null5.3 二阶微分方程5.3 二阶微分方程主要
内容
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1.可降阶的二阶微分方程
2.二阶常系数线性微分方程一、可降阶的二阶微分方程 一、可降阶的二阶微分方程 这类二阶微分方程的特点是，经过适当的变换将二阶微分方程化为一阶微分方程，然后用前一节介绍的方法来求解． 下面介绍三种可降阶的二阶微分方程的解法.null就得到一个一阶微分方程，即 两边再积分，即连续积分两次就能得到方程（1）的通解． 只要连续积分n次，即可得到含有n个任意常数的通解．null例1 解 对所给的方程连续积分三次，得 这就是所求方程的通解．null因而方程(3)就变为 这是一个关于变量 x , p 的一阶微分方程，可以用前一节所介绍的方法求解．null例2 解 这是关于 p 的一阶线性非齐次微分方程．因为从而所求微分方程的通解为null例3 解 代入方程并分离变量后， 得两端积分，得 再积分，得 null为了求出它的解， 利用复合函数的求导法则， 于是方程(4)就变为 这是一个关于变量 y , p 的一阶微分方程 .设它的通解为 分离变量并积分，得方程(4)的通解为 null例4 解 方程不显含自变量 x ， 代入方程，得 那么约去 p 并分离变量，得两端积分并进行化简，得 再一次分离变量并积分，得 显然它也满足原方程． 如果p0，如果P = 0，那么立刻可得 y = C，null例5 解 两边积分，得 即为所求的满足初始条件的特解．二、二阶常系数线性微分方程二、二阶常系数线性微分方程定义１ 下面来讨论二阶常系数线性微分方程的解法．方程(5)叫做二阶常系数线性微分方程．方程(5)叫做二阶常系数线性非齐次微分方程.null1．二阶常系数线性齐次微分方程的通解
定理
三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理
1 这个定理
表
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明了线性齐次微分方程的解具有叠加性． null那么在什么情况下(7)式才是(6)式的通解呢？ 为了解决这个问题，下面给出函数线性相关与线性无关的定义：null二阶常系数线性齐次微分方程(6)的通解结构定理：由此可知，求二阶常系数线性齐次微分方程(6)的通解，定理2null反之，若r是方程(8)的一个根， 特征方程的根称为特征根． 方程(8)是以 r为未知数的二次方程，我们把它称为微分方程(6)的特征方程，null特征根是一元二次方程的根，因此它有三种不同的情况：(1)特征根是两个不相等的实根r1≠ r2 ，且线性无关，因此方程(2)的通解为:(2)特征根是两个相等的实根 r1= r2 ，且线性无关，所以方程(6)的通解为：(3)特征根是一对共轭复根r1,2=α±βi ，但这两个解含有复数，且它们线性无关．null例6 解 所给方程的特征方程为 null例 7 解 为确定满足初始条件的特解，对 y 求导，得null例8 解 null综上所述， (3) 根据两个特征根的不同情况，按照下表写出微分方程(6)的通解：三、二阶常系数线性非齐次微分方程的通解三、二阶常系数线性非齐次微分方程的通解定理3 Y是与方程（5）对应的齐次方程（6）的通解，那么 由这个定理可知：求二阶常系数线性非齐次微分方程的通解，归结为求对应的齐次方程null它的一个特解也是一个多项式与指数函数的乘积， k是一个整数． null例9 解 null代入原方程，化简得比较等式两边同类项的系数，有因此，原方程的特解为 于是原方程的通解为null它的一个特解的形式为 注意：当二阶微分方程的特征方程有复数根时，决不会出现重根，所以在这里与前一种情形不一样，k不可能等于2． null例10 解 所以可设方程的特解为求导数，得 代入原方程，得比较上式两边同类项的系数，得于是，原方程的特解为 四、
小结
学校三防设施建设情况幼儿园教研工作小结高血压知识讲座小结防范电信网络诈骗宣传幼儿园师德小结
作业4.二阶常系数线性齐次微分方程解法．5.二阶常系数线性非齐次微分方程解法.习题5.3 第一次2（1）（2）
第二次4（3）（5）5（3）（4）四、小结
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