专题28 快速解决直线与圆锥曲线综合问题解题技巧-名师揭秘2019高考数学（理）命题热点全覆盖（原卷版）

专题28快速解决直线与圆锥曲线综合问题解题技巧一．【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义；[来源:学科网]2．掌握焦点三角形的应用和几何意义；3.掌握圆锥曲线方程的求法；4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系；5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。一．【知识点总结】1.椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．2．椭圆的标准方程(1)，焦点，其中．(2)，焦点，其中3．椭圆的几何性质以为例(1)范围：．(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心：(3)顶点：长轴端点：，短轴端点：；长轴长，短轴长，焦距.(4)离心率越大，椭圆越扁，越小，椭圆越圆．(5)的关系：.4．双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．5．双曲线的标准方程(1)，焦点，其中．(2)，焦点，其中6．双曲线的几何性质以为例(1)范围：．(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心：(3)顶点：实轴端点：，虚轴端点：；实轴长，虚轴长，焦距.(4)离心率(5)渐近线方程.学-科网7．抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，直线叫抛物线的准线.8．抛物线的标准方程(1)．对应的焦点分别为：.(2)离心率.三．【典例分析及训练】（一）圆锥曲线定义的灵活应用例1．已知抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线相交于点，，直线交抛物线于另一点，直线交抛物线于另一点，若，则__________．练习1．已知是抛物线的焦点，，是抛物线上两点，为坐标原点，若，则____．练习2.已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于__________.练习3．有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为，，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠F1AF2＝90°，则的值为_______．（二）中点弦问题例2．已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，点是弦的中点，则直线的方程为__________．[来源:学|科|网Z|X|X|K]练习1．已知椭圆：，为坐标原点，作斜率为的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，直线与的夹角为，且，则（）A．B．C．D．练习2．已知椭圆和点、，若椭圆的某弦的中点在线段AB上，且此弦所在直线的斜率为k，则k的取值范围为（）A．B．C．D．练习3．若椭圆与直线交于两点，过原点与线段的中点的直线的斜率为，则的值为（）[来源:Zxxk.Com]A．B．C．D．练习4．已知椭圆：的右焦点为,且离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边、、的中点分别为、、，且三条边所在直线的斜率分别为、、，且、、均不为0.为坐标原点，若直线、、的斜率之和为1.则（）A．B．-3C．D．（三）圆锥曲线有关的最值和范围问题例3．已知点在椭圆上，则的最大值为__________．练习1．已知椭圆的左右焦点分别为，，动弦过左焦点.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是___.练习2．已知是抛物线上的点，则的最大值是_____.练习3．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，．这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是_____．（四）圆锥曲线的几何意义例4．若双曲线的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为___．学科=网练习1．如图，，为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于其中一点，与轴交于点，且.直线与的外角平分线交于点，则的周长为_____．练习2．过双曲线：的左焦点作圆的切线，设切点为，延长交抛物线：于点，其中有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率为_______.练习3.已知点是抛物线上的一点，过作直线的垂线，垂足为，直线经过原点，由上的一点向圆引两条切线，分别切圆于，两点，且为直角三角形，则的最小值是______.（五）圆锥曲线的方程的灵活应用例5．已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点.下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 给出坐标的五个点中，有两个点在上，另有两个点在上.则椭圆的方程为_____，的左焦点到的准线之间的距离为_______. [来源:学科网] 练习1．给出下列命题，其中所有正确命题的序号是__________．①抛物线的准线方程为；②过点作与抛物线只有一个公共点的直线仅有1条；③是抛物线上一动点，以为圆心作与抛物线准线相切的圆，则此圆一定过定点.④抛物线上到直线距离最短的点的坐标为.练习2．在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点．若为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是_____（六）定点问题例6.已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为2时，坐标原点O到l的距离为．求a、b的值；上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的点P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．练习1．已知椭圆的离心率为，短轴长为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；[来源:学科网ZXXK]（Ⅱ）过点作两条直线，分别交椭圆于两点（异于），当直线，的斜率之和为4时，直线恒过定点，求出定点的坐标.练习2.已知椭圆：过点，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点为的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.练习3.已知点和直线，为曲线上一点，为点到直线的距离且满足.（1）求曲线的轨迹方程；（2）过点作曲线的两条动弦，若直线斜率之积为，试问直线是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.练习4.已知椭圆的离心率为，短轴长为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.（七）定值问题例7.已知椭圆的左右焦点分别为与，椭圆上的点到右焦点的最短距离为，为坐标平面上的一点，过点作直线和分别与椭圆交于点，和，，如图所示.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点在双曲线（顶点除外）上运动，证明为定值，并求出此定值.练习1．已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，其离心率为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作直线（轴除外）与椭圆交于不同的两点，，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点坐标及定值，若不存在，说明理由.练习2．已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的中垂线与交于点.（Ⅰ）求点的轨迹的方程.（Ⅱ）斜率不为0的动直线过点且与轨迹交于，两点，为坐标原点.是否存在常数，使得为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.练习3.已知椭圆，离心率，过点的动直线与椭圆相交于，两点.当轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆的上顶点，证明为定值.（八）定点定值综合例8.已知椭圆，离心率，过点的动直线与椭圆相交于，两点.当轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）轴上是否存在定点，使得为定值？并说明理由.练习1.已知圆，圆过点且与圆相切，设圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）点，为曲线上的两点（不与点重合），记直线的斜率分别为，若，请判断直线是否过定点.若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．练习2．椭圆的右焦点为，为圆与椭圆的一个公共点，.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）如图，过作直线与椭圆交于，两点，点为点关于轴的对称点.（1）求证：；（2）试问过，的直线是否过定点？若是，请求出该定点；若不是，请说明理由.（九）范围问题例1．已知椭圆的焦距为，离心率为，其右焦点为，过点作直线交椭圆于另一点.（Ⅰ）若，求的面积；（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点、，设为上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.练习1．已知椭圆直线，若椭圆上存在两个不同的点，关于对称，设的中点为.（1）证明：点在某定直线上；（2）求实数的取值范围.练习2．已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率分别为，满足．（i）当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由；（ii）求面积的取值范围．练习3．已知椭圆C：的左右顶点为A、B，右焦点为F，一条准线方程是，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P、Q为椭圆C上异于A、B的两点，点R为PQ的中点求椭圆C的标准方程；直线PB交直线于点M，记直线PA的斜率为，直线FM的斜率为，求证：为定值；若，求直线AR的斜率的取值范围．