2021年高中数学人教版必修第一册：1.1《集合概念及特征》精品讲义(含解析)

集合的概念及特征（精讲）思维导图常见考法考点一集合的判断【例1】（2020·浙江高一课时练习）下列四组对象中能构成集合的是（）.A．本校学习好的学生B．在数轴上与原点非常近的点C．很小的实数D．倒数等于本身的数【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】D【解析】集合中的元素具有确定性，对于SKIPIF1<0，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ，不符合确定性；对于SKIPIF1<0，符合集合的定义，SKIPIF1<0正确.故选：SKIPIF1<0.本例题主要考查的是元素的确定性，即集合的中元素要有客观的标准可以衡量，不能用主观去衡量，例如“好”、“小”“近”等词没有统一的客观标准衡量。【一隅三反】1．（2020·全国高一）下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近SKIPIF1<0的实数的全体B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数D．未来世界的高科技产品【答案】C【解析】选项A、B、D中集合的元素均不满足确定性，只有C中的元素是确定的，满足集合的定义，故选：C.2．（2020·全国高一课时练习）下列对象能构成集合的是（）A．高一年级全体较胖的学生B．比较接近1的全体正数C．全体很大的自然数D．平面内到SKIPIF1<0三个顶点距离相等的所有点【答案】D【解析】因为A中“较胖”、B中“接近”、C中“很大”均没有明确的标准，所以不能构成集合.D中元素能够成集合.故选：D【例2】（2020·全国高一课时练习）由实数SKIPIF1<0所组成的集合中，含有元素的个数最多为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，这几个实数均为0；当SKIPIF1<0时，它们分别是SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，它们分别是SKIPIF1<0.最多 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个.故选：A本例题主要考查的是元素互异性，即一个集合中每个元素不能一样或重复【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）已知x，y均不为0，即SKIPIF1<0的所有可能取值组成的集合中的元素个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】当x，y同号时，原式的值是0；当x为正、y为负时，原式的值是2；当x为负、y为正时，原式的值是SKIPIF1<0.综上所述，SKIPIF1<0的所有可能取值组成的集合中的元素个数为3.故选：C2．（2020·全国高三其他（文））已知集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中元素的个数为（）A．1B．5C．6D．无数个【答案】C【解析】由题得SKIPIF1<0，所以A中元素的个数为6.故选C3．（2020·全国高一）已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为A．1或－1B．1或3C．－1或3D．1，－1或3【答案】B【解析】因为5∈{1，m＋2，m2＋4}，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，即m＝3或m＝±1.当m＝3时，M＝{1，5，13}；当m＝1时，M＝{1，3，5}；当m＝－1时，不满足互异性．所以m的值为3或1.考法二集合的表示方法【例2】（2020·全国高一）用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.（1）到A、B两点距离相等的点的集合（2）满足不等式SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的集合（3）全体偶数（4）被5除余1的数（5）20以内的质数（6）SKIPIF1<0（7）方程SKIPIF1<0的解集【答案】（1）集合SKIPIF1<0点SKIPIF1<0，无限集；（2）集合SKIPIF1<0，无限集；（3）集合SKIPIF1<0，无限集；（4）集合SKIPIF1<0，无限集；（5）集合SKIPIF1<0，有限集；（6）集合SKIPIF1<0，有限集；（7）集合SKIPIF1<0，有限集.【解析】（1）因为到A、B两点距离相等的点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以集合SKIPIF1<0点SKIPIF1<0，无限集.（2）由题意可知，集合SKIPIF1<0，无限集.（3）因为偶数SKIPIF1<0能被SKIPIF1<0整除，所以集合SKIPIF1<0，无限集.（4）由题意可知，集合SKIPIF1<0，无限集.（5）因为20以内的质数有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以集合SKIPIF1<0，有限集.（6）因为SKIPIF1<0，所以方程的解为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以集合SKIPIF1<0，有限集.（7）由题意可知，集合SKIPIF1<0，有限集.本例题主要考查集合的表示方法，列举法一般适用于有限集合且元素个数少；描述法一般适用于有限集合但元素个数多或者无限集合【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：（1）一年中有31天的月份的全体；（2）大于SKIPIF1<0小于12.8的整数的全体；（3）梯形的全体构成的集合；（4）所有能被3整除的数的集合；（5）方程SKIPIF1<0的解组成的集合；（6）不等式SKIPIF1<0的解集.【答案】（1）{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0是梯形SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0.【解析】（1）一年中有31天的月份的全体用列举法表示为{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}；（2）大于SKIPIF1<0小于12.8的整数的全体用列举法表示为SKIPIF1<0；（3）梯形的全体构成的集合用描述法表示为SKIPIF1<0是梯形SKIPIF1<0；（4）所有能被3整除的数的集合用描述法表示为SKIPIF1<0；（5）方程SKIPIF1<0的解组成的集合用列举法表示为SKIPIF1<0；（6）不等式SKIPIF1<0的解集用描述法表示为SKIPIF1<0.2．（2020·全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：（1）方程组SKIPIF1<0的解集；（2）方程SKIPIF1<0的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数SKIPIF1<0的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数SKIPIF1<0的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0.【解析】（1）解方程组SKIPIF1<0得SKIPIF1<0故解集可用描述法表示为SKIPIF1<0，也可用列举法表示为SKIPIF1<0.（2）方程SKIPIF1<0有两个相等的实数根1，因此可用列举法表示为SKIPIF1<0，也可用描述法表示为SKIPIF1<0.（3）集合的代表元素是点，可用描述法表示为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.（4）二次函数SKIPIF1<0的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对SKIPIF1<0，其中x，y满足SKIPIF1<0，则可用描述法表示为SKIPIF1<0.（5）二次函数SKIPIF1<0的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素y是实数，故可用描述法表示为SKIPIF1<0.考法三集合中元素的意义【例3】（2020·浙江高一课时练习）试说明下列集合各表示什么？SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【答案】答案见解析【解析】SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的取值集合，由SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的取值集合，由SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的代表元素为SKIPIF1<0，表示反比例函数SKIPIF1<0上的点构成的点集；SKIPIF1<0的代表元素为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示直线SKIPIF1<0上除了SKIPIF1<0以外的点构成的点集；SKIPIF1<0表示以方程“SKIPIF1<0”和“SKIPIF1<0”为元素的一个二元集.SKIPIF1<0表示以方程“SKIPIF1<0”和“SKIPIF1<0”为元素的一个二元集.本例题考查的是集合中的元素的意义，元素的意义可能是数集、点集等，一般用描述法表示，注意看描述法最左端。【一隅三反】1．（2020·上海高一课时练习）集合SKIPIF1<0是指（）A．第二象限内的所有点B．第四象限内的所有点C．第二象限和第四象限内的所有点D．不在第一、第三象限内的所有点【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故集合SKIPIF1<0是指第二、四象限中的点，以及在SKIPIF1<0轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点.故选：D2．（2020·嫩江市高级中学高一月考）下列各组中的M、P表示同一集合的是()①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】对于①，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合.对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合.对于③，两个集合表示同一集合.对于④，集合SKIPIF1<0研究对象是函数值，集合SKIPIF1<0研究对象是点的坐标，故不是同一个集合.由此可知本小题选C.考法四元素与集合的关系【例4】（2020·全国高一课时练习）用符号“SKIPIF1<0”或“SKIPIF1<0”填空：（1）2_____N；（2）SKIPIF1<0______Q；（3）SKIPIF1<0______Z；（4）3.14______R；（5）SKIPIF1<0______N；（6）SKIPIF1<0_____Q.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】(1)N为自然数集，2是自然数，所以SKIPIF1<0；(2)Q表示有理数，SKIPIF1<0为无理数，所以SKIPIF1<0；(3)Z为整数集，SKIPIF1<0是分数，所以SKIPIF1<0；(4)R表示实数集，所以SKIPIF1<0；(5)N为自然数集，-3不是自然数，所以SKIPIF1<0；(6)Q表示有理数，SKIPIF1<0是有理数，所以SKIPIF1<0.本例题考查元素与集合的关系，即SKIPIF1<0，开口朝向集合背靠元素【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）用符号“SKIPIF1<0”或“SKIPIF1<0”填空：0______N；SKIPIF1<0______N；0.5______Z；SKIPIF1<0______Z；SKIPIF1<0______Q；SKIPIF1<0______R.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0是自然数，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0不是自然数，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0不是整数，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0是有理数，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0是无理数，则SKIPIF1<0故答案为：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0；(5)SKIPIF1<0；(6)SKIPIF1<02．（2019·浙江湖州高一期中）设集合SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以选项A错误，SKIPIF1<0，所以选项B正确，SKIPIF1<0SKIPIF1<0A,SKIPIF1<0，所以选项C，D错误.故选：B3．（2020·浙江高一课时练习）已知集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0的关系是（）.A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：B.考法五求参数【例5】（2020·吴起高级中学高二月考（文））若SKIPIF1<0，则a=（）A．2B．1或－1C．1D．－1【答案】D【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，集合为SKIPIF1<0不满足互异性，舍去，当SKIPIF1<0时，集合为SKIPIF1<0，满足；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不满足互异性，舍去.故选：SKIPIF1<0.本例题根据题意求参数时，求完参数记得检验元素之间的互异性！！！【一隅三反】1．（2020·上海高一课时练习）若集合SKIPIF1<0中至多有一个元素，则实数SKIPIF1<0的取值范围是________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】因为集合SKIPIF1<0中至多有一个元素所以方程SKIPIF1<0至多有一个根，当SKIPIF1<0时解得SKIPIF1<0，满足题意当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0综上：SKIPIF1<0或SKIPIF1<02．（2020·上海市进才中学高二期末）已知集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为________．【答案】SKIPIF1<0或0【解析】若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合元素的互异性；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不符合元素的互异性，舍去若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合元素的互异性；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不符合元素的互异性，舍去；故答案为：SKIPIF1<0或0.3．（2020·浙江高一课时练习）已知集合SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0中有两个元素，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（2）若SKIPIF1<0中至多有一个元素，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（1）SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【解析】（1）由于SKIPIF1<0中有两个元素，∴关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有两个不等的实数根，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.故实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0时，方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有两个相等的实数根，则SKIPIF1<0中只有一个元素，此时SKIPIF1<0，若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0没有实数根，则SKIPIF1<0中没有元素，此时SKIPIF1<0.综上可知，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.