伯努利方程

伯努利方程一览 前面我们已经知道了伯努利方程以及它的推导，下面是不可压无粘流动情况下的 推导。推导过程遵循 Kuethe&Chow 提出的思路（比 Anderson 的思路更好）。1 从无粘不可压缩动量方程开始 1u u u p t ρ ∂ + ⋅∇ = − ∇∂ v v v 用另一个等同的矢量方程表示： ( )321 rrrrr r 涡量, 2 2 1 ω uuuuu ×∇×−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛∇=∇⋅ ⇒ 进行最后一次变换： 两个普通的应用： 1. 定常无旋流动 321 r 定常 0=∂ ∂ t u 321 r 无旋 0=ω 21 0 2 p uρ⎛ ⎞⇒∇ + =⎜ ⎟⎝ ⎠ v ⇒ 1Kuethe 与 Chow,5thEd.Sec3.3-3.5 21 1 2 u u p u t ωρ ∂ ⎛ ⎞+∇ + ∇ = ×⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ v vv v 21 2 up u u t ρ ρ ω ρ ∂⎛ ⎞∇ + = × −⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ vvv v 21 2 p uρ+ =v 常数（流动全过程） _________________________ 2.定常有旋流动 321 r 定常 0=∂ ∂ t u 321 r 有旋 0≠ω 21 2 p u uρ ρ ω⎛ ⎞⇒∇ + = ×⎜ ⎟⎝ ⎠ vv v 该式为矢量形式。如果将它与流线方向矢量点乘： us u ≡ ← vv v 流线方向矢量 ( ) ( ) 2 0, 2 1 2 1 0 2 u u s p u s u d p u ds ω ρ ρ ω ρ = × ⊥ ⎛ ⎞⇒ •∇ + = • ×⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⇒ + =⎜ ⎟⎝ ⎠ vv v vv v v v 14243 v ⇒ 涡面元法 2 第一步：将机翼表面用涡面元替换 第二步：面元上布置未知强度的奇点 在本例中，布置一系列涡，涡强度随这些节点线性变化： 对于点涡在坐标原点的情况： 1tan 2 2 y x φ θπ π −Γ Γ ⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟⎝ ⎠ 2Kuethe 与 Chow,5thEd.Sec.5.10 21 2 p uρ+ =v 常数（沿流线方向） 原始机翼 m 个面元（m+1 个节点） _________________________ 点涡在（ xˆ， yˆ）处的情况： 1 ˆtan ˆ2 y y x x φ π −Γ −⎛ ⎞= − ⎜ ⎟−⎝ ⎠ 对于任意面元： 任意 js 处，放置涡强为 ( )js dsγ 的涡： ( ) 1 ˆ( ), tan ˆ2 j j j s ds y y d x y x x γφ π − ⎛ ⎞−⇒ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ 其中 ( ) ( ) 1 1 ˆ ˆ j j j j j j j j j j j j s x x x x S s y y y y S + + ≡ + − ≡ + − 因此，面元 j 上任意 ( ),x y 处的势函数为： 假定在每个面元上γ 呈线性变化： 对于此类面元，我们有 m+1 个未知数= 1, 2, 3, 1, , 1m m mγ γ γ γ γ γ− + ，因此我们需要 m+1 个 涡强 j j中间节点为（x ,y） 放大视图 ( ) 1 0 ˆ( ) , tan ˆ2 js j j j j s y y x y ds x x γφ π − ⎛ ⎞−≡ − ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠∫ ( ) ( )1 jj j j j j s s S γ γ γ γ+= + − 方程式。 第三步：使流动在面元的居中点处相切 下一步是在机翼翼面进行边界条件的强制近似。为此，使流动在面元居中点处与 翼面相切。 面元法术语：控制点。在控制点处，强迫 0u n• =v v 条件满足。 为此，需要知道每个控制点的势函数与速度。 势函数有如下形式： ( ) ∑+= 面元数 独立面元势函数无穷远来流势函数φ 假定无穷远来流倾角为α ： 边界条件为 ( ), 0, 1i i i x y i m n φ∂ = = →∂ 其中 进一步有： ( ) ( ) ( ) 1 0 0 , ˆ , cos sin tan 0 ˆ2 j i i Sm j j i i i jj i j x yi i j S y y x y V i j n ds n n x x γφ α α π − ∞ = ⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞−∂ ∂⎪ ⎪⎢ ⎥= + • − =⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∂ ∂ −⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭ ∑ ∫v v v14444244443 14444444244444443结果面板 表面的自由流动速度 面板 检测点处面板的速度 ( ) ( ) ( ) 0 ˆ ˆ tan 2 sincos, i 0 0 , 1 i = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − ∂ ∂−⋅+=∂ ∂ ∑ ∫ = − ∞ 4444444 34444444 21 444 3444 21 rrr 面元上的诱导法向速度面元在 表面的法向分量无穷远来流在面元 j m j S yxj j i j iii j j ii ds xx yy n s njiVyx n π γααφ 另外，已知 ( ) ( )1 jj j j j j s s S γ γ γ γ+= + − 。 把上式的积分简化为： ( ) 44 344 21 面元控制点的影响节点对面元上 ij 121 0 , 1 1 ˆ ˆ tan 2 jC jnjn S yxj j i j ijn ijij j ii CCds xx yy n s = + − += ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − ∂ ∂∫ γγπ γ 上式中， 1ijn jC γ =j 面元上的 j 节点对 i 面元的诱导法向速度。 2ijn C =j 面元上 j+1 节点对 i 面元控制点的影响 ⇒ j 面元对 i 面元的总诱导速度法向分量= 121 ++ jnjn ijij CC γγ 下面来看控制点的法向速度 ( ) ( ) ( ) 1 1 0 ˆ , cos cos tan ˆ2 jSm j j j j S y y x y V x y ds x x γφ α α π − ∞ = ⎛ ⎞−= + − ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ ∫ 对于面元 i，切向流动可以表示为： ( ) ( )1 2 1 1 cos sin ij ij i m n j n j i j V n C C V i j nγ γ α α ∞ + ∞ = + = + •∑ v v v14444244443，其中 1i m= → 可将此式写成 m+1 个未知数的 m 个方程。 问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：如何寻找第 m+1 个方程？ 第四步：应用 Kutta 条件 我们需要将利用 Kutta 条件来关联未知涡量强度 jγ 。为此，考虑涡面元的一部分。 取一微元体 ds ∫ ⋅−= sdu rrΓ 已知： [ ]2 2 1 1ds V dn U ds V dn U dsγ⇒ = − − − + ( ) ( )1 2 1 2V V dn U U ds= − − − 令 & 0dn ds→ ： ( )1 2 2 1 0 , dn ds U U ds U U U U γ γ γ → = − − = − = −顶部 底部 ， 或 ，一般情况下 其中，Kutta 条件 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 在 TE 中U U=顶部 底部： 对于涡面元方法，即： 第五步：建立方程组并求解 { 3214444 34444 21 rr rr rr n n n n VI V V V I I I I I III II III minu inu inu ∞ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⋅ ⋅ −= ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⋅ ⋅ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ==⋅ ==⋅ ==⋅ ∞ ∞ ∞ 010001 0 20 10 8 2 1 9 8 3 2 1 81 71 61 51 41 333231 2221 191211 γ γ γ γ γ γ 库塔条件 当 当 当 其中 ijI =节点 j 对控制点 i 的影响 例如： 37 3637 1 2n n I C C= + 问题因此简化为 bAx = ，或 n∞= VIγ ， 求解得到矢量γ 的值！ 第六步：后处理 最后的步骤是通过后处理，得到作用于机翼上的压力与升力值。 'L V V dsρ ρ γ∞ ∞= Γ = ∫� 机翼 因此，根据本文的方法，可以简化为： ( )' 1 1 1 2 m i i i i L V Sρ γ γ∞ + = = +∑ . . 0,t e Kuttaγ = 条件 1 1 0mγ γ ++ = 节点 控制点 ⇒ 涡面元法 小结 学校三防设施建设情况幼儿园教研工作小结高血压知识讲座小结防范电信网络诈骗宣传幼儿园师德小结 实践中，涡面元法在机翼中的应用相比其在城市风环境问题中的应用有一定的差 异。总结如下： 第一步：将机翼转换为面元 注：机翼后缘点计算两次⇒因此有 m+1 个点，m 个面元。 第二步：面元上布置强度线性变化的奇点 有 m+1 个未知数： 1, 2, 3, , 1m mγ γ γ γ γ +………… 第三步：使流动在面元的居中点处相切 每个面元的中心节点处 0u n• =v v 第四步：应用 Kutta 条件 Kutta 条件变为： . . 0t eγ = ⇒ ⇒ ( ) ( )1 jj j j j j s s S γ γ γ γ+= + − ' 1 2 11 2 m i i i l i SLC V V cV c γ γ ρ + = ∞ ∞∞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ⇒ m 个方程 1 1 0mγ γ ++ = 1 1m m+ +个方程式与 个未知数