01曲线与方程2

nullnull第六周作业： 本上作业 P38 -练习B-3 P42-A-2 P43-B-2 补充：第七周作业： 本上作业 P47 -A-2,6 P51-A-1 P57-习题A-2null第六、七周（3月28日—4月9日）练习册上作业 2.1.1 A 2,3,6,7,10,11(2),12 B 9,11(1) 2.1.2 A 3,4,6,7,8,11 B 9 12 2.2.1（1） A 1,3-9,11 B 12 2.2.1（2） A 2-6,8-11 2.2.2(1) A 1-10 B 11,12 2.2.2(2) A,1-9,10 B 9，12 nullnull解答:(1)、(2)、(4)不可以；(3)可以问题二：到两坐标轴距离相等的点的集合（或轨迹）能否说是方程：x – y = 0?null点M曲线C几何意义坐标（x，y）方程F（x，y）=0代数意义？直角坐标系建立以后，平面上的点(M)与实数对(x,y)建立了一一对应关系，点运动形成了曲线C；与之对应的实数对的变化就形成了方程F(x,y)=0.这样在曲线和方程之间就形成了某种对应关系.null一般的，在直角坐标系中，如果某曲线 C（看 作是适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点 与一个二元方程 F（x，y）=0的实数解建立了 如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；则这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程 的曲线.定 义null说明 （1）第一点表示曲线具有纯粹性，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，即曲线上所有点都适合这个条件，毫无例外；（2）第二点说明曲线具有完备性，阐明适合条件的所有点都在曲线上，毫无遗漏；（3）曲线与方程建立了上述严格的对应关系后，两者就成为同一运动规律在“形”和“数”这两个不同方面的反映，曲线的性质完全地反映在它的方程上，方程的性质，又反映在它的曲线上.因此我们可以通过方程研究曲线，也可以利用曲线研究方程.null例1： 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 圆心为坐标原点半径为5的圆的方程是x2+y2=25，并判断点M1(3，-4)、M2 ( ，2)是否在这个圆上.证明某方程F(x，y)=0是曲线C的方程，从两方面入手①曲线上任意一点的坐标满足方程；②方程上任意一解为坐标的点在曲线上证明：①设M(x0，y0)是圆上任意一点∵M与(0,0)距离等于5，即|MO|=5即圆上点的坐标满足方程x2+y2=25.∴M(x0,y0)与(0,0)距离等于5，即M(x0,y0)在以(0,0)为圆心，5为半径的圆上.综上：命题得证.null例2：求到点A(-1,-1)、B(3,7)距离相等的点的轨迹方程.解：设M(x,y)为所求轨迹上任意一点.则点M集合为P={M||MA|=|MB|}整理得：x+2y-7=0证明：①由求方程的过程可知线段AB垂直平分线上的每一点的坐标都是方程(1)的解.(1)②设点M1的坐标为(x1,y1)，其是方程(1)的解.即x1+2y1-7=0∴x1=7-2y1点M1到A、B距离分别为：∴|M1A|=|M1B|,即点M1在AB中垂线上综上，所求为x+2y-7=0←动点的几何意义↑几何条件代数化因框以上内容均可逆，故可省略证明null求曲线方程的步骤1.建立适当的坐标系，设出曲线上任意一点M的坐标（x，y）；2.写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}；3.用坐标表示条件P（M），列出方程F(x，y)=0；4.化方程F(x，y)=0为最简形式；5.证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.null例3：已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.例4：已知点A(2，0)，点B(-1，2)，点C在直线：2x+y-3=0上运动，求ΔABC的重心G的轨迹.答案：x2=8y(x≠0)变式：此题若去掉“在x轴上方”，则有何改变？答案：x2=8y或x=0（y<0）说明：①求轨迹问题时要注意动点运动的情况，以避免轨迹不全或多出不符合条件的点； ②解决例4的方法称为坐标转移法：即动点随另一动点的运动而运动（称另一动点为其相关点）时，我们用动点坐标表示出相关点，利用相关点方程得出所求.null例5.过定点A（a，b），作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交y轴于点P，若l2交x轴于点Q，求线段PQ的中点M的轨迹方程.例6.求曲线xy-y-1=0关于直线x+y-5=0对称的曲线方程.例7.求到定点A的距离的平方与到定点B的距离的平方之差为常数 k的点的轨迹.null5解一：设直线l1的斜率为k.直线l2的斜率为-1/k.则直线l1：y-b=k(x-a)则直线l2：y-b=-1/k(x-a)当x=0时，得P(0,b-ka)；当y=0时，得Q(a+kb,0)设M(x,y)，由M为中点，得2ax+2by-a2-b2=0 (3)②当k=0时，P(0,b)、Q(a,0)，则M(a/2,b/2)经验证M(a/2,b/2)满足(3)∴PQ中点M的轨迹方程为2ax+2by-a2-b2=0.①当k≠0时，要注意对k的讨论null∴P(0,2y),Q(2x,0)∵直线l1⊥l2，且两线均过点(a,b)①当x≠a/2时，由kPA·kQA=-15解二：设M(x,y)，由M为中点，P、Q分别在y、x轴整理得到：2ax+2by-a2-b2=0 (3)②当x=a/2时，则M(a/2,b/2)经验证M(a/2,b/2)满足(3)∴PQ中点M的轨迹方程为2ax+2by-a2-b2=0.5解三：设M(x,y)，由M为PQ中点， ∴P(0,2y),Q(2x,0)null∴P(0,2y),Q(2x,0)∵直线l1⊥l2，且两线均过点(a,b)5解四：设M(x,y)，由M为中点，P、Q分别在y、x轴整理得到：2ax+2by-a2-b2=0∴PQ中点M的轨迹方程为2ax+2by-a2-b2=0.5解五：设M(x,y)，M为PQ中点∵直线PA⊥QA，且OP⊥OQ∴|OM|=|MA|若此题规定a>0且b>0，则结果有否变化？x≥0且y≥0，null解：设M(x，y)是所求曲线上任意一点则M关于x+y-5=0的对称点为M1(x1，y1)则M1在已知曲线上，即x1y1-y1-1=0又M与M1关于直线x+y-5=0对称∴(5-y)(5-x)-(5-x)-1=0∴所求曲线方程为(5-x)(4-y)-1=0例6.求曲线xy-y-1=0关于直线x+y-5=0对称的曲线方程.null设轨迹上任意一点P(x,y)7.解：建立如图直角坐标系设定点A(x1,y1)，B(x2,y2)，∵点P满足集合M={P||PA|2-|PB|2=k}∴(x-x1)2+(y-y1)2-(x-x2)2-(y-y2)2=k整理得：2(x2-x1)x+2(y2-y1)y+(x12-x22+y12-y22-k)=0 (*)∴所求轨迹为以(*)为方程的一条直线.(二)以A为原点，AB为x轴正半轴建立如图直角坐标系设|AB|=2a(a>0)，…∴方程为4ax-4a2-k=0(三)以AB中点O为原点，AB所在直线为x轴建立如图直角坐标系，|AB|=a(a>0).…∴方程为4ax-k=0*恰当建系null例8.设m∈R,求两条直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0交点P的轨迹方程.例9.求过点A(2,0)的直线且与曲线y=x2交于不同的两点M、N的连线段的中点P的轨迹方程.null8解一：设l1与l2交点为P(x，y)∴所求轨迹方程为x-y+2=0（x≠-3）∵两直线相交的条件为：m2-2m-3≠0∴m≠3且m≠-1∴x≠-3∴消参数m后为：x-y+2=08解二：设l1与l2交点为P(x，y)得到：-m(3y+4)=-9y-12∴m=3若x+3y+6=0，则x=-3y-6，将其代入上方程组中(2)式∵两直线相交的条件为：m2-2m-3≠0知m≠3∴舍∴所求轨迹方程为x-y+2=0（x≠-3）null9、解：设过点A与曲线y=x2交于不同两点M、N的直线l的斜率为k，则l：y=k(x-2)设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=k，y1+y2=k(x1-2)+k(x2-2)