高中数学基础知识汇总

高中数学知识归纳汇总————冲刺背诵篇第一部分集合1．理解集合中元素的意义是解决集合问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是应变量的取值？还是曲线上的点？…；2．数形结合是解集合问题的常用 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3．（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n－1；非空真子集的数为2n-2；（2）注意：讨论的时候不要遗忘了的情况。（3）4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。第二部分函数与导数1．映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；⑤换元法；⑥利用均值不等式；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法3．复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：①若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出；②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。注意：外函数的定义域是内函数的值域。4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；⑵是奇函数；⑶是偶函数；⑷奇函数在原点有定义，则；（扬州二模填空题第五题再去想一想）⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；6．函数的单调性⑴单调性的定义：①在区间上是增函数当时有；②在区间上是减函数当时有；⑵单调性的判定1定义法：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法（见2（2））；④图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。7．函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期①；②；③；④；⑤；⑶函数周期的判定①定义法（试值）②图像法③公式法（利用（2）中结论）⑷与周期有关的结论①或的周期为；②的图象关于点中心对称周期为2；③的图象关于直线轴对称周期为2；④的图象关于点中心对称，直线轴对称周期为4；8．基本初等函数的图像与性质⑴幂函数：（；⑵指数函数：；⑶对数函数:；⑷正弦函数:；⑸余弦函数：；（6）正切函数：；⑺一元二次函数：；⑻其它常用函数：1正比例函数：；②反比例函数：；特别的（其图像就是双曲线只不过中心不在坐标原点）2函数；9．二次函数：⑴解析式：①一般式：；②顶点式：，为顶点；③零点式：。⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。10．函数图象：⑴图象作法：①描点法（特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法⑵图象变换：1平移变换：ⅰ，———左“+”右“-”；ⅱ———上“+”下“-”；2伸缩变换：ⅰ，（———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；ⅱ，（———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍；3对称变换：ⅰ；ⅱ；ⅲ；4翻转变换：ⅰ———右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；ⅱ———上不动，下向上翻（||在下面无图象）；11．函数图象（曲线）对称性的证明(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然；（注意上述两点的区别！）注：①曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a－x,y)=0;③曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);④f(a+x)=f(b－x)（x∈R）y=f(x)图像关于直线x=对称；特别地：f(a+x)=f(a－x)（x∈R）y=f(x)图像关于直线x=a对称；⑤函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=对称；12．函数零点的求法：⑴直接法（求的根）；⑵图象法；⑶二分法.13．导数⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作；⑵常见函数的导数公式:①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧。⑶导数的四则运算法则：⑷（理科）复合函数的导数：⑸导数的应用：①利用导数求切线：注意：ⅰ）所给点是切点吗？ⅱ）所求的是“在”还是“过”该点的切线？②利用导数判断函数单调性：ⅰ是增函数；ⅱ为减函数；ⅲ为常数；③利用导数求极值：ⅰ求导数；ⅱ求方程的根；ⅲ列 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 得极值。④利用导数最大值与最小值：ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。14．（理科）定积分⑴定积分的定义：⑵定积分的性质：①（常数）；②；③（其中。⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积：；3求变速直线运动的路程：；③求变力做功：。第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度⑵弧长公式：；扇形面积公式：。2．三角函数定义：角中边上任意一点为，设则：3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”；5．⑴对称轴：；对称中心：；⑵对称轴：；对称中心：；（上述结论不需要记忆，但要知道如何得到上述的结论）6．同角三角函数的基本关系：；7.三角函数的单调区间的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是的递增区间是的递减区间是8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①②③。．二9.倍角公式：①；②；③。10．正、余弦定理：⑴正弦定理：（是外接圆直径）注：①；②；③。⑵余弦定理：等三个；注：等三个。11。几个公式:⑴三角形面积公式：；⑵内切圆半径r=；外接圆直径2R=11．已知时三角形解的个数的判定：第四部分立体几何1．三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为。（斜二测画法如何作图你还知道吗？）2．表（侧）面积与体积公式：⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h：⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底；②侧面积：S侧=；③体积：V=（S+）h；⑷球体：①表面积：S=；②体积：V=。3．位置关系的证明（主要方法）：⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行线面平行。⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。注：理科还可用向量法。4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）⑴异面直线所成角的求法：1平移法：平移直线，构造三角形；②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。⑵直线与平面所成的角：①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin。注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。5．结论：⑴长方体从一个顶点出发地三条棱长分别为a，b，c，则对角线长为，全面积为2ab+2bc+2ca；长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则：cos2+cos2+cos2=1；sin2+sin2+sin2=2⑵正方体的棱长为a，则对角线长为，全面积为6，体积为⑶长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长；(4)正四面体的性质：设棱长为，则正四面体的：1高：；②对棱间距离：；③内切球半径：；外接球半径：；第五部分直线与圆1．直线方程⑴点斜式：；⑵斜截式：；⑶截距式：；⑷两点式：；⑸一般式：，（A，B不全为0）。（直线的方向向量：（，法向量（2．求解线性 规划 污水管网监理规划下载职业规划大学生职业规划个人职业规划职业规划论文 问题的步骤是：（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。3．两条直线的位置关系：4．直线系：5．几个公式⑴设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：（）；⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：；⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是；6．圆的方程：⑴标准方程：①；②。⑵一般方程：（注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。（圆的方程有2种，在利用待定系数法求圆的方程时2种方程选取方案如何确定）8．圆系：⑴；注：当时表示两圆交线。⑵。9．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）①相切；②相交；（直线与圆相交所得的弦长）③相离。⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）①相离；②外切；③相交；④内切；⑤内含。10．与圆有关的结论：⑴过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2；过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；⑵以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0。第六部分圆锥曲线（此部分重点内容为三种圆锥曲线的方程、几何性质，下面所列可能是你会疏忽的一些内容）1．定义：⑴椭圆：；⑵双曲线：；⑶抛物线：（圆锥曲线还有种定义叫做统一定义，也叫第二定义，你知道吗？）2．结论⑴焦半径：①椭圆：（e为离心率）；（左“+”右“-”）；2抛物线：（）（若抛物线的为，他的焦半径公式请你写一写：）⑵弦长公式：；注：（Ⅰ）抛物线焦点弦长：＝x1+x2+p（Ⅱ）通径（最短弦）：①椭圆、双曲线：；②抛物线：2p。⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：（同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线）；(4)双曲线中的结论：①双曲线（a>0,b>0）的渐近线：；②共渐进线的双曲线标准方程为为参数，≠0）；③双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直；3．直线与圆锥曲线问题解法：⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？②直线斜率不存在时考虑了吗？③判别式验证了吗？⑵设而不求（代点相减法或叫点差法）：--------处理弦中点问题步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得；③解决问题。4．求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。第七部分平面向量⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则：①a∥b(b≠0)a=b（x1y2－x2y1=0；②a⊥b(a、b≠0)a·b=0x1x2+y1y2=0.⑵a·b=|a||b|cos=x2+y1y2；注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；3a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。⑶cos=；（4）⑷三点共线的充要条件P，A，B三点共线；附：（理科）P，A，B，C四点共面。第八部分数列1．定义：⑴等差数列；⑵等比数列；2．等差、等比数列性质等差数列等比数列通项公式前n项和性质①an=am+(n－m)d,①an=amqn-m;②m+n=p+q时am+an=ap+aq②m+n=p+q时aman=apaq③成AP③成GP④成AP,④成GP,3．数列通项的求法：⑴定义法（利用AP,GP的定义）；（2）累加法（；（3）公式法：⑷累乘法（型）；⑸变形构造法（、等类型）；4．前项和的求法：（1）倒序相加法；（2）错位相减法。（3）裂项相消法；（4）分组求和法5．等差数列前n项和最值的求法：⑴（数列思想）；⑵（函数思想）利用二次函数的图象与性质。第九部分不等式1．均值不等式：注意：①一正二定三相等；②变形，。2．不等式的性质：⑴；⑵；⑶；；⑷；；；⑸；（6）。4．不等式等证明（主要）方法：⑴比较法：作差或作比；⑵综合法；⑶分析法。第十部分复数1．概念：⑴z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=z2≥0；⑵z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R)；⑶z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z＋＝0（z≠0）z2<0；⑷a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)；2．复数的代数形式及其运算：设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则：（1）z1±z2=(a+b)±(c+d)i；⑵z1.z2=(a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+(ad+bc)i；⑶z1÷z2(z2≠0)（方法：分子分母同时乘以分母的共轭复数）;3．共轭的性质：⑴；⑵；⑶；⑷。4．模的性质：（1）；（2）；（3）；第十一部分概率1．事件的关系：（1）事件A与事件B互斥：不可能同时发生的两个事件A和B叫做互斥事件；﹙2﹚对立事件：两个互斥事件A、B必有一个发生，则这两个事件叫做对立事件2．概率公式：（1）互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；（2）对立事件概率公式：（3）古典概型：；（4）几何概型：=；第十二部分统计与统计案例1．抽样方法⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。注：①每个个体被抽到的概率为；②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf ，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号；④按预先制定的规则抽取样本。⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数2．总体特征数的估计：⑴样本平均数；⑵样本方差；⑶样本标准差=；3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：注：⑴>0时，变量正相关；<0时，变量负相关；⑵①越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。（3）判断两个变量线性相关性还可以通过画出散点图进行分析4．独立性检验（分类变量关系）：随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。第十三部分算法初步1．程序框图：⑴图形符号：①终端框（起止况）；②输入、输出框；⑥连接点。③处理框（执行框）；④判断框；⑤流程线；⑵程序框图分类:①顺序结构：②条件结构：③循环结构：r=0?否求n除以i的余数输入n是n不是质素n是质数i=i+1i=2in或r=0?否是注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型）——先判断条件，再执行循环体；Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。2．基本算法语句：⑴输入语句：INPUT“提示内容”；变量；输出语句：PRINT“提示内容”；表达式赋值语句：变量=表达式⑵条件语句：①②IF条件THENIF条件THEN语句体语句体1ENDIFELSE语句体2ENDIF⑶循环语句：①当型：②直到型:WHILE条件DO循环体循环体WENDLOOPUNTIL条件3．算法案例：⑴辗转相除法与更相减损法-----求两个正整数的最大公约数；⑵秦九韶算法------求多项式的值；⑶进位制----------各进制数之间的互化。第十四部分常用逻辑用语与推理证明1．四种命题：⑴原命题：若p则q；⑵逆命题：若q则p；⑶否命题：若p则q；⑷逆否命题：若q则p注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。2．充要条件的判断：（1）定义法----正、反方向推理；（2）利用集合间的包含关系：例如：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；3．逻辑连接词：⑴且(and)：命题形式pq；pqpqpqp⑵或（or）：命题形式pq；真真真真假⑶非（not）：命题形式p.真假假真假假真假真真假假假假真4．全称量词与存在量词⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示；全称命题p：；全称命题p的否定p：。⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；特称命题p：；特称命题p的否定p：；第十五部分推理与证明1．推理：⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。注：类比推理是特殊到特殊的推理。⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。二．证明⒈直接证明⑴综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。⑵分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。2．间接证明------反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。附：数学归纳法（仅限理科）一般的证明一个与正整数有关的一个命题，可按以下步骤进行：⑴证明当取第一个值是命题成立；⑵假设当命题成立，证明当时命题也成立。那么由⑴⑵就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。这种证明方法叫数学归纳法。注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；4的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。第十六部分理科选修部分1．排列、组合和二项式定理⑴排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)=(m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列=n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;⑵组合数公式：（m≤n）,；⑶组合数性质：；⑷二项式定理：①通项：②注意二项式系数与系数的区别；⑸二项式系数的性质：①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若n为偶数，中间一项（第＋1项）二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第和＋1项）二项式系数最大；③(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。2.概率与统计⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：pi≥0,i=1,2,…；p1+p2+…=1;②离散型随机变量：Xx1X2…xn…PP1P2…Pn…期望：EX＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…;方差：DX＝;注：；③两点分布：X01期望：EX＝p；方差：DX＝p(1-p).P1－pp1超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则其中，。称分布列X01…mP…为超几何分布列，称X服从超几何分布。⑤二项分布（独立重复试验）：若X～B（n,p）,则EX＝np,DX＝np（1-p）;注：。⑵条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。注：①0P（B|A）1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。⑷正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；（6）正态曲线的性质：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝对称；③曲线在x＝处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1；2当一定时，曲线随质的变化沿x轴平移；3当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。注：P=0.6826；P=0.9544P=0.9974AbaCh其中h=bsinA,⑴A为锐角时：①ab时，一解（锐角）。A直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注有斜率且不可写成（验证）分式直线方程平行直线系垂直直线系相交直线系S1(n=1)Sn－Sn-1(n≥2)an=X01P1－ppPAGE1