线性空间ppt课件

第六章线性空间*§2线性空间的定义与简单性质　　　§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和*主要内容子空间的交第六节子空间的交与和子空间的和子空间的交与和的性质例题子空间的交与和的维数*一、子空间的交1.定义定义1设V1,V2是线性空间V的两个子空间,称V1∩V2={|V1且V2}为V1,V2的交.*2.性质定理1如果V1,V2是线性空间V的两个子空间,那么它们的交V1∩V2也是V的子空间.证明首先，由0V1，0V2，可知0V1∩V2，因而V1∩V2是非空的.其次，如果,V1∩V2,即,V1，而且,V2，+V1，+V2，对数量乘积可以同样地证明.所以V1∩V2是V的子空间.证毕那么因此+V1∩V2.*3.子空间的交的运算规律1)交换律V1∩V2=V2∩V1；2)结合律(V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3).*二、子空间的和1.定义定义2设V1,V2是线性空间V的两个子空间,所谓V1与V2的和，是指由所有能 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成1+2，而1V1，2V2的向量组成的子集合，记作V1+V2，即V1+V2={|=1+2,1V1,2V2}*2.性质定理2如果V1,V2是线性空间V的两个子空间，那么它们的和V1+V2也是V的子空间.证明首先，V1+V2显然是非空的.其次如果,V1+V2,即=1+2,1V1,2V2,=1+2,1V1,2V2,那么+=(1+1)+(2+2).*又因为V1,V2是子空间，故有1+1V1，2+2V2.因此+V1+V2.同样，k=k1+k2V1+V2.所以，V1+V2是V的子空间.证毕*3.子空间的和的运算规律1)交换律V1+V2=V2+V1；2)结合律(V1+V2)+V3=V1+(V2+V3).*1)V的两子空间的并集注意：有证明：*2）V的两子空间的并集未必为V的子空间.皆为R3的子空间，但是它们的并集并不是R3的子空间.因为它对R3的运算不封闭，如但是例如*三、子空间的交与和的性质性质1设V1,V2,W都是子空间，那么由WV1与WV2可推出WV1∩V2；而由WV1与WV2可推出WV1+V2.性质2对于子空间V1,V2,以下三个论断是等价的：1)V1V2；2)V1∩V2=V1；3)V1+V2=V2.*性质3设V1,V2,W都是子空间，W∩V1=W∩V2，若W+V1=W+V2，V1=V2.则V1V2，*四、例题例1设V1=L(1,2),V2=L(1,3)是R3两个不同的2维子空间，求V1∩V2和V1+V2，并指它们的几何意义.解因为V1和V2是两个不同的子空间，所以1,2,3线性无关，从而V1=V2与题设矛盾.于是由子空间的交与和的定义可得V1∩V2=L(1)，V1+V2=L(1,2,3)=R3.否则3可由1,2线性表示*其几何意义是：V1=L(1,2)是向量1,2所确定的平面，的平面，是整个3维空间.如图6-6所示.V2=L(1,3)是向量1,3所确定V1∩V2是这两个平面的交线，V1+V2*xoyz123V1V2图6-6例2设V1,V2分别是R3过原点的直线和平面(直线不在平面上)上的全体向量构成的子空间，求V1∩V2和V1+V2，并指它们的几何意义.解由定义容易求得V1∩V2={0}，V1+V2=L(1,2,3)=R3.其几何意义如图6-7所示*V1V2123xoyz图6-7例3设V1,V2分别是P3中齐次方程组*的解空间，那么V1∩V2就是齐次方程组的解空间.*1）L(1,2,…,s)+L(1,2,…,t)=L(1,…,s,1,…,t)；五、子空间的交与和的维数（维数公式）2）L(1,2,…,s)∩L(1,2,…,t)定理3两组向量，则*****关于子空间的交与和的维数，有以下定理.定理4(维数公式)如果V1,V2是线性空间V的两个子空间，那么维(V1)+维(V2)=维(V1+V2)+维(V1∩V2).*证明设V1,V2的维数分别是s,t,V1∩V2的维数是m.取V1∩V2的一组基1,2,…,m.如果m=0，这个基是空集，下面的讨论中1,2,…,m不出现，但讨论同样能进行.由它可以扩充成V1的一组基1,2,…,m,1,…,s-m,也可以扩充成V2的一组基1,2,…,m,1,…,t-m.*定理设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间，1,2,…,m是W的一组基,那么这组向量必定可扩充为整个空间的基.也就说在V中必定可以找到n-m个向量m+1,m+2,…,n，使得1,2,…,n是V的基.我们来证明，向量组1,2,…,m,1,…,s-m,1,…,t-m是V1+V2的一组基.这样，V1+V2的维数就等于s+t-m,因而维数公式成立.因为V1=L(1,2,…,m,1,…,s-m),V2=L(1,2,…,m,1,…,t-m).所以V1+V2=L(1,…,m,1,…,s-m,1,…,t-m).*现在来证明向量组1,2,…,m,1,…,s-m,1,…,t-m是线性无关的.假设有等式k11+k22+…+kmm+p11+p22+…+ps-ms-m+q11+q22+…+qt-mt-m=0.令=k11+…+kmm+p11+…+ps-ms-m=-q11-q22-…-qt-mt-m.*=k11+…+kmm+p11+…+ps-ms-m由=-q11-q22-…-qt-mt-m由可知，V1；可知，V2.于是V1∩V2，即可以被1,2,…,m线性表示.令=l11+…+lmm,则l11+…+lmm+q11+…+qt-mt-m=0.由于1,…,m,1,…,t-m线性无关，所以l1=…=lm=q1=…=qt-m=0,因而=0.从而有*k11+…+kmm+p11+…+ps-ms-m=0.由于1,…,m,1,…,s-m线性无关，又得k1=…=km=p1=…=ps-m=0.这就证明了1,2,…,m,1,…,s-m,1,…,t-m线性无关，式成立.证毕因而它是V1+V2的一组基，故维数公*注意：从维数公式可知*子空间的和的维数往往比子空间的维数的和要小.　例如，在R3中，设子空间*从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小.例如，在三维几何空间中，两张通过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其维数之和却等于4.由此说明这两张平面的交是一维的直线.*推论如果n维线性空间V中两个子空间V1,V2的维数之和大于n,那么V1,V2必含有非零的公共向量.证明由假设维(V1+V2)+维(V1∩V2)=维(V1)+维(V2)>n.但因V1+V2是V的子空间而有维(V1+V2)n,所以维(V1∩V2)>0.这就是说，V1∩V2中含有非零向量.证毕*小结　1.子空间的交2.子空间的和3.子空间的交与和的性质4.子空间的交与和的维数*1.在　　中，令练习　**因为，*所以，*2.设V=P4，V1=L(1,2,3)，V2=L(1,2)，其中求V1,V2,V1∩V2,V1+V2的维数与基.*解因为V1+V2=L(1,2,3)+L(1,2)=L(1,2,3,1,2),所以向量组1,2,3,1,2的一个极大无关组就是V1+V2的一组基.把向量组1,2,3,1,2中的每个向量作为矩阵的一列，构造矩阵A，对A进行初等行变换，化成行最简形：*行变换*由A的行最简形矩阵1,2,1线性无关，且2=1-32+41.于是1,2,1是V1+V2的一组基，维(V1+V2)=3；1,2是V1的一组基，维(V1)=2；1,2是V2的一组基，维(V2)=2.*由2=1-32+41得1-32=-41+2=(-4,-5,7,6)V1∩V2.因为维(V1∩V2)=维(V1)+维(V2)-维(V1+V2)=2+2-3=1.于是(-4,-5,7,6)是V1∩V2的一组基.设向量组1,2,3,1,2中每个向量表示3维空间中的一个平面，则V1,V2分别表示如图6-8中所示的直线,V1+V2为整个空间,V1∩V2为两直线所确定的平面.*xoyz12312V1=L(1,2,3)V2=L(1,2)图6-8*①与②思考题　*③的解空间.证：设方程组①,②,③分别为*即*作业　P27018.(3)　*