓｌ． ｉｎ　Ｍａｔｈ．ＵＳＳＲ－Ｉｚｖ．１３（１９７９）． ２　第二波 我想先说什么是类数．设有数域 Ｋ．则 Ｋ 的 分式理想以乘法为群Ｉ．Ｋ 的每一个非零元生成 一个主理想，以Ｐ 记由主理想所组成的群．Ｋ 的 理想类群ＣＫ 是指商群Ｉ／Ｐ．称ＣＫ的元素个数为 Ｋ 的类数，记作ｈＫ．域Ｋ 的元素有唯一素元乘积 分解的充要条件是ｈＫ＝１．所以我们说ｈＫ 是数 域Ｋ 的一个重要算术参数． 设ｐ为素数，ζｐ为ｐ 次单位原根．以ｈｐ 记 Ｑ（ζｐ）的最大实子域的类数． Ｖａｎｄｉｖｅｒ猜想：ｐ不除尽ｈｐ． 这是代数数论的一个重要的猜想． 岩泽健吉Ｉｗａｓａｗａ（１９１７－１９９８，１９６２年 Ｃｏｌｅ　Ｐｒｉｚｅ）二十世纪中叶提出传统类域论之外 的一个新方向 － 交换岩泽理论 （Ｏｎ　ｔｈｅΓｅｘ－ ｔｅｎｓｉｏｎｓ　ｏｆ　ａｌｇｅｂｒａｉｃ　ｎｕｍｂｅｒ　ｆｉｅｌｄｓ，Ｂｕｌｌ．ＡＭＳ ６５（１９５９）１８３－２２６）．岩泽健吉是弥永昌吉的学 生．弥永昌吉（Ｉｙａｎａｇａ）是高木贞治的学生，高木 贞治是 Ｈｉｌｂｅｒｔ的学生．弥永昌吉还有两个著名 的学生—玉河恒夫（Ｔａｍａｇａｗａ）和小平邦彦（Ｋｏ－ ｄａｉｒａ（１９１５—１９９７）１９５４年菲尔兹奖）． 考虑下述例子：取素数ｐ≠２，研究以下数域 所组成的塔： Ｋ０Ｋ１…Ｋｎ…Ｋ∞＝∪Ｋｎ 其中Ｇａｌ（Ｋｎ／Ｋ０）≌Ｚ／ｐｎＺ．则Ｇａｌ（Ｋ∞／Ｋ０）＝ ｌｉｍ ←ｎ （Ｚ／ｐｎＺ）＝Ｚｐ．常称Ｋ∞／Ｋ０为Ｚｐ扩张． 岩泽认为：当代数数论中某些数域所成的塔 的 Ｇａｌｏｉｓ群同构于ｐ 进整数Ｚｐ的加法群的时 候，岩泽建议把这些数域所成的塔的理想类群 （ｃｌａｓｓ　ｇｒｏｕｐ）看作Ｚｐ模研究．理想类群Ｚｐ模的特 征理想可以用 Ｋｕｂｏｔａ和 Ｌｅｏｐｏｌｄｔ在１９６０年定 义的 ｐ 进Ｌ－函数的特殊值算出 － 岩泽主 猜想． 这个猜想在有理数域上的情形由 Ｂａｒｒｙ　Ｍａ－ ｚｕｒ（１９８２年Ｃｏｌｅ　Ｐｒｉｚｅ）与 Ａｎｄｒｅｗ　Ｗｉｌｅｓ 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ． 可以参看Ｌａｎｇ，Ｃｙｃｌｏｔｏｍｉｃ　Ｆｉｅｌｄｓ　１　＆２；特征ｐ 的分圆域可看－冯克勤，分圆函数域，上海科技出 版社． 我们可以说岩泽理论是：当 Ｇａｌｏｉｓ扩张 Ｅ／Ｆ 的 Ｇａｌｏｉｓ群是ｐ进李群时，研究Ｅ／Ｆ 的ｐ 进Ｌ 函数．留意：初等伽罗瓦理论用的 Ｇａｌｏｉｓ群 是有限群，岩泽指出当 Ｇａｌｏｉｓ群是ｐ进李群时是 有非常丰富的内容．今日岩泽理论被推广至函数 域上，Ａｂｅｌ簇，模形式的应用，Ｃｏａｔｅｓ提出非交 换岩泽理论．（Ｔｈｅ　ｍａｉｎ　ｃｏｎｊｅｃｔｕｒｅｓ　ｏｆ　ｎｏｎ－ｃｏｍ－ ｍｕｔａｔｉｖｅ　 Ｉｗａｓａｗａ　 ｔｈｅｏｒｙ， ｈｔｔｐ：／／ ｗｗｗ．ｋｕｒｉｍｓ．ｋｙｏｔｏ－ｕ．ａｃ．ｊｐ／～ ｋｙｏｄｏ／ｋｏｋｙｕ－ ｒｏｋｕ／ｃｏｎｔｅｎｔｓ／ｐｄｆ／１３７６－１．ｐｄｆ）． ３　第三波 江湖的事，正是一波未停一波又起，代数数论 的第二波还未跑完，第三波又到．这一回是拓扑群 无穷维表示在代数数论的应用．这个方法已有很 长的历史，这就是解析数论里Ｆｏｕｒｉｅｒ级数方法． 我得先说明群Ｇ 的表示．设Ｖ 是线性空间， 由所有从Ｖ 到Ｖ 的线性双射ｆ∶Ｖ →Ｖ 所组成 的线性空间记为Ａｕｔ（Ｖ ）．所谓Ｇ 的一个表示是 指一个群同态ρ∶ｇ→Ａｕｔ（Ｖ ）．有什么好？表示 ρ把Ｇ 的元素ｇ 变为比较“实际”线性映射 ρ（ｇ）．比如说，设Ｖ 是有限维空间，我们便可以计 算ρ（ｇ）的特征根，这就比一个抽象的ｇ好了解． 但是当Ｖ 是无穷维 Ｈｉｌｂｅｒｔ空间时，ρ（ｇ）可 以有离散谱及连续谱，这时便需要用泛函分析了． 处理自守型理论中的连续谱便是 Ｌａｎｇｌａｎｄｓ 的大作 Ｏｎ　ｔｈｅ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　Ｓａｔｉｓｆｉｅｄ　ｂｙ Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ　Ｓｅｒｉｅｓ （Ｓｐｒｉｎｇｅｒ）．可 看 现 代 版： Ｍｏｅｇｌｉｎ和 Ｗａｌｄｓｐｕｒｇｅ，Ｓｐｅｃｔｒａｌ　Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ａｎｄ　Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ　Ｓｅｒｉｅｓ（Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ）． ４ 数学通报　　　　　　　 　２０１３年　第５２卷　第５期 Ｈａｒｉｓｈ　Ｃｈａｎｄｒａ发展了 Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ　ｉｎｔｅｇｒａｌ 理论来处理实李群表示论的连续谱问题 （见 Ｗａｌｌａｃｈ，Ｒｅａｌ　Ｒｅｄｕｃｔｉｖｅ　Ｇｒｏｕｐｓ　ＩＩ）． 代数数论的第三波可以说是从 Ｌａｎｇｌａｎｄｓ （朗兰兹）（１９８２年Ｃｏｌｅ　Ｐｒｉｚｅ，２００７年邵逸夫奖） 在１９６７年写给 Ｗｅｉｌ的一封信开始：朗兰兹纲领 （ｈｔｔｐ：／／ｐｕｂｌｉｃａｔｉｏｎｓ．ｉａｓ．ｅｄｕ／ｒｐｌ／ｐａｐｅｒ／４３）．这 个理论寻求一个 Ｇａｌｏｉｓ群表示（可参看：Ｋｉｓｉｎ， Ｗｈａｔ　ｉｓ　 ａ　 Ｇａｌｏｉｓ　 Ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ，ｈｔｔｐ：／／ ｗｗｗ．ａｍｓ．ｏｒｇ／ｎｏｔｉｃｅｓ／２００７０６／ｔｘ　０７０６００７１８ｐ．ｐｄｆ） 与代数群的无穷维表示 （自守表示）之对应．简 单的说：求对应 ρ∶ （Ｇａｌ（珚Ｆ／Ｆ））∧≈ Ａｕｔ　Ｒｅｐ（ＧＬｎ／Ｆ） （这里 ∧ 是指往ＧＬｎ的表示）使得 ＬＡｒｔｉｎ（χ，ｓ）＝Ｌ Ｌａｎｇｌａｎｄｓ（ρ（χ），ｓ） 如果我们把第一波里的Ｆ×看作ＧＬ（１，Ｆ），则可 以把以上的对应看作从ＧＬ（１）到 ＧＬ（ｎ）的 推广． Ｌａｎｇｌａｎｄｓ为什么关心这件事？他是希望使 用这个对应去证明 Ａｒｔｉｎ　Ｌ 函数猜想 （参看 ｄｅ Ｓｈａｌｉｔ，Ａｒｔｉｎ　Ｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，见 Ａｎ　Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｔｏ Ｌａｎｇｌａｎｄｓ　Ｐｒｏｇｒａｍ，Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ　ｅｄ．Ｂｉｒｋｈａｕｓｅｒ， ２００４）．当然他只能做ＧＬ（２）的几个情形． 这里的中心技术是：代数簇（特别是志村簇 Ｓｈｉｍｕｒａ　ｖａｒｉｅｔｙ）的上同调群作为表示空间的计 算和迹公式（ｔｒａｃｅ　ｆｏｒｍｕｌａ）．有两种迹公式，第一 种迹 公 式 由 Ｓｅｌｂｅｒｇ（１９５０ 年 菲 尔 兹 奖，见 Ｓｅｌｂｅｒｇｓ　１９５４Ｇｏｔｔｉｎｇｅｎ　ｌｅｃｔｕｒｅｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｔｒａｃｅ ｆｏｒｍｕｌａ， ｈｔｔｐ：／／ｐｕｂｌｉｃａｔｉｏｎ．ｉａｓ．ｅｄｕ／ｓｅｌｂｅｒｇ／ ｓｅｃｔｉｏｎ／２４７２）发展到 Ａｒｔｈｕｒ（可以参看ｈｔｔｐ：／／ ｗｗｗ．ｃｌａｙｍａｔｈ．ｏｒｇ／ｃｗ／ａｒｔｈｕｒ／ｐｄｆ／６２．ｐｄｆ）．另 一种迹公式是：相对迹公式（最早见：Ｊａｃｑｕｅｔ，黎 景 辉，Ｓｕｒ　ｕｎｅ　ｆｏｒｍｕｌｅ　ｄｅｓ　ｔｒａｃｅｓ　ｒｅｌａｔｉｖｅｓ， Ｃ．Ｒ．Ａｃａｄｅｍｙ　Ｓｃ．Ｐａｒｉｓ，２９６（Ｊｕｉｎ，１９８３）Ｓｅｒｉｅ　Ｉ， ９５９－９６３）． Ａｒｔｈｕｒ是Ｌａｎｇｌａｎｄｓ的大弟子，他的博士论 文便是把Ｓｅｌｂｅｒｇ这个（当时还未发表）１９５４年的 讲义从ＳＬ２（Ｒ）推广到ａｄｅｌｅｓ上，他一生就是从事 这个深刻的调和分析的工作．Ｊａｃｑｕｅｔ是 Ｇｏｄｅ－ ｍｅｎｔ的学生，Ｇｏｄｅｍｅｎｔ是 Ｈｅｎｒｉ　Ｇａｒｔａｎ的学 生，Ｈｅｎｒｉ　Ｃａｒｔａｎ 还有两个利害的学生－Ｓｅｒｒｅ （１９５４年菲尔兹奖）和Ｔｈｏｍ（１９５８年菲尔兹奖）． Ｈｅｎｒｉ　Ｃａｒｔａｎ是 Ｅｌｉｅ　Ｃａｒｔａｎ（加当）的儿子，而 Ｅｌｉｅ　Ｃａｒｔａｎ是Ｓｏｐｈｕｓ　Ｌｉｅ的学生．这个Ｓｏｐｈｕｓ Ｌｉｅ便是发明李群的那个人！陈省身便是在Ｅｌｉｅ Ｃａｒｔａｎ家里学外微分形式啦！都是一家人． 这个自守表示是模形式的推广版，当然是加 了许多新的功能．早期的教科书是 Ｗｅｉｌ，Ｂａｓｉｃ Ｎｕｍｂｅｒ　Ｔｈｅｏｒｙ 及 Ｊａｃｑｕｅｔ，Ｌａｎｇｌａｎｄｓ，Ａｕｔｏ－ ｍｏｒｐｈｉｃ　ｆｏｒｍｓ　ｏｎ　ＧＬ（２）．还有两部北京的讲义： 一部幼儿版是黎景辉、蓝以中，二阶矩阵群的表示 与自守形式，北大出版 １９８６；一本深思版是 Ｂｏｒｅｌ，Ａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｆｏｒｍｓ　ｏｎ　ＳＬ２ （Ｒ），Ｃａｍ－ ｂｒｉｄｅｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ（原：１９９３冯绪宁译；Ｂｏｒｅｌ （１９２３－２００３），１９９２年Ｂａｌｚａｎ奖）以拓扑学起家， 热爱爵士音乐，后期醉心于自守形；我看过好几份 他写的在ａｄｅｌｅｓ上的自守形的讲义，最后他出版的 是在ＳＬ２（Ｒ）上的导引，我信是他深思后的决定．） 海内外国人研究自守形式颇多，比如有 －张寿 武，李文卿，叶扬波，刘建亚，江迪华，毛征宇，励建 书，张伟，袁新意，李文威，莫仲鹏，孙斌勇，周国 晖，……不胜数． 悬疑了四百年的费马定理ｘｎ＋ｙｎ＝ｚｎ最终 由 Ｗｉｌｅｓ（１９９７年 Ｃｏｌｅ　Ｐｒｉｚｅ，２００５年邵逸夫奖） 证明．自守形式理论在这个证明中的应用充分印 证了自守形式的威力． 要了解自守表示便得先明白拓扑群的表示 （可以参考黎景辉、冯绪宁，拓扑群引论，科学出版 社）．设有拓扑群Ｇ，以 Ｇ＾ 记Ｇ 的所有复局部凸拓 扑空间上的表示所组成的集合．这Ｇ＾是沒有群的 结构的拓扑空间．怎样构造出 Ｇ＾ 內所有的元素？ 当Ｇ 是实半单李群的时候，Ｈａｒｉｓｈ－Ｃｈａｎｄｒａ回答 了这些问题，他用的方法是：微分方程积分解的渐 近理论．日后有Ｌａｎｇｌａｎｄｓ及 Ｖｏｇａｎ的工作把 Ｇ＾ 的元素作分类． 又有 Ａｔｉｙａｈ（１９６６年菲尔兹奖，２００４年 Ａ－ ｂｅｌ　Ｐｒｉｚｅ）－Ｓｃｈｍｉｄｔ用算子代数及 Ｋａｓｈｉｗａｒａ－ Ｓｃｈｍｉｄｔ用Ｄ－模方法构造表示．Ｄ－模乃是微 分方程代数理论的最新版． 但是如果Ｇ是ｐ－进李群，表示空间ｐ－进拓扑空 间，平常的微分方程转为ｐ－进域上的微分方程的时 候，这些结果与方法会是怎样的，沒有人知道． 这一回合到今日还沒有演完． （下转第６页） ５２０１３年　第５２卷　第５期　　 　　　　　　数学通报 函数三种定义的演变历程及其利弊分析 胡先富　薛　颖 （重庆城市管理职业学院　４０１３３１） “函数”是数学中一个重要而又最基本的概 念，自从笛卡尔引入变数以后，变量和函数等概念 就日益渗透到数学的各个分支领域中．在数学的 发展历程中，函数的概念不断拓广、函数的定义不 断演变，形成具有代表性的三种说法，即变量说、 对应说（映射说）与关系说，它们各有利弊． １　函数“变量说”定义的形成及其利弊 １．１　函数“变量说”定义的演变与形成 最早把“函数（ｆｕｎｃｔｉｏｎ）”一词用作数学术语 的是德国数学家莱布尼兹（Ｌｅｉｂｎｉｚ），在１６７３年 引入的．当时，他使用函数一词时是用以表示诸如 ｘ，ｘ２，ｘ３，ｘ４，… 等的幂函数，而后又用“函数”一 词表示曲线上点的坐标分量、切线长等与曲线上 点相关的几何量，这正是函数概念的解析起源，最 原始的函数定义．最早把“ｆｕｎｃｔｉｏｎ”译作汉语“函 数”的是我国清代数学家李善兰，他在１８５９年翻 译《代数学》一书时把“ｆｕｎｃｉｏｎ”译成“函数”，他在 介绍该概念时说：“凡此变数中函彼变数，则此为 彼之函数”，这个定义的含义是：“凡是公式中含有 变量ｘ，则该式子叫做ｘ的函数”． （上接第５页） 当Ｆ是局部域时ＧＬ（ｎ，Ｆ）的Ｌａｎｇｌａｎｄｓ对 应已被证明－ 特征０时由 Ｈａｒｒｉｓ－Ｔａｙｌｏｒ（２００２年 Ｃｏｌｅ Ｐｒｉｚｅ，２００１年Ｆｅｒｍａｔ　Ｐｒｉｚｅ，２００７年邵逸夫奖） 证明 （见 Ｔｈｅ　Ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ａｎｄ　Ｃｏｈｏｍｏｌｏｇｙ　ｏｆ Ｓｏｍｅ　Ｓｉｍｐｌｅ　Ｓｈｉｍｕｒａ　Ｖａｒｉｅｔｉｅｓ，Ｐｒｉｎｃｅｔｏｎ）； 特征ｐ 时由 Ｌａｕｍｏｎ－Ｒａｐｏｐｏｒｔ－Ｓｔｕｈｌｅｒ 证明 （Ｄ－ｅｌｌｉｐｔｉｃ　ｓｈｅａｖｅｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｌａｎｇｌａｎｄｓ　ｃｏｒ－ ｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ，Ｉｎｖ　Ｍａｔｈ，１９９３）． 关于一般的数域上既约代数群的 Ｌａｎｇｌａｎｄｓ 对应还是沒有什么结果．其他域上的研究有个别 的发展．比如在复数域上就变为Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　Ｌａｎｇ－ ｌａｎｄｓ（芝加哥大学的网站 ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｍａｔｈ． ｕｃｈｉｃａｇｏ．ｅｄｕ／ｍｉｔｙａ／ｌａｎｇｌａｎｄｓ．ｈｔｍｌ）． 最近又有 Ｂｒｅｕｉｌ所提出的ｐ 进 Ｌａｎｇｌａｎｄｓ 对应；现在只有用ｐ进 Ｈｏｄｇｅ理论和Ｂｅｒｇｅｒ的 ｐ进微分方程得出关于ＧＬ（２）的结果 （见Ｃｏｌｍ－ ｅｚ，Ｒｅｐｒｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ　ｐ－ａｄｉｑｕｅｓ　ｄｅ　ｇｒｏｕｐｅｓ　ｐ－ ａｄｉｑｕｅｓ，Ａｓｔｅｒｉｓｑｕｅ　３１９，３３０，３３１）．与此相关有 ｐ进对称空间理论（ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ａｍｓ．ｏｒｇ／ｎｏ－ ｔｉｃｅｓ／１９９５１０／ｔｅｉｔｌｅｌｂａｕｍ．ｐｄｆ；ｖａｎ　ｄｅｒ　Ｐｕｔ　＆ Ｖｏｓｋｕｉｌ．Ｊ．ｒｅｉｎｅ　ａｎｇｅｗ．Ｍａｔｈ．４３３（１９９２）６９－ １００；Ｆａｌｔｉｎｇｓ，Ｔｒａｃｅ　ｆｏｒｍｕｌａ　ａｎｄ　Ｄｒｉｎｆｅｌｄｓ　ｕｐｐｅｒ ｈａｌｆ　ｐｌａｎｅ，Ｄｕｋｅ　Ｍａｔｈ　Ｊ　７６（１９９４））和ｐ进自守 形理论，如 Ｈｉｄａ，ｐ－ａｄｉｃ　ａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｆｏｒｍｓ　ｏｎ Ｓｈｉｍｕｒａ　ｖａｒｉｅｔｉｅｓ，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ　２００４． 更重要的是关于第三波这套理论在代数数论 的应用我们还未发展完的．比如近日关于Ｇｒｏｓｓ－ Ｚａｇｉｅｒ公式的工作（张寿武，张伟，袁新意，Ａｎｎａｌｓ ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｓｔｕｄｉｅｓ，ｖｏｌ　１８４）． 在〈基本引理〉证明之前，Ｌａｎｇｌａｎｄｓ在 Ｂｅ－ ｙｏｎｄ　ｅｎｄｏｓｃｏｐｙ　２００４（ｈｔｔｐ：／／ｐｕｂｌｉｃａｔｉｏｎｓ．ｉａｓ． ｅｄｕ／ｒｐｌ／ｓｅｃｔｉｏｎ／２５）呼吁回到更解析的方法去． 在 〈基本引理〉证明之后，Ｌａｎｇｌａｎｄｓ又跟着 Ｎｇｏ 及Ｆｒｅｎｋｅｌ走上 Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　Ｌａｎｇ－ｌａｎｄｓ的路上， 不过不久他还是回到自已的路 －Ｂｅｙｏｎｄ　ｅｎｄｏｓ－ ｃｏｐｙ－Ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｅｓ　ｅｔ　ｔｒａｎｓｆｅｒｔ（ｈｔｔｐ：／／ｐｕｂｌｉｃａ－ ｔｉｏｎｓ．ｉａｓ．ｅｄｕ／ｒｐｌ／ｐａｐｅｒ／１３９）． （未完待续） ６ 数学通报　　　　　　　 　２０１３年　第５２卷　第５期