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高等数学中求极限的常用方法

高等数学中求极限的常用方法高等数学中求极限的常用方法王烂漫! （长沙通讯职业技术学院，湖南长沙!"##"$）摘要：极限概念是高等数学中最重要、最基本的概念，掌握求极限的方法是学好高等数学的基础；本文介绍了七种常用求极限的方法。关键词：数列的极限；函数的极限；连续；等价无穷小；罗必塔法则中图分类号：%"&" 文献标识码：’ 文章编号："(&")""*+（,##,）#-)##&,)#$ 极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的，例如：我国古代数学家刘徽（公元-世纪），利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法...

高等数学中求极限的常用方法王烂漫! （长沙通讯职业技术学院，湖南长沙!"##"$）摘要：极限概念是高等数学中最重要、最基本的概念，掌握求极限的方法是学好高等数学的基础；本文介绍了七种常用求极限的方法。关键词：数列的极限；函数的极限；连续；等价无穷小；罗必塔法则中图分类号：%"&" 文献标识码：’ 文章编号："(&")""*+（,##,）#-)##&,)#$ 极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的，例如：我国古代数学家刘徽（公元-世纪），利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法 ———割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为!"；再作内接正十二边形，其面积记为!,；再作内接正二十四边形，其面积记为!-；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正(",#$"边形的面积记为 !#（#!%）这样，就得到一系列内接正多边形的面积： !"，!,，!-⋯⋯!#⋯⋯ 它们构成一列有序实数，当#越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以!#作为圆面积的近似值也越精确。但是无论#取得如何大，只要#取定了，!#终究只是多边形的面积，而不是圆的面积，因此，我们将#无限增大，即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时，!#也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积。这个确定的数值在数学上称为上面这列有序实数!"，!,⋯⋯!#⋯⋯ 当 #".时的极限，在求圆面积的问题中，我们看到正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法。极限的概念已成为高等数学中最基本、最重要的概念，是微积分理论的基础。由于高等数学中的许多重要概念，如连续、导数、微分和积分等都要用极限概念来表达，有些运算方法是建立在极限概念基础上，因此掌握极限概念的理论和求极限的方法，对学习高等数学来说是非常重要的。在讲授极限的概念时，我们分为数列的极限和函数的极限，什么是数列的极限呢？如果对于任意给定的，不论多么小的正数"，总存在正整数%，使得对于##%时的一切&#，不等式 &#$’ $" 都成立，则称常数’为数列｛&#｝当#无限增大时的极限记/01 (". &#)’ 什么是函数的极限呢？其实，数列是自变量为# 的函数&#)*（#），是一种特殊的函数，我们把数列极限概念中，函数为*（#）而自变量的变化过程中 #".等特殊性撇开，就可以得到函数极限的一般概念，（"）设函数*（(）在点(#的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数"（无论多么少），总存在正数 #，使得对于适合不等式 # $ ($(# $#的一切(，对应的函数值*（(）都满足不等式 *（(）$+ $" 那么常数+就称为函数*（(）当("(#时的极限，记作： /01 ("(# *（(）)+ （,）设函数*（(）当 ( 大于某一正数时有定义，如果对于任意给定的正数"（不论多么小），总存在正数&，使得对于适合不等式 ( #&的一切(，对应的函数值*（(）都满足不等式 *（(）$+ $" 第",卷第-期 ,##,年*月湖南工程学院学报 234567/3894676:6;<0<4<=38>6?06==506? @3"A",AB3A- C=D%,,%?，45")3） 9:&’7,8’：2"#":&’)&8@:"(:58#’(:"#@’A:3):3);B3("&&’)&8@:"):585"658A#3:58#3:"&(C758B3("(’D!83A)E ")65"658A#3:58#3:"&("(:’#3(:8A:58F3<(’D8G3!93:")6:58!"#":C75"(@3@8A"):A’;9&8((8G8)#’(:-")-9(8 F3<(")8G3!93:")6!"#":C ;$-<"7=&：)9#B8A3AA3 论文邢家省.郭秀兰.朱建设.Xing Jiasheng.Guo Xiulan.Zhu Jianshe 应用函数列的极限理论和累次极限对累次积分换序的处理 -河南科学2009,27(1) 应用函数列的极限与函数的极限交换次序定理及累次极限的理论,证明了黎曼可积函数列积分的极限定理,给出了累次积分的换序定理和二元连续函数的可积性的一种证明方法. 2.期刊论文翟秀娜.张文治.ZHAI Xiu-na.ZHANG Wen-zhi 托布利兹(Toeplite)定理的推广 -数学的实践与认识 2006,36(8) 托布利兹(Toeplite)定理是数学分析中证明和计算数列极奶的有效工具.将托布利兹(Toeplite)定理推广到函数情形,为证明和计算一类函数的极限提供了一种方法.实例表明利用托布利兹(Toeplite)定理的推广证明和计算某类函数的极限和某些数列的极限,比用传统的数学分析方法更简便. 3.期刊论文邢家省.张愿章.朱建设.Xing Jiasheng.Zhang Yuanzhang.Zhu Jianshe 累次极限交换次序定理和混合偏导数交换次序定理 -河南科学2008,26(10) 应用函数列的极限与函数的极限交换次序定理,研究了二元函数的二重极限与它的两个累次极限的关系定理,研究了二元函数的两个二阶混合偏导数可交换次序定理. 4.期刊论文黄美初.Huang Meichu 函数极限计算的几种重要方法 -南京广播电视大学学报2003(2) 极限是学习微积分的基础,是整个高等数学的基础,因而极限掌握的好坏直接影响到以后的学习.极限包括两类:数列的极限和函数的极限,其中函数的极限更为重要.本文对函数极限的求法作出了较为详细的归类总结,重点举例分析其中几种重要方法. 5.期刊论文罗铁山.王荣.LUO Tie-shan.WANG Rong "单调有界函数必有极限"吗? -唐山学院学报2007,20(4) 由"单调有界数列必有极限"不能得到"单调有界函数必有极限"的结论,因为数列的极限过程是确定的,而函数的极限过程则是多种多样的. 6.期刊论文胡莹晶.吴玉海.HU Ying-jing.WU Yu-hai 关于数列{Γ(n+1/2)/√nΓ(n/2)}+∞n=1的极限 -大学数学 2008,24(6) 用单调有界定理证明了数列{Γ(n+1/2)/√nΓ(n/2)}+∞n=1的奇子列和偶子列极限的存在性,并给出了该数列的极限为1/√2.本文所得结果对帮助学生更好理解概率统计论中t分布密度函数的极限函数的证明有一定指导作用. 7.期刊论文杨维珍无穷小的等价代换在求lim n→∞n∑m=1f(amn)型极限的应用 -黔东南民族师范高等专科学校学报2006,24(3) 给出一个无穷小等价代换有关的定理,并利用它求解一类函数列的极限,拓宽求函数列极限的方法. 8.期刊论文毕淑娟.曹辉.马玉秋定义在复数上的复模糊值函数 -数学的实践与认识2009,39(12) 把所有的关于y轴对称的模糊数都定义为零模糊数,则两个相同的模糊数的差为零,利用^a-r+^ar+这样一个数值来描述模糊数的序关系,就可以得到关于纵向对称的模糊数都是等同的.在此基础之上对实模糊数的模糊距离及极限进行了研究.并研究了复模糊数的距离与复模糊数列的极限以及复模糊值函数的极限.将研究的复模糊值函数是定义在复数集C上取值于F(C)(所有的复模糊数的集合)中的复模糊数的函数.在新的序关系意义下讨论复模糊值函数的极限,并讨论复模糊值函数的收敛性质及Cauchy收敛判别法等. 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_hngcxyxb-zr200203021.aspx 下载时间：2009年11月2日

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