2019年最新江苏省高三第四次模拟考试：数学试卷及答案解析

江苏省高三第四次模拟测试数学试题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合，是整数集，则▲．2．若复数满足（为虚数单位），则▲．3．命题“”的否定▲．4．已知中，，则边的长度为▲．5．下面是一个算法的伪代码．如果输出的y值是20，则输入的x值是▲．6．在区间内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是▲．7．在三棱锥中，、、两两垂直，且，则三棱锥的体积为▲．8．已知且为锐角，则▲．9．在平面直角坐标系中，如果直线将圆平分，且不经过第四象限，那么的斜率的取值范围是▲．10．已知等边中，若，，且，则实数的值为▲．11．设双曲线的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两点，如果是等边三角形，则双曲线的离心率是▲．12．设函数，若关于的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围为▲．13．已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且（）．若不等式对任意恒成立，则实数的最小值为▲．14．已知函数在O、A两点处取得极值，其中O是坐标原点，A在曲线上，则曲线的切线斜率的最大值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知向量，EMBEDEquation.DSMT4，记函数．若函数的周期为4，且经过点．（1）求的值；（2）当时，求函数的最值．16．（本小题满分14分）在三棱锥P－SBC中，A，D分别为边SB，SC的中点，且PA⊥BC．（1）求证：平面PSB平面ABCD；（2）若平面PAD平面，求证：．17．（本小题满分14分）某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为元（其中为常数，且）．设该工厂黑色水笔的出厂价为元/百支（），根据市场调查，日销售量与成反比例，当每百支水笔的出厂价为元时，日销售量为10万支．（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润最大，并求的最大值．（2）已知工厂日利润达到元才能保证工厂的盈利．若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费最多为多少元？（精确到元）18．（本小题满分16分）已知椭圆的长轴长为4，椭圆的离心率为．设点M是椭圆上不在坐标轴上的任意一点，过点M的直线分别交轴、轴于A、B两点上，且满足．（1）求证：线段AB的长是一定值；（2）若点N是点M关于原点的对称点，一过原点O且与直线AB平行的直线与椭圆交于P、Q两点（如图），求四边形MPNQ面积的最大值，并求出此时直线MN的斜率．19．（本小题满分16分）数列是公差为的等差数列，它的前项和记为，数列是公比为EMBEDEquation.DSMT4的等比数列，它的前项和记为．若，且存在不小于的正整数，使．（1）若，，，，求．（2）若，，试比较与的大小，并说明理由；（3）若，是否存在整数，使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数．（1）求函数的单调递减区间；（2）当时，的最小值是，求实数的值；（3）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由．数学试题Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）21（B）．（本小题满分10分）已知矩阵，若矩阵属于特征值3的一个特征向量为，求该矩阵的另一个特征值．21（C）．（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，极轴与轴的非负半轴重合）中，圆的方程为．若直线被圆截得的弦长为，求实数的值．22．（本小题满分10分）长时间上网严重影响着学生的健康，某校为了解甲、乙两班学生上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周上网时长作为样本，统计数据如下： 甲班 10 12 15 18 24 36 乙班 12 16 22 26 28 38如果学生平均每周上网的时长超过19小时，则称为“过度上网”．（1）从甲班的样本中有放回地抽取3个数据，求恰有1个数据为“过度上网”的概率；（2）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度上网”的学生人数为，写出的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）已知．（1）若，求中含项的系数；（2）证明：．数学试题Ⅰ参考答案一、填空题1．{0,1}2．3．“”4．5．2或66．7．18．9．10．11．212．13．14．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．解：（1）………………………4分由题意得：周期，故……………………6分（2）∵图象过点，即，而，故，则．……………………10分当时，EMBEDEquation.DSMT4当时，，当时，．……………………14分16．证：（1）A，D分别为边SB，SC的中点，且且EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4即EMBEDEquation.DSMT4……………………3分，，、平面平面平面∴平面PSB平面ABCD……………………7分（2），平面，平面平面……………………10分平面，平面PAD平面……………………14分17．解：（1）设日销量为，则EMBEDEquation.DSMT4．则日售量为EMBEDEquation.DSMT4日利润．即，其中．………………3分令得．当时，当时，．当时，取最大值，最大值为．………………5分当时，，函数在上单调递增，在上单调递减．当时，取最大值．………………7分当时，时，日利润最大值为元当时，时，日利润最大值为元．………………8分（2）由题意得：对恒成立………………10分则对恒成立设，则在上单调增，则，即EMBEDEquation.DSMT4∴每百支水笔的加工费最多约为元答：每百支水笔的加工费最多约为元．………………14分18．解：（1）由题意得：，则椭圆方程为：……………………3分设，则且A、B分别在轴、轴上为定值……………………7分（2）方法（一）设EMBEDEquation.DSMT4，则直线PQ的方程为：…………………9分∵EMBEDEquation.DSMT4点到直线的距离：………12分，令，则当且仅当时，取等号；即时，，此时………16分方法（二）设直线MN的斜率为，则，则直线MN方程为，直线PQ方程为，…………………9分解方程组，用代得，，由椭圆的对称性知，点P到直线MN的距离，………12分由椭圆的对称性知，四边形MPNQ的面积＝当且仅当，即时取等号，所以，四边形MPNQ的面积的最大值为4，此时直线MN的斜率．………16分19．解：（1），即，，．………3分（2）依题意，，且，显然．又，所以，………6分设，它是关于的二次函数，它的图象的开口向上，它的对称轴方程，故是上的增函数，所以当时，即，所以．………9分（3）依题意：，由得：，即，，………12分所以，因为，故，且，且为奇数则其中时，是整数，故，且．………16分20．解：（1），时，在上恒成立，则的单调递减区间，时，令则，即时，，则的单调递减区间．………3分（2）①，在上单调递减，，解得：，适合题意；②，在上单调递增，，无解；③，在上单调递减，上单调递增，，解得：，舍去；综上可得：．………8分（3）时，有1条切线；时，有2条切线．设切点坐标是，依题意：即，化简得：设，故函数在上零点个数，即是曲线切线的条数．………10分①当时，，在上恰有一个零点1；………11分当时，在上恒成立，在上单调递减，且，故在上有且只有一个零点，当时，在上恰有一个零点；………12分③EMBEDEquation.DSMT4时，在上递减，在上递增，故在上至多有两个零点，且又函数在单调递增，且值域是，故对任意实数，必存在，使，此时由于，即函数在上必有一零点；………14分先证明当时，，即证若，，而，由于若，构建函数，在为增函数，综上时，，所以，故又，所以在必有一零点．∴当时，在上有两个零点∴综上：时，有1条切线；时，有2条切线．………16分数学试题Ⅱ参考答案21（B）．解：因为，则，解得所以…5分由，所以．………………………………10分21（C）．解：直线的参数方程为（为参数）所以直线的直角坐标系方程是：………………………………2分圆的直角坐标系方程是：，圆心（2，0），半径……………………4分设圆心到直线的距离为d，，所以……………………………7分又所以………………………………10分22．解：（1）设“恰有一个数据为过度上网”为事件A，则……3分（2）甲组六人中有两人过度上网，乙组六人中有四人过度上网，则……………8分 0 1 2 3 4 P 答：数学期望为2…………………………10分23．解：（1）…………………………1分中项的系数为；…………………………3分（2）设①则函数中含项的系数为……5分由错位相减法得：②，中含项的系数，即是等式左边含项的系数，等式右边含项的系数为…………………………7分EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4所以………………10分ReadxIfx≤5Theny←10xElsey←2.5x+5EndIfPrinty（第5题图）（第16题图）yQPNMBAOx（第18题图）PAGE_1234568017.unknown_1234568145.unknown_1234568209.unknown_1234568273.unknown_1234568305.unknown_1234568321.unknown_1234568337.unknown_1234568345.unknown_1234568349.unknown_1234568353.unknown_1234568355.unknown_1234568357.unknown_1234568358.unknown_1234568359.unknown_1234568356.unknown_1234568354.unknown_1234568351.unknown_1234568352.unknown_1234568350.unknown_1234568347.unknown_1234568348.unknown_1234568346.unknown_1234568341.unknown_1234568343.unknown_1234568344.unknown_1234568342.unknown_1234568339.unknown_1234568340.unknown_1234568338.unknown_1234568329.unknown_1234568333.unknown_1234568335.unknown_1234568336.unknown_1234568334.unknown_1234568331.unknown_1234568332.unknown_1234568330.unknown_1234568325.unknown_1234568327.unknown_1234568328.unknown_1234568326.unknown_1234568323.unknown_1234568324.unknown_1234568322.unknown_1234568313.unknown_1234568317.unknown_1234568319.unknown_1234568320.unknown_1234568318.unknown_1234568315.unknown_1234568316.unknown_1234568314.unknown_1234568309.unknown_1234568311.unknown_1234568312.unknown_1234568310.unknown_1234568307.unknown_1234568308.unknown_1234568306.unknown_1234568289.unknown_1234568297.unknown_1234568301.unknown_1234568303.unknown_1234568304.unknown_1234568302.unknown_1234568299.unknown_1234568300.unknown_1234568298.unknown_1234568293.unknown_1234568295.unknown_1234568296.unknown_1234568294.unknown_1234568291.unknown_1234568292.unknown_1234568290.unknown_1234568281.unknown_1234568285.unknown_1234568287.unknown_1234568288.unknown_1234568286.unknown_1234568283.unknown_1234568284.unknown_1234568282.unknown_1234568277.unknown_1234568279.unknown_1234568280.unknown_1234568278.unknown_1234568275.unknown_1234568276.unknown_1234568274.unknown_1234568241.unknown_1234568257.unknown_1234568265.unknown_1234568269.unknown_1234568271.unknown_1234568272.unknown_1234568270.unknown_1234568267.unknown_1234568268.unknown_1234568266.unknown_1234568261.unknown_1234568263.unknown_1234568264.unknown_1234568262.unknown_1234568259.unknown_1234568260.unknown_1234568258.unknown_1234568249.unknown_1234568253.unknown_1234568255.unknown_1234568256.unknown_1234568254.unknown_1234568251.unknown_1234568252.unknown_1234568250.unknown_1234568245.unknown_1234568247.unknown_1234568248.unknown_1234568246.unknown_1234568243.unknown_1234568244.unknown_1234568242.unknown_1234568225.unknown_1234568233.unknown_1234568237.unknown_1234568239.unknown_1234568240.unknown_1234568238.unknown_1234568235.unknown_1234568236.unknown_1234568234.unknown_1234568229.unknown_1234568231.unknown_1234568232.unknown_1234568230.unknown_1234568227.unknown_1234568228.unknown_1234568226.unknown_1234568217.unknown_1234568221.unknown_1234568223.unknown_1234568224.unknown_1234568222.unknown_1234568219.unknown_1234568220.unknown_1234568218.unknown_1234568213.unknown_1234568215.unknown_1234568216.unknown_1234568214.unknown_1234568211.unknown_1234568212.unknown_1234568210.unknown_1234568177.unknown_1234568193.unknown_1234568201.unknown_1234568205.unknown_1234568207.unknown_1234568208.unknown_1234568206.unknown_1234568203.unknown_1234568204.unknown_1234568202.unknown_1234568197.unknown_1234568199.unknown_1234568200.unknown_1234568198.unknown_1234568195.unknown_1234568196.unknown_1234568194.unknown_1234568185.unknown_1234568189.unknown_1234568191.unknown_1234568192.unknown_1234568190.unknown_1234568187.unknown_1234568188.unknown_1234568186.unknown_1234568181.unknown_1234568183.unknown_1234568184.unknown_1234568182.unknown_1234568179.unknown_1234568180.unknown_1234568178.unknown_1234568161.unknown_1234568169.unknown_1234568173.unknown_1234568175.unknown_1234568176.unknown_1234568174.unknown_1234568171.unknown_1234568172.unknown_1234568170.unknown_1234568165.unknown_1234568167.unknown_1234568168.unknown_1234568166.unknown_1234568163.unknown_1234568164.unknown_1234568162.unknown_1234568153.unknown_1234568157.unknown_1234568159.unknown_1234568160.unknown_1234568158.unknown_1234568155.unknown_1234568156.unknown_1234568154.unknown_1234568149.unknown_1234568151.unknown_1234568152.unknown_1234568150.unknown_1234568147.unknown_1234568148.unknown_1234568146.unknown_1234568081.unknown_1234568113.unknown_1234568129.unknown_1234568137.unknown_1234568141.unknown_1234568143.unknown_1234568144.unknown_1234568142.unknown_1234568139.unknown_1234568140.unknown_1234568138.unknown_1234568133.unknown_1234568135.unknown_1234568136.unknown_1234568134.unknown_1234568131.unknown_1234568132.unknown_1234568130.unknown_1234568121.unknown_1234568125.unknown_1234568127.unknown_1234568128.unknown_1234568126.unknown_1234568123.unknown_1234568124.unknown_1234568122.unknown_1234568117.unknown_1234568119.unknown_1234568120.unknown_1234568118.unknown_1234568115.unknown_1234568116.unknown_1234568114.unk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