【高中数学】抽象函数问题的求解策略

抽象函数问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的求解策略 函数是每年 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 的热点，而抽象函数问题又是函数的难点之一。抽象函数通常是指没有给出具体函数的解析式，只给出了其他一些条件（如函数的定义域、特定点的函数值、解析递推式、特定的运算性质、部分图象特征等）的函数。由于抽象函数没有具体的解析式作为载体，因此理解、研究起来往往比较困难。但因为这类问题对于培养学生的创新实践能力，增强应用数学意识有着十分重要的作用，所以在近几年成为数学命题的生长点。 对于抽象函数问题，一般是由所给的性质,讨论函数的单调性、奇偶性、周期性及图象的对称性，或是求函数值、解析式等。因为问题本身的抽象性和性质的隐蔽性，可以利用特殊模型法、函数性质法、特殊化方法、类比联想转化法等从多层面、多角度去分析、研究抽象函数问题。 一、特殊模型法 根据抽象函数的性质，找出一个对应的具体函数模型，再研究它的其它性质。在高中数学中，常见抽象函数所对应的具体特殊函数模型归纳如下： 抽象函数 的性质 对应特殊函数模型 1、线性函数型抽象函数 f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y） 例1：已知函数 对任意实数x，y，均有 ，且当 时， ， ，求 在区间[－2，1]上的值域。 解：设 ，则 ，∵当 时， ，∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ，∴ 为增函数 在条件中，令y＝－x，则 ，再令x＝y＝0，则 ， ∴ ，故 ， 为奇函数， ∴　 ，又 ， ∴ 的值域为［－4，2］。 2、二次函数型抽象函数 ———— 二次函数型抽象函数即由二次函数抽象而得到的函数 若抽象函数 满足 ，总有 ，则可用二次函数 为模型引出解题思路； 例2：已知实数集上的函数 恒满足 ,方程 =0有5个实根,则这5个根之和=_____________ 【分析】：因为实数集上的函数 恒满足 ,方程 =0有5个实根，可以将该函数看成是类似于二次函数 为模型引出解题思路，即函数的对称轴是 ，并且函数在 ，其余的四个实数根关于 对称， 解：因为实数集上的函数 恒满足 ,方程 =0有5个实根，所以函数关于直线 对称，所以方程的五个实数根也关于直线 对称，其中有一个实数根为2，其它四个实数根位于直线 两侧，关于直线 对称，则这5个根之和为10 3、指数函数型的抽象函数 f（x）＝ax------------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝ 例3：设f (x)是定义在R上的偶函数。其图象关于直线y＝x对称，对任意x1，x2 ，都有f (x1＋x2)＝f (x1)·f (x2)，且f ( 1 )＝a＞0． (Ⅰ)求 及 ； (Ⅱ)证明f (x)是周期函数； (Ⅲ)记 ，求 ． (Ⅰ)解：可以考虑指数函数的模型指导解题的思路，例如运用函数 由 知： ≥0，x∈[0，1] ∵ ，f (1)＝a＞0，∴ ∵ ，∴ (Ⅱ)证明：依题设y＝f (x)关于直线x＝1对称， 故f (x)＝f (1＋1－x)，即f (x)＝f (2－x)，x∈R 又由f (x)是偶函数知f (－x)＝f (x)，x∈R 将上式中－x以x代换，得f (x)＝f (x＋2)，x∈R 这表明f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期． (Ⅲ)解：由(Ⅰ)知f (x)＞0，x∈[0，1] ∴ ∵f (x)的一个周期是2，∴ ，因此 ∴ ． 例4．定义在R上的函数 满足：对任意实数 ，总有 ，且当 时， ． （1）试求 的值； （2）判断 的单调性并证明你的结论； （3）设 ， 若 ，试确定的取值范围． （4）试举出一个满足条件的函数 ． 解：（1）在 中， 令．得： ． 因为 ，所以， ． （2）要判断 的单调性，可任取 ，且设 ． 在已知条件 中，若取，则已知条件可化为： ． 由于 ，所以 ． 为比较 的大小，只需考虑 的正负即可． 在 中，令 ， ，则得 ． ∵ 时， ， ∴ 当 时， ． 又 ，所以，综上，可知，对于任意 ，均有 ． ∴ ． ∴ 函数 在R上单调递减． （3）首先利用 的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含 的式子． ，即 ． 由 ，所以，直线 与圆面无公共点．所以， ． 解得： ． （4）如 ． 点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令 ；以及 等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数 4、对数函数型的抽象函数 f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（ ）＝ f（x）－f（y） 例5：已知函数 满足定义域在 上的函数，对于任意的 ，都有 ，当且仅当 时， 成立， （1）设 ，求证 ； （2）设 ，若 ，试比较 与 的大小； （3）解关于 的不等式 分析：本题是以对数函数为模型的抽象函数，可以参考对数函数的基本性质解题 证明：（1）∵ ，∴ ， ∴ （2）∵ ，∴ ， 即 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ∵当且仅当 时， 成立，∴当 时， ，∴ ， （3）令 代入 得 ， ， ∴关于 的不等式 为 ，由（2）可知函数 在定义域 上是减函数，∴ ，由 得，当 时， ，此时 成立；当 时， ，此时 成立；当 ， ，此时 成立。 例6：已知函数 对一切实数 ِ、 满足 ， ,且当 时， ，则当 时 的取值范围是​__________。　　　　　　　　 分析：构造特殊函数 EMBED Equation.3 ，显然满足 ，且 时， ； 解：令 ，因当 时， ，故 ，由指数函数图像得，当 时有 。 【评注】借助特殊函数模型铺路是解抽象函数问题的常用处理方法，这样做不仅感到抽象函数并不是无章可循、玄妙莫测，而且为更深入地研究抽象函数打下了良好的基础。 二、特殊化方法 有些抽象函数问题，用常规方法求解很难奏效，或过程十分繁杂，但利用一些特殊的手段，如赋值、反证、逆推等特殊的方法求解，往往会收到事半功倍之效果。 例7．已知函数 对一切 ，都有 。 ⑴求证： 在 上满足 ； ⑵若 时， ，判断 的单调性。 分析：令 时，由 得 ，显然，我们只要求得 即可证得(1)成立，因此赋值 ，即可。 证明：⑴令 ，可得 ，即 令 ，可得 ，故 ，即 。 ⑵任取 ，且 ，则 ， ∴ ，即 ， ∴ 在 上是减函数。 【评注】在推理过程中代入一些特殊的自变量，得到一些特殊的函数值，这些特殊的函数值是推理的重要依据。 三、函数性质法 函数的特征是通过函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性、特殊点等）反应出来的，抽象函数也不例外，只有充分挖掘和利用题设条件所表明或隐含的函数性质，灵活进行等价转换，抽象函数问题才能峰回路转，化难为易。常见的解题方法有：①利用奇偶性整体思考；②利用单调性等价转化；③利用周期性回归已知；④利用对称性数形结合等。 例8．已知 是定义在R上的函数，且 . ⑴)求证： 是周期函数；⑵若 ，试求f(2001),f(2005)的值。 解： ， 。 【评注】根据题设条件经有限次的迭代，可得到一些重要结论，如函数的周期性。 抽象函数中的奇偶性 一般地，如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数或偶函数。奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。 例：(1)已知函数f(x)对于任意实数x、y满足f(x+y)=f(x)+f(y),判断f(x)的奇偶性。 (2)已知函数f(x)对于任意实数x、y满足f(xy)=f(x)+f(y),判断f(x)的奇偶性。 (3)已知函数f(x)对于任意实数x、y满足f(x/y)=f(x)-f(y),判断f(x)的奇偶性。 （4)已知函数f(x)对于任意实数x、y满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),(f(0)≠0), 判断f(x)的奇偶性。 解：（1）令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x);再令y=x=0，得f(0)=0；即0=f(x)+f(-x),f(-x)=-f(x)。∴f(x)是奇函数。 （2）令y=-1，得f(-x)=f(x)+f(-1),又f(-1)=0,即f(-x)=f(x)。∴f(x)是偶函数. (3)令y=-1，得f(-x)=f(x)-f(-1),又f(-1)=0, 即f(-x)=f(x)。∴f(x)是偶函数. (4)令x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),再令x=y=0,可得f(0)=1,∴f(x)是偶函数. 【点评】:解决此类问题时,只要根据奇偶函数的定义，并应用赋值法(因x、y是任意实数),就不难解决。 抽象函数中的周期性 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。 常见结论: （1）f(x+a)=f(x),则T=a(a是非零常数)。 （2）f(x+a)=-f(x),则T=2a(a是非零常数)。 （3）f(x+2)=f(2-x), f(x+7)=f(7-x), 则T=10。 例1：已知f(x)为偶函数,其图象关于x=a(a≠0)对称,求证f(x)是一个以2a为周期的周期函数。 解：∵函数f(x)的图象关于x=a(a≠0)对称, ∴f(x+2a)=f(-x); 又∵f(x)为偶函数, ∴f(x+2a)=f(x),即T=2a。 例2：设f(x)是R上的奇函数,且f(x+3)=-f(x),求f(2004)的值。 解： ∵f(x+3)=-f(x), ∴f(x+6)=f(x+3+3)=-f(x+3)=f(x),即周期T=6。 又f(x)是R上的奇函数,有f(0)=0,从而f(2004)=f(6 334)=f(0)=0。 点评：解决本题的关键是：首先,由f(x+3)=-f(x),可得6是该函数的一个周期；其次,若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则必有f(x)=0。 抽象函数中的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时（x1＞x2），都有f(x1)＜f(x2)（f(x1)＞f(x2)），那么就说f(x)在这个区间上是增函数（减函数）。 例：定义在R上的函数f(x)同时满足条件: (1)f(x+y)=f(x)+f(y),x,y∈R;(2)当x＞0时,f(x)＜0,且f(1)=-2。求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值。 解： 由(1)可知f(x)是奇函数;又因x1＞x2＞0时,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)＜0,所以f(x)是R上 的减函数.因而易得函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值分别是6和-6。 已知偶函数f(x)在[0,+∞]上是增函数，解不等式f(x-1)＞f(1-2x)。 解：（1）当x≦ 时，x-1＜0,1-2x≧0,由于f(x-1)=f(1-x)，故原不等式即为f(x-1)=f(1-x)，再由f(x)在[0,+∞]上递增,得x－1>1－2x，即0＜x≦ 。 （2）当 ＜x≦1时，x-1≦0，1－2x<0，从而1-x≧0，2x－1>0，故原不等式可化为f(1-x)>f(2x-1)，所以1－x>2x－1，即 ＜x＜ 。 （3）当x>1时，x－1>0，1－2x<0，由f(x-1)>f(1-2x)=f(2x-1),得x－1>2x－1，即x<0这与x>1矛盾。 综合(1)、(2)、(3)得原不等式的解为0＜x＜ 。 抽象函数中的对称性 对称问题: 点关于点对称：点（x,y）关于点（a,b）对称的坐标为（2a-x,2b-y）。 曲线关于点对称：曲线f(x,y)=0关于点（a,b）对称的曲线f(2a-x,2b-y)=0。 常见对称：f(-x)=f(x),即函数f(x)关于y轴对称；f(-x)=-f(x), 即函数f(x)关于原点(0,0)对称；f(a-x)=f(a+x),即函数f(x)关于直线x=a对称；f(a-x)=-f(a+x),即函数f(x)关于点(a,0)对称。 例：已知f(x)满足f(x+2)=f(2-x), f(x+7)=f(7-x),x,y∈R。 （1）如f(5)=9, 求f(-5)。 （2）已知当x∈[2,7]时, f(x)=(x-2)2;求当x∈[16,20]时,函数f(x)的表达式。 解(1)方法一：∵f(x+2)=f(2-x)，即f(x)=f(4-x)=f(7-3-x)=f(3+x+7)=f(x+10),T=10∴f(-5)=f(-5+10)=f(5)=9； 方法二：f(-5)=f(2-7)=f(7+2)=f(9)=f(2+7)=f(7-2)=f(5)=9。 (2)由题意知, 函数f(x)关于直线x=2,x=7对称,且周期T=10. 当x∈[16,17]时, f(x)=(x-12)2; 当x∈(17,20)时, f(x)=(x-22)2。 总之，在解决抽象函数问题时，往往不是去考虑如何求这个函数的表达式，而是应设法利用这个函数的性质，如奇偶性、周期性、单调性、对称性等去把问题解决，倘若能利用数形结合的方法（如例3、例5）,则抽象问题又会变得更加具体形象,更有利于问题的解决。 抽象函数中的其他题型 一、已知 的定义域，求 的定义域， 其解法是：若 的定义域为，则 中 ，从中解得的取值范围即为 的定义域。 例1. 设函数 的定义域为 ，则 （1）函数 的定义域为________。 （2）函数 的定义域为__________。 解：（1）由已知有 ，解得 故 的定义域为 （2）由已知，得 ，解得 故 的定义域为 二、已知 的定义域，求 的定义域。 其解法是：若 的定义域为 ，则由 确定 的范围即为 的定义域。 例2. 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为________。 解：由 ，得 所以 ，故填 三、已知 的定义域，求 的定义域。 其解法是：可先由 定义域求得 的定义域，再由 的定义域求得 的定义域。 例3. 函数 定义域是 ，则 的定义域是（ ） A. B. C. D. 解：先求 的定义域 的定义域是 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，即 的定义域是 再求 的定义域 EMBED Equation.3 的定义域是 ，故应选A 四、运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。 例4. 已知函数 的定义域是 ，求 的定义域。 解：由已知，有 ，即 函数的定义域由确定 总之，因为抽象函数与函数的单调性、奇偶性等众多性质联系紧密，加上本身的抽象性、多变性，所以问题类型众多，解题方法复杂多变.尽管如此，以特殊模型代替抽象函数帮助解题或理解题意，是一种行之有效的教学方法，它能解决中学数学中大多数抽象函数问题.这样做符合学生的年龄特征和认知水平，学生不仅便于理解和接受，感到实在可靠，而且能使学生展开丰富的想象，以解决另外的抽象函数问题. 1 _1234568017.unknown _1234568081.unknown _1234568113.unknown _1234568145.unknown _1234568161.unknown _1234568169.unknown _1234568177.unknown _1234568181.unknown _1234568183.unknown _1234568185.unknown _1234568186.unknown _1234568187.unknown _1234568184.unknown _1234568182.unknown _1234568179.unknown _1234568180.unknown _1234568178.unknown _1234568173.unknown _1234568175.unknown _1234568176.unknown _1234568174.unknown _1234568171.unknown _1234568172.unknown _1234568170.unknown _1234568165.unknown _1234568167.unknown _1234568168.unknown _1234568166.unknown _1234568163.unknown _1234568164.unknown _1234568162.unknown _1234568153.unknown _1234568157.unknown _1234568159.unknown _1234568160.unknown _1234568158.unknown _1234568155.unknown _1234568156.unknown _1234568154.unknown _1234568149.unknown _1234568151.unknown _1234568152.unknown _1234568150.unknown _1234568147.unknown _1234568148.unknown _1234568146.unknown _1234568129.unknown _1234568137.unknown _1234568141.unknown _1234568143.unknown _1234568144.unknown _1234568142.unknown _1234568139.unknown _1234568140.unknown _1234568138.unknown _1234568133.unknown _1234568135.unknown _1234568136.unknown _1234568134.unknown _1234568131.unknown _1234568132.unknown _1234568130.unknown _1234568121.unknown _1234568125.unknown _1234568127.unknown _1234568128.unknown _1234568126.unknown _1234568123.unknown _1234568124.unknown _1234568122.unknown _1234568117.unknown _1234568119.unknown _1234568120.unknown _1234568118.unknown _1234568115.unknown _1234568116.unknown _1234568114.unknown _1234568097.unknown _1234568105.unknown _1234568109.unknown _1234568111.unknown _1234568112.unknown _1234568110.unknown _1234568107.unknown _1234568108.unknown _1234568106.unknown _1234568101.unknown _1234568103.unknown _1234568104.unknown _1234568102.unknown _1234568099.unknown _1234568100.unknown _1234568098.unknown _1234568089.unknown _1234568093.unknown _1234568095.unknown _1234568096.unknown _1234568094.unknown _1234568091.unknown _1234568092.unknown _1234568090.unknown _1234568085.unknown _1234568087.unknown _1234568088.unknown _1234568086.unknown _1234568083.unknown _1234568084.unknown _1234568082.unknown _1234568049.unknown _1234568065.unknown _1234568073.unknown _1234568077.unknown _1234568079.unknown _1234568080.unknown _1234568078.unknown _1234568075.unknown _1234568076.unknown _1234568074.unknown _1234568069.unknown _1234568071.unknown _1234568072.unknown _1234568070.unknown _1234568067.unknown _1234568068.unknown _1234568066.unknown _1234568057.unknown _1234568061.unknown _1234568063.unknown _1234568064.unknown _1234568062.unknown 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