2021年人教版高中数学选择性必修第一册模块综合试卷(含答案)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.直线l过点(－3,0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为√12345678910111213141516171819202122解析　依题意知，a2＝m2＋12，b2＝4－m2，√12345678910111213141516171819202122所以焦距2c＝8.3.过点P(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与切线l平行，则切线l与直线m间的距离为√12345678910111213141516171819202122解析　根据题意，知点P在圆C上，又直线m与切线l平行，∴直线m的方程为4x－3y＝0.123456789101112131415161718192021224.若a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1，1)，a与b的夹角为120°，则λ的值为A.17或－1B.－17C.－1或－17D.1√12345678910111213141516171819202122解析　由已知a·b＝－2－λ－2＝－λ－4，解得λ＝17或λ＝－1.5.若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，点A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值是√解析　∵点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且点A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，∴|PA|2＋|PB|2＝4，∵(|PA|＋|PB|)2≤2(|PA|2＋|PB|2)＝8，123456789101112131415161718192021226.已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|－|FB||的值为√123456789101112131415161718192021227.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为√12345678910111213141516171819202122解析　建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，12345678910111213141516171819202122故BM与AN所成角θ的余弦值12345678910111213141516171819202122√解析　如图所示，又|OF1|＝c，得|F1M|＝b，则根据几何图形的性质可得|F1P|＝2b，|F2P|＝2a，根据双曲线的定义得|F1P|－|F2P|＝2a＝2b－2a，因此可得b＝2a，即b2＝4a2＝c2－a2，12345678910111213141516171819202122二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.关于空间直角坐标系O－xyz中的一点P(1,2,3)，下列说法正确的是12345678910111213141516171819202122B.点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)C.点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)D.点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2，－3)√√解析　A显然正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故B错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故C错；D显然正确.1234567891011121314151617181920212210.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题中真命题的是√12345678910111213141516171819202122√1234567891011121314151617181920212211.已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax＋by＝r2，则下列结论正确的是A.m∥lB.m⊥lC.m与圆相离D.m与圆相交√√直线l的方程为ax＋by＝a2＋b2，又P(a，b)在圆外，∴a2＋b2>r2，故m∥l，故m与圆相交.12345678910111213141516171819202122√12345678910111213141516171819202122√√解析　根据题意作出其图象，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1如图.设|BD|＝x，则Rt△DBB1，Rt△DAA1中，解得x＝4.所以|BF|＝2，|AF|＝6，所以B正确.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122所以|BD|＝4，满足|BD|＝4＝2|BF|，所以C正确.而|DF|＝|BD|＋|BF|＝4＋2＝6＝|AF|，所以D正确.故选：BCD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，则当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是______________.x＋2y－3＝0解析　当直线AB与l1，l2均垂直时，l1，l2间的距离最大.即x＋2y－3＝0.1234567891011121314151617181920212214.若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为______________.12345678910111213141516171819202122x2＋(y－1)2＝1解析　由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.15.如图，P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝1，∠APB＝∠BPC＝60°，∠APC＝90°，若G为△ABC的重心，则PG长为_____，异面直线PA与BC所成角的余弦值为____.(本题第一空2分，第二空3分)12345678910111213141516171819202122解析　由题意得∠ABC＝90°，连接点P和线段AC的中点D，连接BD，如图：1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122解析　不妨设M在第一象限，N在第三象限，易知A(－a，0)，由已知条件知圆的方程为x2＋y2＝c2，∴4a2＝3b2，∴4a2＝3(c2－a2)，12345678910111213141516171819202122四、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知直线l1的方程为x＋2y－4＝0，若l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2.(1)求直线l1与l2的交点坐标；解　设l2的方程为2x－y＋m＝0，所以3－0＋m＝0，m＝－3，即l2：2x－y－3＝0.直线l1与l2的交点坐标为(2,1).12345678910111213141516171819202122(2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程.又直线l3经过l1与l2的交点，l3的方程为2x＋y－5＝0.综上，l3的方程为x－2y＝0或2x＋y－5＝0.12345678910111213141516171819202122123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212219.(12分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点.求证：12345678910111213141516171819202122(1)BD1⊥平面AB1C；证明　以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则E(0，0，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，设平面AB1C的法向量m＝(x，y，z)，12345678910111213141516171819202122取x＝1，得m＝(1，1，－1).12345678910111213141516171819202122所以BD1⊥平面AB1C.(2)平面EAC⊥平面AB1C.12345678910111213141516171819202122证明　设平面AEC的法向量n＝(x′，y′，z′)，取x′＝1，得n＝(1，1，2)，∵m·n＝1＋1－2＝0，∴平面EAC⊥平面AB1C.(1)求椭圆的方程；12345678910111213141516171819202122(2)是否存在实数m，使直线l：x－y＋m＝0与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.12345678910111213141516171819202122解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0).即3x2＋2mx＋m2－2＝0，所以Δ＝(2m)2－4×3×(m2－2)>0，即m2<3，1234567891011121314151617181920212221.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC＝2AB＝2AD＝4BE，平面PAB⊥平面ABCD.12345678910111213141516171819202122(1)求证：平面PED⊥平面PAC；证明　∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AB⊥PA，PA⊂平面PAB，∴PA⊥平面ABCD，又∵AB⊥AD，故可建立空间直角坐标系Axyz如图所示，不妨设BC＝4，AP＝λ(λ>0)，则有D(0,2,0)，E(2,1,0)，C(2,4,0)，P(0,0，λ)，∴DE⊥AC，DE⊥AP，又AC∩AP＝A，∴DE⊥平面PAC.又DE⊂平面PED，∴平面PED⊥平面PAC.12345678910111213141516171819202122(2)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求平面PCA和平面PCD夹角的余弦值.12345678910111213141516171819202122设直线PE与平面PAC所成的角为θ，解得λ＝±2.∵λ>0，∴λ＝2，即P(0,0,2)，设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212222.(12分)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；证明　设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).即直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值－9.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122解　四边形OAPB能为平行四边形.∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.设点P的横坐标为xP.12345678910111213141516171819202122四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM，∵ki>0，ki≠3，i＝1,2，12345678910111213141516171819202122