线性代数与空间解析几何总复习

第一章矩阵一、矩阵的定义由m×n个数排成m行n列的矩形数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaAKMOMMKK212222111211m个关于n个未知量x1，x2，…，xn的一次方程组成的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLL22112222212111212111线性方程组的系数矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaAKMOMMKK212222111211线性方程组的增广矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=mmnmmnnbaaabaaabaaaBLMMOMMLL21222221111211矩阵相等同型矩阵行矩阵（或称行向量）列矩阵（或称列向量）n阶矩阵或n阶方阵单位矩阵上三角矩阵下三角矩阵对角矩阵二、矩阵的运算1、线性运算矩阵A与B的和：C=A+B只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+++++++++=mnmnmmmmnnnnbababababababababaCLMOMMLL221122222221211112121111矩阵A与数λ的乘积（简称矩阵的数乘），记作λΑ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛mnmmnnaaaaaaaaaλλλλλλλλλLMOMMLL212222111211矩阵的加法及矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算。2矩阵的乘法设矩阵A=(aij)m×s，B=(bij)s×n，构作一个m×n矩阵C=(cij)m×n，其中),2,1;,,2,1(12211njmibabababacskkjiksjisjijiijLLL===+++=∑=那么，矩阵C称为设矩阵A与矩阵B的乘积，记作：C=AB一个1×s行矩阵与一个s×1列矩阵的乘积是一个1阶矩阵，即一个数。所以，矩阵C=AB的第i行、第j列元素cij就是A的第i行与矩阵B的第j列的乘积。左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才可以相乘。矩阵乘法不满足交换律。矩阵乘法满足的运算规律：(1)(AB)C=A(BC)(2)(AB)=(λA)B=A(λB),其中λ为数(3)A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA3线性变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxayLLLLLLL22112222121212121111表示从变量x1，x2，…，xn到变量y1，y2，…，ym的线性变换。记⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==×mnnmijyyyxxxaAMM2121,,)(yx，则y=Ax4矩阵的幂矩阵的非负整数幂的定义（A为n阶方阵）：A0=I，Ak+1=AkA由于矩阵乘法满足结合律，所以AkAl=Ak+l(Ak)l=Akl又由于矩阵乘法不满足交换律，所以，一般(AB)k≠AkBk5、矩阵的转置设矩阵A是一个m×n矩阵，构作一个n×m的矩阵，使它的第i行第j列元素是矩阵A的第j行第i列的元素（i=1,2,…,n，j=1,2,…,m），那么这个矩阵称为A的转置矩阵。记作ATAT的行为A的（相应）列，AT的列为A的（相应）行。矩阵的转置满足下列运算规律：（1）(AT)T=A（2）(A+B)T=AT+BT（3）(λA)T=λAT（4）(AB)T=BTAT设A为n阶矩阵：如果满足AT＝A，则称A为对称矩阵；对称矩阵A的元素满足：aij=aji(i,j=1,2,…,n)如果满足AT＝-A，则称A为反对称矩阵。反对称矩阵A的元素满足：aij=-aji(i,j=1,2,…,n)尤其注意，反对称矩阵A的主对角线元素aii=06、矩阵的逆设A是一个n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I成立，那么矩阵A称为可逆矩阵，并且矩阵B称为A的逆矩阵，简称为矩阵A的逆。如果A的逆矩阵不存在，那么A称为不可逆矩阵。矩阵的逆满足下列运算规律：设A、B都是n阶可逆阵，数λ≠0，那么（1）A-1可逆，且(A-1)-1=A；（2）λA可逆，且(λA)-1=A-1/　；（3）AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1；（4）AT可逆，且(AT)-1=(A-1)T。7分块矩阵对于矩阵A，用若干条纵线和横线分成一些小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。两种常用的分块矩阵：分别以矩阵的行和列为子块。分块对角矩阵，或称准对角矩阵的概念分块矩阵的运算方法（了解）。第二章线性方程组与矩阵初等变换1、线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLL22112222212111212111可以写成Ax=b其中系数矩阵A=(aij)m×n常数列b=(b1,b2,…,bm)T未知量列x=(x1,x2,…,xn)T增广矩阵B=(A|b)如果b1,b2,…,bm全部为零，那么上述方程组称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组。2、高斯消元法线性方程组的三种初等变换：(1)交换两个方程的位置；(2)以非零数k乘一个方程；(3)把一个方程的k倍加到另一个方程上。任意一个线性方程组经过若干次初等变换后得到的方程组与原方程组等价；任意一个线性方程组一定可以经过若干次适当的初等变换得到一个阶梯形的方程组。一种求解线性方程组的一般方法：对已知的线性方程组施行若干次适当的初等变换，使它变为等价的阶梯形方程组，从而达到求解的目的。——这种求解线性方程组的方法称为高斯(Gauss)消元法3、利用矩阵初等行变换解线性方程组定义1下列三种变换称为矩阵的初等行变换：(1)交换两行的位置(交换第i，j两行，记作ri↔rj)；(2)以非零数k乘某一行(以k乘第i行，记作kri)；(3)把某一行的k倍加到另一行上(把第j行的k倍加到第i行上，记作ri+krj)。三种初等行变换都是可逆的，并且其逆变换也是同一类型的初等行变换:变换ri↔rj的逆变换就是它(该变换)自身；变换kri（k≠0）的逆变换为ri/k；变换ri+krj的逆变换为ri+(-k)rj。任意矩阵A=(aij)m×n都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵。对于线性方程组，我们先对它的增广矩阵施行若干次初等行变换使它化为行阶梯形矩阵，再写出这个行阶梯形矩阵对应的阶梯形方程组并用“回代”法求解，就可以得到原方程组的解。——这就是利用矩阵的初等行变换解线性方程组的一般方法，是高斯消元法的另一种表现形式。4、一般的线性方程组解的三种不同情况⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLL22112222212111212111――>⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛++++0000000000000000000011,221,2222111,111211LLMMMMMMLLLLLLMMMMMMLLLLrrrnrrrrnrrnrrddcccdccccdccccc――>⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧====+++=++++=++++++++++++00......0111,2211,222221111,11212111rrnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrddxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxcxcLLLLLLLLL(1)情形1：dr+1≠0，对应一个矛盾方程0x1+0x2+…+0xn=dr+1方程无解。(2)情形2：dr+1=0，r=n，此时非零行的行数等于未知量的个数，且crrxn=dr使用回代法可得到方程组唯一解。(3)情形3：dr+1=0，r<n，此时非零行的行数小于未知量的个数，设crrxr=dr-cr,r+1xr+1-…-crnxn未知量xr+1,xr+2,…,xn取任意一组数值。再使用回代法可求得x1,x2,…,xr-1。因此方程有无穷多解。齐次线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaLLLLLLL显然，x=(x1,x2,…,xn)T=(0,0,…,0)T总是方程组的解。所以，齐次线性方程组总是有解的（相容的），其解只可能出现情形2或情形3。如果出现情形2，方程组有唯一解，即它没有非零解；如果出现情形3，那么它有无数解，即它有非零解。定理1对齐次线性方程组的系数矩阵施行有限次初等行变换，使其化为行阶梯形矩阵S。那么齐次线性方程组没有非（只有）零解的充分必要条件是S中非零行的行数等于方程组未知量的个数；等价地，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是S中非零行的行数小于方程组未知量的个数.5矩阵的初等变换矩阵的三种初等列变换：(1)交换两列的位置(交换第i，j两列，记作ci↔cj)；(2)以非零数k乘某一列(以k乘第i列，记作kci)；(3)把某一列的k倍加到另一列上(把第j列的k倍加到第i列上，记作ci+kcj)。三种初等列变换也是可逆的，并且其逆变换也是同一类型的初等列变换。矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换。如果矩阵A经过有限次初等变换可以化为矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A～B6初等矩阵由单位矩阵I经过一次初等变换得的矩阵称为初等矩阵。（1）交换两行（或列）的位置：把单位矩阵I中的第i，j行的位置交换(ri↔rj)；（2）以非零数k乘某一行（或列）：以非零数k乘单位矩阵I的第i行(kri)；（3）把某一行（或列）的k倍加到另一行（或列）上。把单位矩阵I的第j行的k倍加到第i行上(ri+krj)。用m阶初等矩阵Em(i,j)左乘矩阵A=(a)m×n，相当于对矩阵A施行第一种初等行变换：把A的第i，j行交换位置(ri↔rj)；用n阶初等矩阵En(i,j)右乘矩阵A=(a)m×n，相当于对矩阵A施行第一种初等列变换：把A的第i，j列交换位置(ci↔cj)；用m阶初等矩阵Em(i(k))左乘矩阵A=(a)m×n，相当于对矩阵A施行第二种初等行变换：以非零数k乘A的第i行(kri)；用n阶初等矩阵En(i(k))右乘矩阵A=(a)m×n，相当于对矩阵A施行第二种初等列变换：以非零数k乘A的第i列(kci)；用m阶初等矩阵Em(i,j(k))左乘矩阵A=(a)m×n，相当于对矩阵A施行第三种初等行变换：把j行的k倍加到第i行(ri+krj)；用n阶初等矩阵En(i,j(k))右乘矩阵A=(a)m×n，相当于对矩阵A施行第三种初等列变换：把i列的k倍加到第j列(cj+kci)；定理2设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。初等矩阵是可逆的。定理3（逆矩阵定理）设A是n阶矩阵，那么下列各命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 等价：（1）A是可逆矩阵；（2）齐次线性方程组Ax＝0只有零解；（3）A可以经过有限次初等行变换化为In；（4）A可表示为有限个初等矩阵的乘积。7利用矩阵初等变换求矩阵的逆设n阶矩阵A可逆，由定理3可知，存在初等矩阵P1、P2、…、Ps，使得In＝Ps…P2P1A即InA-1＝Ps…P2P1AA-1A-1＝Ps…P2P1In以上公式表明：A可以经过一系列初等行变换化为I；I经过这同一系列初等行变换化为A-1。利用分块矩阵，公式In＝Ps…P2P1A和A-1＝Ps…P2P1In可合并表示为：Ps…P2P1(A|In)=(In|A-1)即对n×2n矩阵(A|In)施行初等行变换，当把子块A化为In时，另一子块In就化为A-1。利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可以推广为求矩阵A-1B的方法，由A-1(A|B)=(I|A-1B)可知，如果对矩阵(A|B)施行初等行变换，当把A化为I时，B就化为A-1B。类似地，如果要求CA-1，可以对矩阵(AT┆CT)T作初等列变换，当把A化为I时，C就化为CA-1。⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−11CAIACA第三章行列式1、全排列及其奇偶性把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列(简称排列)。对于n个不同的元素，先规定各元素间有一个 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 次序（如：n个不同的自然数，可规定自小到大排列为标准次序，此时，对应的排列称自然排列），于是，在这n个元素的任意排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序。一个排列i1i2…in中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作t(i1i2…in)逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。在排列中，将任意两个元素交换位置其余的元素不动得到新排列的交换称为对换，将相邻两个元素对换，称为相邻对换。相邻对换使排列的逆序数增加1或减少1。由于任意对换可以通过奇数次相邻对换来实现，所以对换改变排列的奇偶性。2n阶行列式定义设有n阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nnnnnnaaaaaaaaaAKMMMKK212222112111，作出矩阵中位于不同行、不同列的n个数的乘积，并冠以符号)...(21)1(njjjt−得到形如nnnjjjjjjtaaaLL212121)()1(−的项，其中j1j2…jn为n个正整数1，2，…，n的一个排列，t(j1j2…jn)为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n!个，因此形如上式的项共有n!项，所有这些n!项的代数和∑−nnnjjjnjjjjjjtaaaLLL21212121)()1(称为矩阵A的行列式，记作nnnnnnaaaaaaaaaADKMMMKK212222112111det==（以上下划线部分只需了解即可）3、行列式按行（列）展开在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行及第j列划去后，留下的n-1阶行列式称为元素aij的余子式，记作Mij；Mij冠以符号(-1)i+j得Aij=(-1)i+jMij，Aij称为元素aij的代数余子式。交换行列式的两行（列）的位置，行列式变号。定理1设A=(aij)是n阶矩阵，D=detA，那么(1)D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1,2,…,n)(2)D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj(j=1,2,…,n)于是，行列式等于它们的任一行（或列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。推论1如果n阶矩阵A=(aij)中有两行（或列）相同，那么行列式D=detA=0。推论2设A=(aij)是n阶矩阵，D=detA，i≠j，那么(1)D1=ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(2)D2=a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=04、行列式的性质性质1设A=(aij)是n阶矩阵，AT是的转置矩阵，则detA=detAT即行列式经过转置后其值不变。性质2如果行列式的某一行（或列）的元素都是两元素之和，那么D等于两个行列式的和。性质3行列式的初等变换设A=(aij)为n阶矩阵，(1)交换A的第i、j行(或列)的位置得到A1，则detA1=-detA；(2)把A的第i行(或列)乘以数k(k≠0)得到A2，则detA2=kdetA；(3)把A的第i行(或列)的k倍加到第j行(或列)上，得到A3，则detA3=detA；推论1设A为任意n阶矩阵，则对n阶初等矩阵都有det(EA)=(detE)(detA)det(AE)=(detA)(detE)推论2如果行列式有两行（或列）的对应元素成比例，那么这个行列式为零。5、行列式的计算行列式的性质3提供了使用矩阵初等变换计算行列式的简便方法。利用初等变换计算行列式的一个基本程序是通过适当的初等变换把行列式化为上三角行列式，然后利用上三角行列式的计算公式得到行列式的值。或者通过适当的初等变换把某一行（或列）尽可能化为0，然后按该行（或列）展开，实现降阶。6、伴随矩阵与矩阵的逆n阶矩阵A的行列式detA的各个元素的代数余子式Aij构成的矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nnnnnnAAAAAAAAAAKMMMKK212221212111*称为A的伴随矩阵。引理设A*为n阶矩阵A的伴随矩阵，那么AA*=A*A=detAI定理2矩阵A可逆的充分必要条件是detA≠0；当A可逆时*1det1AAA=−其中A*为A的伴随矩阵。如果detA＝0，则称A为奇异矩阵；如果detA≠0，则称A为非奇异矩阵。因此：矩阵A可逆的充要条件是A为非奇异矩阵推论1设A和B是两个n阶矩阵，如果A是不可逆矩阵，则AB和BA都是不可逆矩阵。推论2如果AB=I（或BA=I），那么A可逆，且A-1=B。定理3设矩阵A、B为n阶矩阵，那么det(AB)=(detA)(detB)即两个矩阵乘积的行列式等于它们行列式的乘积。设矩阵A1、A2、…、Ar都是n阶矩阵，那么det(A1A2…Ar)=(detA1)(detA2)…(detAr)7、克拉默法则克拉默法则定理5齐次线性方程组Ax=0：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaLLLLLLL，没有非零解的充分必要条件是其系数矩阵A的行列式D≠0；等价地，该方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式D=0。8、矩阵的秩k阶子式：在m×n矩阵A中，任取k行和k列(1≤k≤min|m,n|)，位于这些行列交叉处的k2个元素，按他们在矩阵A中的相对位置组成的k阶行列式，称为A的一个k阶子式。矩阵的秩的定义：设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为A的最高阶非零子式，数r称为矩阵的秩，记着R(A)，并规定零矩阵的秩等于0。根据矩阵秩的定义，m×n阶矩阵A的秩满足R(A)≤min|m，n|对于任意矩阵A，R(A)是唯一确定的，但其最高阶非零子式不一定是唯一的。由于行列式转置后其值不变，故矩阵A与其转置矩阵AT有相同的秩，即R(A)=R(AT)矩阵秩的计算：对于行阶梯形矩阵，其秩就是其非零行的行数，因此，可通过将一般矩阵转化为行阶梯形矩阵，从而求取一般矩阵的秩。用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩。定理6初等变换不改变矩阵的秩。对于n阶可逆矩阵，因|A|≠0，知A的最高阶非零子式为|A|，R(A)=n。由于矩阵的秩等于阶数，故可逆矩阵又称作满秩矩阵，而奇异矩阵又称作降秩矩阵。对于任意矩阵Am×n，总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵，然后通过有限次初等列变换便可化成形如⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000rI的矩阵，称为m×n矩阵A的标准形矩阵，其中r=R(A)。故存在m阶初等矩阵P1，P2，…Ps以及n阶矩阵Q1，Q2，…Qt使得⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=000rtsIQQAQPPPLL2112记P=P1P2…Ps，Q=Q1Q2…Qt，那么P为在m阶可逆矩阵，Q为n阶可逆矩阵，且nmrIPAQ×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=000矩阵A的标准形矩阵由m，n，r这三个数确定。第四章空间解析几何与向量运算1、空间直角坐标系坐标原点O，横轴x，纵轴y，竖轴z，相互垂直，正方向符合右手规则。每两条坐标轴确定的平面称成为坐标平面。三个坐标平面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限2、点的坐标过空间中点M，分别作平行于三个坐标平面的平面，交三个坐标轴于P(x,0,0),Q(0,y,0),R(0,0,z)三点，称序数组(x,y,z)为点M的坐标,记作M(x,y,z)．3、向量及其线性运算（1）向量:具有一定大小和方向的量。（2）向量的表示：以A为起点，B为终点的有向线段a。（3）自由向量:不考虑起点位置的向量。(4)相等向量:大小相等，方向相同的向量。(5)负向量:大小相等方向相反的向量。(6)平行向量：方向相同或相反的向量。（7）向径:以坐标原点O为起点，终点为M的向量。（8）向量的模|a|:向量的大小（或长度）。单位向量:模等于1的向量。零向量0:模等于零的向量，方向任意。向量的加（减）法三角形法则（两向量的和）：设有向量a与b，将b平移使其起点与a的终点重合，以向量a的起点为起点，以b的终点为终点的向量称为向量a与b的和，记作c=a+b.平行四边形法则：两向量和是以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量。多边形法则（n(n≥3)个向量的和）：以任何次序相继作向量，使这些向量首尾相连，而第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量即为n个向量的和．向量与数量的乘法实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，它的模是|λa|=|λ||a|。当λ>0时，它与a方向相同；当λ<0时，它与a方向相反；当λ=0时，a　=0。设a0表示与非零向量a同方向的单位向量，则a=|a|a0，从而aaa10=向量的加法与数乘统称为向量的线性运算。定理1设向量a与b≠0，那么，a平行于b的充分必要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。4、向量的分解与向量的坐标(1)向量OM过点M(x,y,z)，分别作平行于三个坐标平面的平面，交三个坐标轴于P、Q、R三点。设e1、e2、e3分别表示沿x轴、y轴、z轴正方向的单位向量。则321zeyexeOMa++==或起点在原点的向量的坐标就是它的终点的坐标(2)向量M1M2起点M1(x1,y1,z1)、终点M2(x2,y2,z2).1221OMOMMM−=()()312111322212ezeyexezeyex++−++=()()()312212112ezzeyyexx−+−+−=或()12121221,,zzyyxxMM−−−=（3）向量的线性运算的坐标表示式设()()222111,,,,,zyxzyx==ba则()212121,,zzyyxx+++=+ba，()212121,,zzyyxx−−−=−ba，()111,,zyxλλλλ=a（4）向量在轴上的投影（5）两向量的夹角（6）空间一点在轴上的投影（7）向量在轴上的投影BAAB′′=uPrj（8）向量在轴上的投影性质：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦；两个向量a与b的和在轴u上的投影等于向量a与b在该轴上的投影的和；向量a与数λ的乘积a　在轴上的投影等于向量a在轴u上的投影的λ倍。（9）向量的模与方向的坐标表示法方向角:非零向量与三条坐标轴的夹角：0≤α、β、γ≤π/2()zyxMM,,21==aααcoscos21a==MMx()zyxa,,=ββcoscos21a==MMyγγcoscos21a==MMz向量a的模：222zyxa++=方向余弦：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=222222222coscoscoszyxzzyxyzyxxγβα方向余弦的关系：1coscoscos222=++γβα与非零向量a同方向的单位向量：())cos,cos,(cos,,110γβα===zyxaaaa两点M1与M2之间的距离公式()()()2122122122121||zzyyxxMMMMd−+−+−===5、向量的数量积两向量a与b的数量积定义为数|a||b|cosθ,记作a·b=|a||b|cosθ其中θ为向量a，b的夹角。当向量a≠0时,a·b=|a|Prjab当向量b≠0时,a·b=|b|Prjba向量数量积的运算律（1）交换律a·b=b·a；（2）分配律(a+b)·c=a·c+b·c；（3）结合律(λa)·b=　(a·b)=a·(λb),其中λ为数．2个重要结论（1）a·a=|a|2；（2）a⊥b的充分必要条件是a·b=0。数量积的坐标表示式：设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a·b=x1x2+y1y2+z1z2即两向量的数量积等于对应坐标乘积之和。可以利用向量坐标计算向量的夹角设a≠0,b≠0,由数量积定义，有||||cosbaba⋅=θ222222212121212121zyxzyxzzyyxx++++++=6、向量的向量积两向量a与b的向量积a×b是一个向量,满足（1）模（2）a×b的方向垂直于a与b所决定的平面，且a、b、a×b符合右手规则。向量积模的几何意义：以a、b为邻边的平行四边形面积。向量的向量积运算律（1）a×b=-b×a（2）分配律：(a+b)×c=a×c+b×cc×(a+b)=c×a+c×b（3）结合律：(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)两个重要结论：（1）a×a=0（2）0//=×⇔baba向量积的坐标表示式设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则()()()321212212112121exyyxezxxzeyzzyba−+−+−=×222111321zyxzyxeee=7、向量的混合积数(a×b)·c为三向量a,b,c的混合积，记作（a,b,c）.混合积绝对值的几何意义：以向量a,b,c为邻边的平行六面体的体积。向量混合积的运算律：对调相邻因子，混合积变号，可通过混合积的坐标表示式理解、证明。即(a×b)·c=-(b×a)·c=-(a×c)·b=(b×c)·a=(c×a)·b=-(c×b)·a混合积的坐标表示式设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3)，则333222111),,(zyxzyxzyxcba=一个重要结论：三向量a,b,c共面0)(=⋅×⇔cba8、平面的方程平面的点法式方程：法向量n=(A,B,C)，设π上点M0(x0,y0,z0)，则()()()0000=−+−+−zzCyyBxxA平面的一般方程：平面方程是一个三元一次方程，其中A,B,C不全为零。0=+++DCzByAx任何一个三元一次方程，只要一次项系数不全为零，它的图形就是一个平面。平面的截距式方程：设一平面与三坐标轴都相交但不通过原点，三交点分别为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)，其中a、b、c均不为零，称为平面在三坐标轴上的截距。则1=++czbyax9、平面的位置设平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0（1）A≠0，B≠0，C≠0，D≠0：平面不过原点，在x轴、y轴、z轴、上的截距分别为-D/A、-D/B、-D/C；（2）A≠0，B≠0，C≠0，D=0：平面过原点；（3）A、B、C中有一个为零A=0，平面方程为By+Cz+D=0，平面平行于x轴；B=0，平面方程为Ax+Cz+D=0，平面平行于y轴；C=0，平面方程为Ax+By+D=0，平面平行于z轴；(4)A、B、C中有两个为零A=0，B=0,平面方程为Cz+D=0，平面与z轴垂直；B=0，C=0,平面方程为Ax+D=0，平面与x轴垂直；A=0，C=0,平面方程为By+D=0，平面与y轴垂直；(5)z=0，xoy平面；x=0，yoz平面；y=0，xoz平面。10、点到平面的距离点P0(x0,y0,z0)到平面π:Ax+By+Cz+D=0的距离：222000CBADCzByAxd+++++=11、两平面间的位置关系π1：A1x+B1y+C1z+D1=0法向量：n1=(A1,B1,C1)π2：A2x+B2y+C2z+D2=0法向量：n2=(A2,B2,C2)（1）两平面的夹角两平面的法向量之间的夹角(锐角)两平面间夹角的公式212121),(coscosnnnnnn⋅=∠=θ222222212121212121CBACBACCBBAA++++++=222222212121212121CBACBACCBBAA++++++=（2）特殊关系的判别І平行（但不重合）21212121DDCCBBAA≠==⇔Ⅱ重合21212121DDCCBBAA===⇔Ⅲ垂直0212121=++⇔CCBBAA12、空间直线的方程空间直线的参数方程直线L过点M0(x0,y0,z0)，且与非零向量v＝（l，m，n）平行。空间直线的标准方程：由参数方程消去t，得到直线的标准方程（或对称式方程）nzzmyylxx000−=−=−nzzmyylxx000−=−=−其中方向向量v=(l,m,n),l、m、n不全为零。凡与l,m,n成比例的任何一组数都称为直线的一组方向数。如果l、m、n某一个或两个可以为零，比如l=0，约定x-x0=0。直线的标准方程为⎪⎩⎪⎨⎧−=−=−nzzmyyxx0000⎪⎩⎪⎨⎧−=−=−nzzmyyxx0000空间直线的一般方程：两个相交的平面确定一条直线，因此直线的一般方程为⎩⎨⎧=+++=+++0022221111DzCyBxADzCyBxA⎩⎨⎧=+++=+++0022221111DzCyBxADzCyBxA其中n1=(A1,B1,C1)与n2=(A2,B2,C2)不平行。13、空间两直线间的位置关系已知过点M1(x1,y1,z1)与M2(x2,y2,z2)的直线,:1111111nzzmyylxxL−=−=−,:2222222nzzmyylxxL−=−=−方向向量：。),,(),,,(22221111nmlvnmlv==两直线的夹角两条直线L1与L2的方向向量v1与v2的夹角ϕ称为这两条直线的夹角：2222222121212121212121cosnmlnmlnnmmllvvvv++++++=⋅=||||ϕ两直线L1与L2的位置关系(1)平行(但不重合)21//νν⇔，但不平行于；21MM(2)重合；2121////MMvv⇔(3)相交0),,2121=⇔MMv(v，且v1不平行于v2；(4)垂直)0(021212121=++=⋅⇔nnmmllvv即；(5)异面.0),,(2121≠⇔MMvv14、空间直线与平面间的位置关系直线L的方向向量v=(l,m,n)，平面π的法向量n=(A,B,C)直线与平面的夹角：直线L与它在平面π上的投影直线的夹角ϕ，称为直线与平面的夹角。()222222cossinnmlCBACnBmAlnv++++++=∠=,ϕ直线L与平面π的位置关系(1)平行（但L不在π上)；但00000≠+++=⋅⇔DCzByAxnv(2)L在π上；且00000=+++=⋅⇔DCzByAxnv(3)相交;0≠⋅⇔nv(4)垂直.//⎟⎠⎞⎜⎝⎛==⇔nCmBlA即nv15、平面束直线L的一般方程⎩⎨⎧=+++=+++222221111100ππDzCyBxADzCyBxA除平面π2外，通过L的平面的全体称为通过直线直线L的平面束。方程()022221111=+++++++DzCyBxADzCyBxAλ称为通过L的平面束方程，其中λ为某一待定系数。16、柱面设已知一空间曲线C及一个非零向量v，那么，平行于v且沿C移动的直线L形成的轨迹称为柱面；C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线。母线平行于坐标轴的柱面方程І、F(x,y)=0准线C:xOy平面上的曲线F(x,y)=0母线L与z轴平行；Ⅱ、G(x,z)=0准线C:xOz平面上的曲线G(x,z)=0母线L与y轴平行；Ⅲ、H(y,z)=0准线C:yOz平面上的曲线H(y,z)=0母线L与x轴平行。17、旋转曲面以一条平面曲线C绕平面上一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面。定直线称为旋转曲面的轴，曲线C称为旋转曲面的一条母线。xoy平面上的曲线C:F(x,y)=0绕x轴旋转一周而成的旋转曲面方程为()0,22=+±zyxFxoy平面上的曲线C:F(x,y)=0绕y轴旋转一周而成的旋转曲面方程为()0,22=+±yzxFyOz平面上的曲线C:F(y,z)=0绕z轴旋转一周而成的旋转曲面方程为()0,22=+±zyxFyOz平面上的曲线C:F(y,z)=0绕y轴旋转所成的旋转曲面方程为()0,22=+±zxyFxoz平面上的曲线C:F(x,z)=0绕x轴旋转一周而成的旋转曲面方程为()0,22=+±zyxFxoz平面上的曲线C:F(x,z)=0绕z轴旋转一周而成的旋转曲面方程为()0,22=+±zyxF18、用研究截痕法二次曲面用坐标面及平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，通过截痕形状研究曲面的性状.椭球面：)0,0,0(1222222>>>=++cbaczbyax单叶双曲面：1222222=−+czbyax双叶双曲面：1222222−=−+czbyax椭圆抛物面：)(2222同号与qpzqypx=+双曲抛物面（马鞍面）：),(2222同号qpzqypx=−19、空间曲线及其方程空间曲线C可看作两个曲面F(x,y,z)=0及G(x,y,z)=0的交线．空间曲线的一般方程()()⎩⎨⎧==0,,0,,zyxGcyxF空间曲线的参数方程()()())(btatzztyytxx≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===20、空间曲线在坐标面上的投影求解步骤：空间曲线C的一般方程()()⎩⎨⎧==0,,0,,zyxGcyxF(1)投影柱面方程(消去相应的变量）()0),(0),(0,===zxTzyRyxH或或(2)得投影曲线方程()()()⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==00,00,00,yzxTxzyRzyxH或或第五章n维向量空间1、n维向量n个数a1、a2、…、an组成的有序数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为它的第i个分量。设两个n维向量a=(a1,a2,…,an)T与b=(b1,b2,…,bn)T，如果它们对应的分量都相等，即ai=bi(i=1,2,…,n)，那么a与b相等，记作a=b。定义零向量0=(0,0,…,0)T；向量a的负向量，-a=(-a1,-a2,…,-an)T。Rn为由所有n维实向量组成的集合，并按下列规则在Rn中定义向量的加法与数乘（统称向量的线性运算）：设a=(a1,a2,…,an)T，b=(b1,b2,…,bn)T，λ为数，则()()()ΤΤΤ+++=+=+nnnnbabababbbaaa,,,,,,,,,22112121LLLba()()ΤΤ==nnaaaaaaλλλλλ,,,,,,2121LLa向量的加法与数乘应满足下列八条运算规律：(1)a+b=b+a;(2)(a+b)+c=a+(b+c);(3)a+0=a;(4)a+(-a)=0;(5)1a=a;(6)λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a;(7)λ(a+b)=λa+λb;(8)(λ+μ)a=λa+μa。其中λ,μ是任意实数，a，b，c是任意n维向量。非空集合Rn按我们定义的向量的加法与数乘满足上述的八条运算规律，称Rn对于所定义的向量加法与数乘构成一个n维向量空间。2、向量空间及其子空间设V是Rn非空子集合，如果集合V对于向量加法与数乘两种运算都封闭，那么就称集合V对于Rn的向量加法与数乘构成一个向量空间。所谓集合V对于向量加法与数乘运算封闭，是指：如果a∈V，b∈V，那么a+b∈V；如果a∈V，λ∈R，那么λa∈V。一般地由向量a1，a2，…，am所生成的向量空间为(){}RLmmmm∈+++==λλλλλλ,,,|21221121LLLaaaxa,,a,a设有向量空间V1及V2，如果V1⊂V2，那么就称V1是V2的子空间。3、线性方程组、矩阵、向量组的对应关系向量组：有限个或无限个同维数列向量（或行向量）所组成的集合称为一个向量组。一个m×n矩阵A=(aij)有n个m维列向量aj=(a1j,a2j,…,amj)T(j=1,2,…,n)它们组成的向量组a1、a2、…、an称为矩阵A的列向量组。一个m×n矩阵B=(bij)有m个n维行向量biT=(bi1,ai2,…,ain)(i=1,2,…,m)它们组成的向量组b1T、b2T、…、bmT称为矩阵A的行向量组。由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。m个n维列向量所组成的向量组a1、a2、…、am可以构成一个n×m矩阵A=(a1a2…am)m个n维行向量所组成的向量组b1T、b2T、…、bmT可以构成一个m×n矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=TT2T1mBbbbM把含有n个未知量的m个方程组成的线性方程组写成矩阵形式Ax=b，从而线性方程组可以与它的增广矩阵B=(A|b)一一对应。这种对应如果看成一个方程对应B的一个行向量，那么方程组就与B的行向量组对应。⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLL22112222212111212111――>⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=mmnmmnnbaaabaaabaaaBLMMOMMLL21222221111211方程组与B的列向量组a1、a2、…、an、b之间也有一一对应关系。如果利用分块矩阵的乘法把线性方程组写成向量形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLL22112222212111212111――>⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛mmnnnnmmbbbaaaxaaaxaaaxMMLMM2121222122121111x1a1+x2a2+…+xnan=b那么，当方程组有解时，向量b可以由向量组a1、a2、…、an通过线性运算得到。如果向量组中向量间的某种关系可以用向量的线性运算（加法与数乘运算）来表示，那么这种关系称为向量组的线性关系。3、向量组的线性组合设向量组A：a1、a2、…、am，对于任何一组实数k1、k2、…、km，向量k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组A的一个线性组合，k1、k2、…、km称为这个线性组合的组合系数。设向量b与向量组A：a1、a2、…、am，如果存在一组数λ1、λ2、…、λm，使b=λ1a1+λ2a2+…+λmam，那么向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示。向量b能由向量组A线性表示，也就是方程组Ax=b有解。定理1设向量组A：a1,a2,…,am与向量b(a1,a2,…,am,b都是n维向量)，记矩阵A=(a1,a2,…,am)x=(x1,x2,…,xm)TB=(A|b)那么下列三个命题等价：（1）向量b能由向量组A线性表示；（2）线性方程组Ax=b有解；（3）线性方程组Ax=b的增广矩阵B的秩等于其系数矩阵A的秩，即R(A)=R(B)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLL22112222212111212111――>⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛++++0000000000000000000011,221,2222111,111211LLMMMMMMLLLLLLMMMMMMLLLLrrrnrrrrnrrnrrddcccdccccdccccc借助于定理1，我们可以直接使用矩阵的初等变换来判断向量b能否由向量组A：a1,a2,…,am线性表示，并且在b能由向量组A线性表示时求相关的组合系数(即Ax=b的解)。其具体过程如下：记A=(a1,a2,…,am)，B=(A|b)对矩阵B施行初等行变换，使它变成行阶梯形矩阵B1；比较R(A)与R(B)，如果R(A)≠R(B)，那么向量b不能由向量组A线性表示；如果R(A)=R(B)，那么向量b能由向量组A线性表示。继续对B1施行初等行变换使它变成行最简形矩阵B2。此时，矩阵B2的最后一个列向量能由其余列向量所组成的向量组线性表示，它的组合系数就是向量b关于向量组A的组合系数。设有两个向量组A：a1，a2，…，am及B：b1，b2，…，bs。如果向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示，那么称向量组B能由向量组A线性表示。如果向量组A与向量组B能相互线性表示，那么称这两个向量组等价。如果Cm×n=Am×sBs×n，那么矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵。同时C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵设矩阵A经过初等行变换变成矩阵B，那么B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合，即B的行向量组能由A的行向量组的线性表示。由于初等行变换是可逆的，因此矩阵B也可以经过初等行变换变成A，从而A的行向量组也能由B的行向量组线性表示。于是A的行向量组与B的行向量组等价。类似地，如果矩阵A经初等列变换变成B，那么A的列向量组与B的列向量组等价。4、向量组的线性相关性设n维向量组a1,a2,…,am，如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,km，使得向量等式k1a1+k2a2+…kmam=0成立，那么称向量组a1,a2,…,am线性相关；否则称向量组a1,a2,…,am线性无关，即如果由上述向量等式成立可以推导出k1=k2=…=km=0，那么称向量组a1,a2,…,am线性无关。定理2设n维向量组a1,a2,…,am，记矩阵A=(a1,a2,…,am)，x=(x1,x2,…,xm)T，那么下列三个命题等价：(1)向量组a1,a2,…,am线性相关；(2)齐次线性方程组Ax=0有非零解；(3)R(A)<m，即矩阵A的秩小于向量组所含向量的个数m。等价地，下列三个命题等价：(1)向量组a1,a2,…,am线性无关；(2)齐次线性方程组Ax=0只有零解；(3)R(A)=m，即矩阵A的秩等于向量组所含向量的个数m。⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaLLLLLLL――>021222122121111=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛mnnnnmmaaaxaaaxaaaxMLMM――>⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+++0000000000000000001,21,222211,111211LLMMMMMLLLLLLMMMMMLLLLrnrrrrnrrnrrcccccccccccc推论1设n个维向量组a1,a2,…,an，A=(a1,a2,…,an)，那么下列三个命题等价：（1）向量组a1,a2,…,an线性相关（无关）；（2）齐次线性方程组有非零解(只有零解)；（3）detA=0(detA≠0)推论2设n维向量组维向量组a1,a2,…,am，m>n，即向量组所含向量个数大于向量的维数，