新高考数学（文）大二轮复习学案——函数第7节对数与对数函数

第七节对数与对数函数[最新考纲]1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌1握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图像.3.体会对数函数是2x一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝a(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．1．对数b如果a＝N(a＞0，且a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，概念其中a叫做对数的底数，N叫做真数.logaNa＝N性质blogaa＝b(a＞0，且a≠1)换底logcb换底公式：logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)ca公式logloga(M·N)＝logaM＋logaN运算Mloga＝logaM－logaNa＞0，且a≠1，M＞0，N＞0法则NnlogaM＝nlogaM(n∈R)2.对数函数的定义、图像与性质定义函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数a＞10＜a＜1图像定义域：(0，＋∞)值域：R性质当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)当0＜x＜1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＞0当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数3.反函数x指数函数y＝a(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．[常用结论]1．换底公式的两个重要结论1nn(1)logab＝；(2)logamb＝logab.logbam其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R且m≠0.2．对数函数的图像与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．()2(2)log2x＝2log2x.()1＋x(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．()1－x1(4)ylogax(a0a1)(1,0)(a,1)，－1对数函数＝＞且≠的图像过定点，且过点，a，函数图像不在第二、三象限．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改编1．(log29)·(log34)＝()11A.B.42C．2D．4lg9lg42lg32lg2D[(log29)·(log34)＝×＝×＝4.故选D.]lg2lg3lg2lg32．函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图像恒过点________．(3,1)[当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.所以函数的图像恒过点(3,1)．]⊙考点1对数式的化简与求值对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．ab111.设2＝5＝m，且＋＝2，则m等于()abA.10B．10C．20D．100A[由已知，得a＝log2m，b＝log5m，1111则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.ablog2mlog5m解得m＝10.]21－log63＋log62·log6182．计算：＝________.log64261－2log63＋log63＋log6·log66×331[原式＝log64221－2log63＋log63＋1－log63＝log6421－log63log66－log63log62＝＝＝＝1.]2log62log62log62对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论．在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形．⊙考点2对数函数的图像及应用对数函数图像的识别及应用 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 (1)在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．1(1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝x，y＝aloga(x＋错误!未指定书签。)(a＞0，且a≠1)的图像可能是()ABCD(1)D(2)B1.(2019·合肥模拟)函数y＝ln(2－|x|)的大致图像为()ABCDA[令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C，D.331当x＝时，f＝ln＜0，排除选项B，故选A.]2222．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是()A．a＞1，c＞1B．a＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1D[由对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换知0＜a＜1,0＜c＜1.]x3．设方程10＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则()A．x1x2＜0B．x1x2＝0C．x1x2＞1D．0＜x1x2＜1xD[作出y＝10与y＝|lg(－x)|的大致图像，如图．显然x1＜0，x2＜0.不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，x1x2所以10＝lg(－x1)，10＝－lg(－x2)，x1x2此时10＜10，即lg(－x1)＜－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故选D.]⊙考点3对数函数的性质及应用解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．(2)底数与1的大小关系．(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．比较大小0.2(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.5，则a，b，c的大小关系为()A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b110.2151A[因为a＝log52＜log55＝，b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，c＝0.5＝＞，2220.20.5＜1，所以a＜c＜b，故选A.]对数值大小比较的主要方法(1)化同底数后利用函数的单调性．(2)化同真数后利用图像比较．(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较．和对数函数有关的复合函数解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤2已知函数f(x)＝log4(ax＋2x＋3)，若f(1)＝1，求f(x)的单调区间．[解]因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，2所以f(x)＝log4(－x＋2x＋3)．2由－x＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，函数f(x)的定义域为(－1,3)．2令g(x)＝－x＋2x＋3，则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．1．若定义在区间(－1,0)内的函数f(x)＝log2a(x＋1)满足f(x)＞0，则实数a的取值范围是()11A.0，B.0，221C.，＋∞D．(0，＋∞)21A[∵－1＜x＜0，∴0＜x＋1＜1.又∵f(x)＞0，∴0＜2a＜1，∴0＜a＜.]222．已知a＞0，若函数f(x)＝log3(ax－x)在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是________．12，＋∞[要使f(x)＝log3(ax－x)在[3,4]上单调递增，32则y＝ax－x在[3,4]上单调递增，2且y＝ax－x＞0恒成立，1≤3，1即2a解得a＞.]39a－3＞0，