缓和曲线要素公式的精度分析

缓和曲线要素公式的精度 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 覃 � 辉 (广东省科技干部学院建筑 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 系 � 广东�珠海 � 519090) 提� 要 � 现有的缓和曲线要素计算公式是取三角级数展开项中的前 3 项推导而得, 国内公开出版的所有公路勘测 设计书刊都是使用这些公式。由于各等级公路与高速公路主线的设计 �值一般较小,三角级数展开中忽略掉的第 4 项也比较小,可以忽略不计,但高速公路匝道的设计 �值通常较大, 忽略三角级数展开项中的第 4 项将导致缓和 曲线要素计算误差偏大。该文推导了取至三角级数展开项前 4 项的缓和曲线要素计算公式, 分析了设计�值对缓 和曲线要素计算误差的影响,用几个典型案例验证了新公式的正确性。 关键词 � 回旋线 � 回旋线坐标 � 切线增量 � 内移值 Precision Analysis of Spiral Elements Formulae Qin Hui ( Architectural Engineering Department, Guangdong Science and Technology Inst itute) Abstract � The existing spiral elements formulae are from intercepting the front three item of a trigonal series extended, which have been used in all publishing books and periodicals in China about reconnaissance and de� sign of road. For as much as the �of main route of grading road and speedway is usually too small, the omitted fourth item on the trigonal series extended is also too small, but the � of ramp of speedway is usually bigger, omitted the item will bring bigger errors in the spiral elements. This paper reduces new spiral elements formu� lae adding the fourth item on the exist ing formulae, and analyzes that computing errors of spiral elements are influenced by the their �. which are accurate and effective. Keywords � spiral; spiral coordinate; tangent increment ; inner move 基金项目:广东省教育厅资助项目 ( 2006036) , 普通高等教育 十一 五!国家级规划教材建设项目( 703)。 作者简介:覃辉( 1962- ) ,男,教授、硕士,主要从事测量计算、成图与 放样的数字化研究。 收稿日期: 2008- 08- 14 1 � 问题的提出 我国公路设计使用回旋线作为缓和曲线[ 1] , 如 图 1所示。回旋线的几何意义是: 曲线上任意点的 曲率半径 �与该点至起点的曲线长 l成反比。曲线 方程为 �= A 2 l ( 1) 式中, A 为回旋线参数。设回旋线终点 HY 的曲线 长为L h , 曲率半径为 R ,代入式( 1)求得回旋线参数 为 A = RLh ( 2) � � 当道路曲线包含有回旋线时, 设计应给出回旋 线参数 A 与圆曲线半径R , 回旋线长 L h 可依据( 2) 式求得。回旋线上任意点 P 在独立坐标系 ZH - x∀ - y∀的坐标计算公式为 x∀ = l - l 5 40A 4 + l 9 3456A 8 y∀ = l3 6A 2 - l 7 336A 6 + l 11 42240A 10 ( 3) 圆曲线内移值 p 与切线增量 q 的计算公式为 p = L 2 h 24R q = Lh 2 - L 3 h 240R 2 ( 4) 切线长 T = ( R + p ) tan 2 + q ( 5) 式中, L h 为缓和曲线长, 为交点转角。式( 3)与式 ( 4)即为国内绝大部分道路勘测设计图书资料[ 2~ 4] 及测量学 [ 5] 教材上使用的回旋线要素计算公式。其 18� � � � � � � � � � � � � � � � � � 勘 � 察 � 科 � 学 � 技 � 术 � � � � � � � � � � � 2009年第 3期 中 x∀坐标公式忽略了 l 13以上项, y∀坐标公式忽略了 l 15以上项,圆曲线内移值 p 忽略了L 4h 以上项, 切线 增量 q 忽略了L5h 以上项。 图 1� 回旋线要素计算原理 拓普康与南方测绘NTS- 660系列全站仪具有 道路曲线中边桩坐标计算功能, 机载软件使用的计 算公式即为式( 1) ~ 式( 4) , 中边桩坐标计算方法有 交点法与元素法 [ 5, 6]。 � � 交点法与元素法都需要缓和曲线参数 A 与圆 曲线半径 R ,其余所需已知数据的差异为:交点法需 要 JD 点桩号及坐标、后 ZD 点坐标、前 ZD 点坐标 或交点转角,计算顺序为切线长 T、ZH、HZ、HY、YH 及逐桩点桩号与坐标, 计算切线长 T 时, 需要用到 切线增量 q 及内移值 p ; 元素法需要后 ZD 点桩号、 坐标、切线方位角及后 ZD 点至ZH 点的平距。 图 2为某对称基本型平曲线, 其设计参数标于 图上。分别用交点法与元素法计算出的曲线数据与 主点坐标列于 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 1。 图 2� 对称基本型平曲线案例 表 1� 交点法与元素法计算案例结果比较 元素 元素值�m 主点 桩号 交点法 元素法 主点坐标差 x�m y�m x�m y�m !x�m !y�m L h 125. 000 ZH K 1+ 383. 411 1904. 854 2631. 677 1904. 854 2631. 677 0. 000 0. 000 p 3. 617 HY K 1+ 508. 411 1979. 803 2730. 879 1979. 803 2730. 879 0. 000 0. 000 q 62. 249 YH K 1+ 657. 966 1979. 803 2876. 169 1979. 803 2876. 168 0. 000 0. 001 T 237. 697 HZ K 1+ 782. 966 1904. 853 2975. 390 1904. 854 2975. 370 - 0. 001 0. 020 � � 两种方法计算出的HZ 点y 坐标相差2cm,这是 因为, 交点法是用 JD 点坐标、切线长 T 及JD # ZD 2 的方位角计算 HZ 点的坐标, 影响其计算误差的只 有切线长 T ; 而元素法是按 ZD 1 # ZH #H Y # YH # HZ 的顺序计算HZ 点的坐标,其计算误差受切线长 T 及两次使用坐标公式( 3)的影响,这种计算误差来 源于式( 3)与式( 4)忽略掉的高次项。 众所周知, 在距离测站 200m 范围内, 全站仪放 样的点位相对精度可以轻松地达到 mm级, cm 级的 坐标计算误差显然是不允许的,因此,推导坐标计算 精度为 mm级的缓和曲线要素计算公式, 对于提高 全站仪路线坐标计算精度有重要的现实意义。 2 � 回旋线要素的精确计算公式 2�1 � 缓和曲线坐标计算公式 将式( 2)代入式( 1) ,得 �= RLh l ( 6) � � 设回旋线上任意点 P 的曲率半径为 �, 其偏离 纵轴 y∀的角度为∀(也称回旋线在 P 点的切线角) , 微分弧长为 dl ,则回旋线的微分方程为 dl = �d∀ ( 7) 顾及式( 1)可得 d∀= dl�= lA 2 dl ,求积分得 ∀= l 2 2A 2 ( 8) � � 显然,在 ZH 点, l= 0, 代入式( 8)求得 ∀0= 0;在 HY 点, l= Lh ,代入式( 8)求得 ∀h = L 2 h 2RLh = Lh 2R ( 9) � � 回旋线上细部点坐标的计算一般在图 1的独 立坐标系中进行。设回旋线上任意点 P 的坐标为 x∀, y∀, 则微分弧长 dl 在坐标轴上的投影为 dx∀ = dlcos∀ dy∀ = dlsin∀ ( 10) 将式( 7)代入式( 10)得 192009年第 3期 � � � � � � � � � � � � 勘 � 察 � 科 � 学 � 技 � 术 � � � � � � � � � � � � � � � � � dx∀= �cos∀d∀ dy∀= �sin∀d∀ ( 11) 由式( 8)求得 l= A 2∀,代入式( 1)得 �= A 2 A 2∀ = A 2∀ ( 12) 将式( 12)代入式( 11)得 dx∀ = A 2∀cos∀d∀ dy∀ = A 2∀sin∀d∀ ( 13) 将式中的 sin∀、cos∀以三角级数表示为 sin∀= ∀- ∀3 3! + ∀5 5! - ∀7 7! + ∃= � � � ∀- ∀36 + ∀ 5 120 - ∀7 5040 + ∃ cos∀= 1 - ∀2 2! + ∀4 4! - ∀6 6! + ∃= � � � � 1- ∀2 2 + ∀4 24 - ∀6 720 + ∃ ( 14) 将式( 14)代入式( 13)积分, 经整理后得 x∀= l - l 5 40A 4 + l 9 3456A 8 - l 13 599040A 12 y∀= l 3 6A 2 - l 7 336A 6 + l 11 42240A 10 - l 15 9676800A 14 ( 15) � � 比较式( 3)与式( 14)可知, x∀坐标公式增加了 l 13 项, y∀坐标公式增加了 l 15项。将 l= L h 代入式( 15) 得 HY 点的坐标为 x∀HY = Lh - L 3 h 40R 2 + L 5 h 3456R 4 - L 7 h 599040R 6 y∀HY = L 2 h 6R - L 4 h 336R 3 + L 6 h 42240R 5 - L 8 h 9676800R 7 ( 16) 2�2 � 圆曲线内移值与切线增量的计算公式 由图1可写出圆曲线内移值 p 与切线增量 q 的 计算公式为 p = y∀HY - R ( 1- cos∀h ) q = x∀HY - R sin∀h ( 17) 将式( 16)、式( 14)代入式( 17) ,整理后得 p = L 2 h 24R - L 4 h 2688R 3 q = Lh 2 - L 3 h 240R 2 + L 5 h 34560R 4 ( 18) � � 比较式( 4)与式( 18)可知, p 的计算公式增加了 L 4 h 项, q 的公式增加了L 5h 项。使用式( 16)与式( 18) 编写交点法与元素法计算程序,重新计算图 2所示 案例的结果列于表 2。表 2的结果表明, 分别使用 交点法与元素法计算的 HZ 点坐标最大只差 1mm, 从而验证了式( 15)与式( 18)是正确的。 表 2� 使用式( 16)与式( 17)的交点法与元素法案例结果比较 元素 元素值�m 主点 桩号 交点法 元素法 主点坐标差 x�m y�m x�m y�m !x�m !y�m L h 125. 000 ZH K 1+ 383. 426 1904. 864 2631. 688 1904. 864 2631�688 0�000 0�000 p 3�601 HY K 1+ 508�426 1979�813 2730�889 1979�813 2730�890 - 0�001 0�000 q 62�250 YH K 1+ 657�980 1979�813 2876�179 1979�813 2876�179 0�000 0�001 T 237�682 HZ K 1+ 782�980 1904�863 2975�380 1904�864 2975�380 0�001 0�000 � � 表3列出了分别使用新旧公式计算出的图 2基本型平曲线的 p、q、T 值及其对主点桩号的影响。 表 3 � 高次项对缓和曲线要素的影响(案例数据) 元素 元素值�m式( 3) , ( 4) 式( 15) , ( 18) 差�m 主点 主点桩号 式( 3) , ( 4) 式( 15) , (18) 差�m p 3�617 3�601 0�016 ZH K 1+ 383�411 K 1+ 383�426 - 0�015 q 62�249 62�250 - 0�001 HY K 1+ 508�411 K 1+ 508�426 - 0�015 T 237�697 237�682 0�015 YH K 1+ 657�966 K 1+ 657�980 - 0�014 HZ K 1+ 782�966 K 1+ 782�980 - 0�014 � � 由于图 2所示案例的路线转角 R= 87%23∀36&, 接近 90%, tan 2 = 0�9555, 式( 5)的切线长 T= 0�9555 ( R+ p ) + q ,虽然 q 值差只有- 0�001m, 但 p 值差 0�016m却以 95�55%影响到了切线长T , 使得 T 值 差为 0�015m。由于 ZH 点桩号ZZH = ZJD - T , 后续 主点的桩号又是根据 ZZH的值计算的,因此 T 值差 0�015m使得四个主点的桩号都减小了 0�015。 20� � � � � � � � � � � � � � � � � � 勘 � 察 � 科 � 学 � 技 � 术 � � � � � � � � � � � 2009年第 3期 3 � 缓和曲线设计参数对缓和曲线要素的影响 � � 在式( 16)中,令 !x∀HY = - L 7 h 599040R 6 = - Lh 599040 Lh R 6 = - Lh�6 599040 !y∀HY = - L 8 h 9676800R 7 = - Lh 9676800 Lh R 7 = - Lh�7 9676800 (19) 式中, �= Lh R 。在式( 18)中, 令 !p = - L 4 h 2688R 3 = - Lh�3 2688 !q = L 5 h 34560R 4 = - Lh�4 34560 ( 20) 对式( 5)取全微分,应用误差传播定律得 !T = tan 2 2!2p + !2q ( 21) � � 由式( 19)与式( 20)可知, 忽略掉的高次项, 对缓 和曲线要素的影响与缓和曲线长 Lh 与圆曲线半径 R 的比值 �及缓和曲线长Lh 有关, 当曲线 �、L h 值 较小时,高次项对缓和曲线要素的影响也小。 表 4列出了高次项对3个路线曲线要素的影响 值,其规律是:高速公路的 �值一般较小, 高次项对 曲线要素的影响也小; 低等级公路的 �值一般较 大,高次项对曲线要素的影响也大。 表 5列出了高次项对4个匝道曲线要素的影响 值。由于只能使用元素法计算匝道曲线的中边桩坐 标,不能使用交点法, !p、!q 与 !T 的值不会对中边 桩坐标的计算产生影响, 坐标计算误差仅仅来源于 !x∀与 !y∀,其中 !x∀HY与!y∀HY为最大影响值。 表 4� 高次项对路线曲线要素计算的影响 案例 设计参数 � L h�m !x∀HY�m !y∀HY�m !p�m !q�m !T�m 案例 1 图 1 A = 150 R= 180 = 87%23∀36& 0�69444 125 - 2�3∋ 10- 5 - 1�0∋ 10- 6 - 0�0156 - 8�4∋ 10- 4 0�0149 案例 2 文献[ 1] P 253 A = 54�772 R= 60 = 52%39∀48& 0�83333 50 - 2�8∋ 10- 5 - 1�4∋ 10- 6 - 0. 011 7. 0∋ 10- 4 0. 0054 案例 3 广珠西线高速 K 5+ 312. 68683 A = 660 R= 1800 = 40%28∀36& 0. 13444 242 - 2. 4∋ 10- 9 - 2. 0∋ 10- 11 - 2. 2∋ 10- 4 2. 3∋ 10- 6 - 8. 1∋ 10- 5 表 5� 高次项对匝道曲线要素计算的影响 案例 设计参数 � L h�m !x∀HY�m !y∀HY�m !p�m !q�m 案例 1 广珠西线高速 禹山立交 P2 匝道 A = 45 R= 34 1. 75173 59. 559 - 0. 003 - 3. 1∋ 10- 4 - 0. 119 0. 016 案例 2 广珠西线高速 禹山立交Q h 匝道 A = 90 R= 70 1. 65306 115. 714 - 0. 004 - 4. 0∋ 10- 4 - 0. 194 0. 025 案例 3 湖南宜凤高速 梅田立交 A匝道 A = 100 R= 110 0. 82645 90. 909 - 4. 8∋ 10- 5 - 2. 5∋ 10- 6 - 0. 019 0. 001 案例 4 湖南宜凤高速 梅田立交 B匝道 A = 90, R= 55 2. 67769 147. 273 - 0. 091 - 0. 015 - 1. 052 0. 219 � � 表 5 的结果表明, 案例 4匝道曲线的 �值较 大,其 !x∀HY与 !y∀HY的值已接近 dm 级, 这是不能允 许的, 因此, 在设计与放样匝道曲线时, 应考虑高次 项的影响。 4 � 结束语 在测量放样方法为经纬仪加钢尺的年代, 由于 测量放样误差较大, 计算工具落后,在当时的教材与 设计资料中,都是使用式( 3)与式( 4)计算缓和曲线 要素,这些公式一直延续使用到了21世纪。进入21 世纪, 随着计算技术的发展与全站仪应用的日益普 及,使道路曲线逐桩点的放样基本都是使用全站仪 坐标法。它要求根据道路曲线的设计参数精确计算 逐桩点的坐标,这就需要使用能与全站仪坐标放样 精度相匹配的缓和曲线要素计算公式。本文推导了 在式( 3)与式( 4)增加一项高次项的曲线要素计算公 式( 15)与( 18) , 并用一系列典型道路曲线设计参数 验证了增加一项高次项是必要的, 并将这些新公式 编入最新出版的系列规划教材[ 8~ 10]中,以期提高 我国公路设计与施工放样的精确性。 (下转第56页) 212009年第 3期 � � � � � � � � � � � � 勘 � 察 � 科 � 学 � 技 � 术 � � � � � � � � � � � � � � � � � 图3 � 优化后观测网元素示意 表 3� 优化前后可靠性指标 项目 初始 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 优化方案 多余观 测量 内部可靠性指标 边长�mm 方向�(&) 多余观 测量 内部可靠性指标 边长�mm 方向�(&) 全网 整体 666 72 平均 0. 92 0. 56 整体 353 34 边长 平均 0. 977 4. 18 0. 79 4. 72 最大 0. 99 4. 24 0. 87 5. 25 最小 0. 95 4. 15 0. 62 4. 43 整体 313 38 水平 平均 0. 868 4. 45 0. 44 6. 32 方向 最大 0. 94 4. 26 0. 68 8. 05 最小 0. 48 5. 97 0. 26 5. 00 � � 根据该优化后方案进行了实际观测,其中角度观 测8个测回,结果显示最弱点 3号点的点位中误差为 0. 8mm,与设计精度相当,说明优化设计结果可靠。 6 � 结论 苏通大桥上部结构主梁施工几何控制法,要求 对钢箱梁预制阶段进行精密的几何形态数据采集, 从而需要建立精密的几何形态采集基准网。由于控 制网控制范围小、精度要求高, 而且重复观测等, 必 须对基准网进行优化设计。通过优化实践得出以下 结论。 1) 根据基准网的实际需要,在优化设计阶段必 须综合考虑精度、可靠性、经济性三种指标,在满足 精度与可靠性指标下, 尽量降低建网的成本。 2) 由于基准网平均边长较短, 点位的变化、点 间的连接对控制网的质量有较大影响, 因此对该基 准网的设计主要考虑网形与权的设计是可行的。 3) 通过建立基于 Taylor 级数的一二类联合优 化设计模型, 获得的该基准网的优化设计结果可用 于指导实际生产, 从而为各轮钢箱梁预制几何形态 数据采集提供可靠的基准。 参考文献 1� 彭先进. 测量控制网的优化设计. 武汉: 武汉测绘科技大 学出版社, 1991 2� 黄维彬. 近代平差理论及其应用. 北京: 解放军出版社, 1992 3� 张正禄, 罗年学,黄全义, 梅文胜.一种基于可靠性的工程 控制网优化设计新方法. 武汉大学学报 (信息科学版 ) , 2001, ( 04) 4� 岳东杰. 变形监测网二级优化设计研究. 水力发电学报, 1999, ( 2) (上接第 21页) 参考文献 1 � JTG B01- 2003 � 公路工程技术标准 2� 刘旭吾.互通式立交线形设计与施工. 北京:人民交通出 版社, 1997 3 � 张廷楷,张金水. 道路勘测设计. 上海: 同济大学出版社, 1998 4 � 孙家驷.道路设计资料集. 北京:人民交通出版社, 2001 5 � 覃辉主编.土木工程测量. 上海:同济大学出版社, 2004 6� 覃辉, 徐卫东,任沂军编著. 测量程序与新型全站仪的应 用(第 2版) .北京: 机械工业出版社, 2007 7� JTJ061- 99� 公路勘测规范 8� 覃辉, 马德富,熊友谊编著. 测量学. 北京: 中国建筑工业 出版社, 2007 9� 覃辉, 伍鑫, 唐平英, 余代俊编著. 土木工程测量 (第 3 版) .上海: 同济大学出版社, 2008 10� 覃辉, 曹凯滨编著. 工程测量 (第 2 版 ) . 上海: 同济大学 出版社, 2008 56� � � � � � � � � � � � � � � � � � 勘 � 察 � 科 � 学 � 技 � 术 � � � � � � � � � � � 2009年第 3期