【弹塑性力学】5弹性应力应变关系演示课件

【弹塑性力学】5弹性应力应变关系演示课件5本构关系5.1弹性应力应变关系5.1.1一般表示5.1.2材料对称性5.1.3各向同性弹性体5.1.4弹性常数的测定5.1.5矩阵形式表达5.1.6弹性应变能应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关x=x(x，y，z，xy，yz，zx)y=y(x，y，z，xy，yz，zx)…….zx=zx(x，y，z，xy，yz，zx)5.1.1一般表示对于线性弹性材料，应力与应变是线性关系x=c11x+c12y+c13z+c14xy+c15yz+c16zxy=...

5本构关系5.1弹性应力应变关系5.1.1一般表示5.1.2材料对称性5.1.3各向同性弹性体5.1.4弹性常数的测定5.1.5矩阵形式表达5.1.6弹性应变能应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关x=x(x，y，z，xy，yz，zx)y=y(x，y，z，xy，yz，zx)…….zx=zx(x，y，z，xy，yz，zx)5.1.1一般表示对于线性弹性材料，应力与应变是线性关系x=c11x+c12y+c13z+c14xy+c15yz+c16zxy=c21x+c22y+c23z+c24xy+c25yz+c26zxz=c31x+c32y+c33z+c34xy+c35yz+c36zxxy=c41x+c42y+c43z+c44xy+c45yz+c46zxyz=c51x+c52y+c53z+c54xy+c55yz+c56zxzx=c61x+c62y+c63z+c64xy+c65yz+c66zx系数cmn共36个，取决于材料弹性性质，与坐标系选取有关张量形式表示ij=Cijklkl其中Cijkl称为四阶弹性张量，共81个分量。同样也取决于坐标系，服从四阶张量的坐标变换定律弹性张量的对称性（1）根据应力张量和应变张量的对称性Cijkl=Cjikl（2）根据应力张量和应变张量的对称性Cijkl=Cijlk独立的分量也是36个。（3）应变能存在，则弹性张量关于ij和kl也应对称Cijkl=Cklij独立的弹性常数共有21个两种表示方式之间的关系弹性系数c的下标1、2、3、4、5、6对应于张量C的指标11、22、33、12、23、31例如：c11＝C1111c12＝C1122c13＝C1133c14＝C1112弹性系数cmn也应具有对称性cmn＝cnm5.1.2材料对称性弹性对称面该面对称的两个方向具有相同的弹性关系以最后一个方程为例zx反号，而x，y，z和xy不变，c61＝c62＝c63＝c64＝0x=c11x+c12y+c13z+c14xyy=c12x+c22y+c23z+c24xyz=c13x+c23y+c33z+c34xyxy=c14x+c24y+c34z+c44xyyz=c55yz+c56zxzx=c56yz+c66zx13个独立常数正交各向异性材料具有三个相互正交的弹性对称面。独立弹性常数减少到9个x=c11x+c12y+c13zy=c12x+c22y+c23zz=c13x+c23y+c33zxy=c44xyyz=c55yzzx=c66zx各种增强纤维复合材料和木材等属于这类材料横观各向同性材料存在一个弹性对称轴，在垂直该轴的平面内材料各向同性。将x，y轴互换时，材料弹性关系不变c11=c22，c13=c23，c55=c66将坐标系绕z轴旋转450，剪切应力应变关系不变，得c44=0.5(c11c12)x=c11x+c12y+c13zy=c12x+c11y+c13zz=c13x+c13y+c33zxy=0.5(c11c12)xyyz=c55yzzx=c55zx独立的弹性常数减少到5个。例如：层状结构的岩体。5.1.3各向同性弹性体广义Hooke定律将x轴与z轴互换，或将y轴与z轴互换时，材料弹性关系不变，c11=c33，c12=c13，c55=c66=0.5(c11c12)于是，独立的弹性常数减少到2个x=c11x+c12y+c12zy=c12x+c11y+c12zz=c12x+c12y+c11zxy=0.5(c11c12)xyyz=0.5(c11c12)yzzx=0.5(c11c12)zx令c12=，c11c12=2G、G称为Lame（拉梅）弹性常数x=2Gx+xy=Gxyy=2Gy+yz=Gyzz=2Gz+zx=Gzx=x+y+z是体积应变广义Hooke定律的张量形式ij=kkij+2Gijij=CijklklCijkl=ijkl+G(ikjl+iljk)某个面上的剪切应力为零时，剪应变也为零应力的主方向与应变的主方向重合应变用应力表示kk=(3+2G)kk体积应力与体积应变关系将等式对应相加，可得平均应力与体积应变的关系：30=(2G+3)式中0=(x+y+z)/3是平均应力。0=K式中K=(3+2G)/3是体积变形模量。偏应力与偏应变关系x=2Gx+sx+0=2G(ex+)+将体应力与体应变关系代入：sx=2Gex同理可得：sy=2Geysz=2Gez张量形式表示为sij=2Geij在线弹性范围内，偏应力只产生偏应变，即只产生形状改变，体积应力只产生体应变，即只产生体积改变。5.1.4弹性常数的测定静水压缩实验体积模量单轴拉伸实验使用物理关系，有弹性模量和泊松比：相反，有纯剪实验使用物理方程，xy=2Gxy，G是剪切模量。单轴应变实验有唯一应变分量约束模量：各向同性弹性本构关系用其他参数表示：正应力只产生正应变；剪应力只产生剪应变。每个应变等于各个应力单独作用时产生的应变之和。弹性常数的限制实验结果表明，E、G、K总为正值，有大多数材料为正值，而，有即材料弹性不可压缩，如橡胶。5.1.5矩阵形式表达平面应力情况平面应变情况（重力坝）5.1.6弹性应变能一维情况一细长杆，长度L，横截面积S，两端受拉力P作用，伸长量为L，外力功为由于应力x=P/S，x=L/L，上式可写成单位体积的应变能W为求应变能相对应变的偏导三维情况考察微小六面体，应力分量ij产生的应变分量ij，各应力分量ij都只在与它相同的应变分量ij上做功，根据能量平衡，单位体积的应变能应是所以dW=ijdij对于弹性体，应变能只取决于状态，是应变状态的单值函数W=W(ij)，应变能增量dW必须是全微分于是对于任意的应变增量dij都应成立：这是从能量角度出发建立的弹性物体的应力-应变关系可导出如下对称性Cijkl=Cklij将物理方程ij=Cijklkl代入dW=ijdij，考虑对称性，则W=Cijklijkl=ijij应变能分解应变能可分解为体积改变能和形状改变能。W=ijij=(sij+0ij)(eij+kkij)=0kk+sijeij第一项是体积应力在体积应变上做的功，称为体积改变能（体变能）；第二项是偏应力在偏应变上做的功，称为形状改变能（畸变能）。在各向同性情况下，应变能由应变表示为W=K(kk)2+(2G)eijeij或者用应力表示为W=(0)2+J2应变能函数W应是正定的，即W0，应变余能对任意非线性弹性，应变能和应变余能之和为例5-1：对非线性弹性的单轴应力-应变关系n为常数，求与的比值。

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