三角函数的图像与性质-中等难度-讲义

三角函数的图像与性质知识讲解一、三角函数的性质1.三角函数的图象y=sinxxy=cosxy=tanx2.函数的图像与函数图像的关系振幅变换：的图像，可以看成是图像上所有点的纵坐标都伸长或缩短到原来的倍（横坐标不变）而得到的．周期变换：的图像，可以看成是的图像上各点的横坐标都缩短或伸长到原点的倍（纵坐标不变）而得到的，由于的图像得到的图像主要有下列两种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：3.三角函数的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 有界性 有界函数 有界函数 无界函数 无界函数 周期性 单调性 最值 ;， ;， 无 无 对称轴 无 无 对称点 典型例题一．选择题（共9小题）1．（2018•西安二模）函数f（x）=3sin（﹣2x）﹣2单调增区间为（　　）A．[2kπ﹣π，2kπ﹣]（k∈Z） B．[2kπ﹣，2kπ﹣]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） D．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）【解答】解：f（x）=3sin（﹣2x）﹣2，=﹣3sin（2x﹣）﹣2．令：（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数的单调递增区间为：[]（k∈Z），故选：D．　2．（2017春•莲湖区校级期中）下列不等式中正确的是（　　）A．sinπ＞sinπ B．tanπ＞tan（﹣）C．sin（﹣）＞sin（﹣） D．cos（﹣π）＞cos（﹣π）【解答】解：对于选项A：sin=sin（π﹣）=sin，sin=sin（π﹣）=sin，∵0＜＜＜，∴sin＜sin，∴选项A错误；对于选项B：tan=tan（2π﹣）=﹣tan，∵tan（﹣）=﹣tan，∵＜，∴tan＜tan，∴﹣tan＞﹣tan，∴选项B正确；对于选项C：sin（﹣）=﹣sin＜sin（﹣）=﹣sin，∴选项C错误；对于选项D：cos（﹣）=cos=cos（π﹣）=﹣cos＜0，cos（﹣）=cos=cos（2π+）=cos＞0，∴选项D错误；综上，只有选项B正确；故选：B．　3．（2018•陕西二模）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（　　）A．关于点（，0）对称 B．关于点（，0）对称C．关于直线x=对称 D．关于直线x=对称【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，即，∴ω=2．∴f（x）=sin（2x+），对于A和C：当x=时，∴f（）=sin（2×+）=1，∴A不对，C对．对于B：当x=时，∴f（）=sin（2×+）=，∴B不对．对于D：：当x=时，∴f（）=sin（2×+）=0，∴D不对．故选：C．　4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（　　）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，C当x=时，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D错误，故选：D．　5．（2017•诸城市模拟）若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（　　）A． B． C． D．【解答】解：∵sin（2×+φ）=±1，∴φ=kπ+，k∈Z，又∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），当x∈（﹣，﹣），2x+∈（﹣，﹣π），区间内有唯一对称轴x=﹣，∵x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），∴x1，x2关于x=﹣对称，即x1+x2=﹣π，∴f（x1+x2）=．故选：C．　6．（2017•汉中一模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，其中A（﹣，0），B（，0），则函数f（x）的单调增区间为（　　）A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z） B．[+kπ，+kπ]（k∈Z）C．[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z） D．[+2kπ，+2kπ]（k∈Z）【解答】解：由图象可知，最高点为2，最低点为﹣2，可得A=2，图象过A（﹣，0），B（，0），AB直接的距离是半个周期．∴T=，即T=π．∴=2．∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+φ）．将B点代入，可得：2sin（+φ）=0．得：φ=kπ，k∈Z．∵|φ|＜π∴φ=或，取φ=．，得函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x）．而f（0）=2sin（）＜0从图象可得f（0）＞0，∴φ=，得函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）．由2k2x，k∈Z．解得：kπ≤x≤kπ﹣，k∈Z．故选：A．　7．（2017春•宝塔区期中）函数的值域是（　　）A．[﹣1，1] B． C． D．【解答】解：≤x≤时，≤sinx≤1，∴函数的值域是[，1]．故选：D．　8．（2017春•宝塔区期中）函数y=sinx的一个递减区间是（　　）A．（0，π） B． C． D．（π，2π）【解答】解：函数y=sinx的递减区间是[+2kπ，+2kπ]，k∈Z；∴[，]是函数y=sinx的一个递减区间．故选：B．　9．（2016•静宁县一模）函数y=sin（﹣2x）的单调增区间是（　　）A．，]（k∈z） B．，]（k∈z）C．，]（k∈z） D．，]（k∈z）【解答】解：y=sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣）令，k∈Z解得，k∈Z函数的递增区间是，]（k∈Z）故选：D．　二．填空题（共4小题）10．（2017春•未央区校级期中）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为　0　．【解答】解：令cosx=t，则t∈[﹣1，1]，换元可得y=t2﹣3t+2，由二次函数的知识可知：函数y=t2﹣3t+2在t∈[﹣1，1]单调递减，∴当t=1时，函数取最小值ymin=1﹣3+2=0故答案为：0　11．（2017春•西安月考）函数y=3﹣2sinx的单调递增区间为　[+2kπ，+2kπ]（k∈z）　．【解答】解：正弦函数y=sinx的单调减区间是：[+2kπ，+2kπ]，k∈Z；∴函数y=3﹣2sinx的单调递增区间是：[+2kπ，+2kπ]，k∈Z．故答案为：[+2kπ，+2kπ]，k∈Z．　12．（2017秋•长安区校级月考）函数的单调递减区间为　[kπ﹣，kπ+]，k∈z　．【解答】解：由于函数=﹣sin（2x﹣），本题即求函数t=sin（2x﹣）的增区间．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，故答案为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．　13．（2017秋•长安区校级月考）函数y=sin2x+sinx﹣1的值域为　　．【解答】解：令t=sinx，则﹣1≤t≤1y=t2+t﹣1=﹣∴函数在[﹣1，﹣]上单调减，在[﹣，1]上单调增∴t=﹣时，函数取得最小值为﹣，t=1时，函数确定最大值1∴函数y=sin2x+sinx﹣1的值域为故答案为　三．解答题（共1小题）14．（2015秋•阿勒泰市月考）已知函数y=acos（2x+）+3，x∈[0，]的最大值为4，求实数a的值．【解答】解：∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴﹣1≤cos（2x+）≤．当a＞0，故当cos（2x+）=时，y取得最大值a+3．∴a+3=4，∴a=2．当a＜0，当cos（2x+）=﹣1时，y取得最大值为﹣a+3=4，∴a=﹣1，综上可知，实数a的值为2或﹣1．