《信息检测与估计》试卷2007－期末考试参考答案

武汉大学 2007 — 2008 学年度第 一 学期 《信号检测与估计 》 试卷 学院 专业 班 学号 姓名 分数 “On my honor as a student I have neither given nor received any help for this assignment/test” Signature: 1.试简要描述下述概念（25分） a. 最佳线性无偏估计； 限制估计量为观测数据的线性 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 ，并求解无偏且具有最小方差的线性估计量的方法。 估计量为观测数据的线性函数：$ 1 0 [ ] N n n a x n    无偏： $[ ]E   $var( ) 最小 b. 最小均方误差估计； 根基贝叶斯准则，使均方误差 $ $ 2( ) [( ) ]mse E    最小的估计，也称条件均值估计。估计量 为后验概率密度函数的均值，$ ( / )E X  。 根据贝叶斯估计： ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) p X p p X p p X p X p X p d            c. 纽曼－皮尔逊准则； 对于一个给定的虚警 FAP  ,使检测概率 DP 最大的判决为： 1 0 ( ; ) ( ) ( ; ) P X H L X P X H   其中门限 由 { : ( ) } 0( ; )FA x L xP P x H   求出。 d. 最大后验概率检测准则； 当代价为 00 11 01 100 1C C C C    时，使错误概率最小的贝叶斯检测器在 1 0 ( | ) 1 ( | ) P X H P X H  时，判 1H 成立。 即：如果 1 0( | ) ( | )P X H P X H 我们判 1H 成立。 称为最大后验概率检测准则。 e. 接收机工作特性。 检测器检测性能的一种方法是画出 DP ， FAP ，信噪比和判决门限的关系曲线。曲线上每一点对 应于给定门限 的（ DP , FAP ）值。当 增加时， FAP 减小，但 DP 也同样减小，反之亦然。此类性能 被称为接收机工作特性。 2. 某信号接收机当前接收到的 5个数据为{0,1,4,9,16}，（10分） a. 如果信号模型为 s[n]=An2+Bn+C (n=0,1,„,N-1),试用最小二乘估计方法求信号模型参数 [ ]A B Cθ ； b. 假设接收数据服从正态分布，试用矩方法估计其参数。 解答： a. 根据最小二乘估计方法，要求： 4 2 0 ( [ ] [ ]) i x n s n   （1） 最小。 由于： s[n]=An 2 +Bn+C (n=0,1,„,N-1) x[n]= {0,1,4,9,16} 带入（1）式并求其最小值，可得： 1 0A B C   此时，（1）式最小，为 0。 因而： $ [ ] [1 0 0]A B C   b. 如果接收数据服从正态分布，我们只需要估计出均值和方差 2 。 有正态分布的性质知道，一，二阶理论矩为： 2 2 2 ( ) ( ) E X E X       一，二阶样本矩为 4 1 0 4 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 [ ] (0+1+4+9+16) 6 5 5 1 1 [ ] (0 +1 +4 +9 +16 ) 70.8 5 5 i i L x n L x n           根据矩估计方法，理论矩等于样本矩，因而： µ 1 2 2 2 ˆ 6 ˆ 70.8 L L         可以求得： 2 ˆ 6 ˆ 34.8     3. 某种电子器件有效工作时间 t的分布为 0 ( ) 0 0 te t f t t       若采集了 N 次实验数据，同一类型电子器件在同样工作条件下所得有效工作时间分别为 1 2, , , NT T TL ，求  的最大似然估计。（15分） 解答： 从题目可以知道，似然函数为 1 1 ( ; ) exp( ) exp( ) N n n N N n n P T T T              两边取对数 1 ( , ) ln ( ; ) ln N n n L T P T N T         求导数 1 ( , ) 0 N n n L T N T           那么 的MLE 为 1 N n n N T     ) 4. 如果观测数据 [ ]( 0,1, , 1)x n n N L 具有 PDF 2 22 1 1 ( [ ] | ) exp ( [ ] ) 22 p x n x n           在给定的条件下， [ ]x n 是相互独立的。均值 具有先验 PDF 20 0( , )N   ，求 的最小均 方误差和最大后验估计量。另外，当 2 0 0  和 2 0 时将发生什么情况。（20分） 解答： 均值的后验概率为 ( | ) ( ) ( | ) ( | ) ( ) p X u p u p u X p X u p u du   对于分母来说，为定值，一般不作考虑。故而后验概率可以 写成如下形式 1 2 2 02 22 2 0 00 ( | ) ( | ) ( ) 1 1 1 1 exp ( [ ] ) exp ( ) 2 22 2 N N n p u X p X u p u x n u u u                            两边取对数求导如下： 1 02 2 0 0 ln ( | ) ( ) 2 2 ( [ ] ) ( ) 0 2 2 N n p X u p u x n u u u u             所以得到u的 MAP 估计 2 2 0 02 2 2 2 0 0 ˆ Nu x u N N           因为 x和u为联合高斯分布，所以 MMSE估计和 MAP 估计等效[教材 P290]。所以 MMSE 估计和MAP 估计相等。 当 20 0  时，先验概率决定了数据的后验概率。而当 2 0 时，先验概率相当于均匀 分布，而此时后验概率等于似然概率。 5. 在假设 0H 和 1H 下，若观测信号 x 的 概率密度函数分别如图 1(a),(b)所示 ,已知先验概率 0 1( ) 0.3, ( ) 0.7P H P H  。试 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 采用最小平均错误概率准则的检测器，并说明它是如何实现判 决的。（20分） 图 1. 0H 和 1H 下观测信号 x的 概率密度函数 解答：两个假设下观测信号的概率密度函数分别为 1 2 1 0 2 ( 1), 1 ( | ) ( 1), 1 0, x x p x H x x others            （注意要满足概率的归一性原理） 和 1 1/ 2, 1 1 ( | ) 0, x p x H others       似然比函数为 1 0 , 1 1( | ) ( ) 0, 1, 1( | ) xp x H x x xp x H            似然比检测门限为 0 1 ( ) 3 ( ) 7 P H P H    由似然比检验得判决结果： 检验统计量 ( )l x x 1 0 , 1 ( ) 1 , ( ) 1, ( ) 1 H l x H l x l x        成立 成立 检测器结果如下图所示： 取 6. 【线性调频（LFM）脉冲压缩雷达的工作原理】雷达发射机的任务是产生符合要求的雷达波形 （Radar Waveform），然后经馈线和收发开关由发射天线辐射出去，遇到目标后，电磁波一部分反射， 经接收天线和收发开关由接收机接收，对雷达回波信号做适当的处理就可以获知目标的相关信息。 假设理想点目标与雷达的相对距离为 R，为了探测这个目标，雷达发射信号 ( )s t ,电磁波以光速C向 x x -1 0 1 -1 0 1 0.5 p(x|H0) p(x|H1) (a) (b) 取绝对值 判决器 x 1 H1成立 H0成立 <1 =1 四周传播，经过时间R C后电磁波到达目标，照射到目标上的电磁波可写成： ( ) R s t C  。电磁波与 目标相互作用，一部分电磁波被目标散射，被反射的电磁波为 ( ) R s t C    ，其中 为目标的雷达散 射截面（Radar Cross Section ,简称 RCS），反映目标对电磁波的散射能力。再经过时间R C后，被雷 达接收天线接收的信号为 ( 2 ) R s t C    。如果将雷达天线和目标看作一个系统，便得到一个 LTI（线 性时不变）系统。等效 LTI系统的冲击响应可写成: 1 ( ) ( ) M i i i h t t      M 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示目标的个数， i 是目标散射特性， i 是光速在雷达与目标之间往返一次的时间， 2 i i R c   上式中 iR 为第 i个目标与雷达的相对距离。雷达发射信号 ( )s t 经过该 LTI系统，得输出信号(即雷达 的回波信号) ( )rs t ： 1 1 ( ) ( )* ( ) ( )* ( ) ( ) M M r i i i i i i s t s t h t s t t s t             那么，怎样从雷达回波信号 ( )rs t 提取出表征目标特性的 i (表征相对距离)和 i (表征目标反射特性) 呢？试说明匹配滤波器的原理，并推导让 ( )rs t 通过雷达发射信号 ( )s t 的匹配滤波器的滤波输出 ( )os t （10分）。 解答：让 ( )rs t 通过雷达发射信号 ( )s t 的匹配滤波器，如下图。 0 图 2：雷达回波信号处理 ( )s t 的匹配滤波器 ( )rh t 为： *( ) ( )rh t s t  于是， *( ) ( ) * ( ) ( ) * ( ) * ( )o r rs t s t h t s t s t h t   对上式进行傅立叶变换： * 2 ( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) | ( ) oS jw S jw S jw H jw S jw H jw   如果选取合适的 ( )s t ，使它的幅频特性 | ( ) |S jw 为常数，那么上式可写为： ( ) ( )oS jw kH jw 其傅立叶反变换为： 1 ( ) ( ) ( ) M o i i i s t kh t k t       ( )os t 中包含目标的特征信息 i 和 i 。从 ( )os t 中可以得到目标个数M和每个目标相对雷达的距离： 2 i i c R  这也是线性调频（LFM）脉冲压缩雷达的工作原理。