2010高考数学二轮复习专题一 三角函数

明光学校2009-2010高三文科中档题训练 专题一 三角函数 · 三角函数同角关系与诱导公式 1.．已知 ，求（1） ；（2） 的值. 解：（1） ； (2) . 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。 2. （07安徽）已知为的最小正周期， ，且．求的值． 解：因为为的最小正周期，故． 因，又． 故． 由于，所以 3.（湖北卷16）.已知函数 （Ⅰ）将函数 化简成 （ ， ， ）的形式； （Ⅱ）求函数 的值域. 本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分） 解：（Ⅰ） EMBED Equation.DSMT4 　 　＝ （Ⅱ）由 得 在 上为减函数，在 上为增函数， 又 （当 ）， 即 故g(x)的值域为 · 三角化简与求值 4．已知向量 ， (1) 求 的值； (2) (2)若 的值。 解：(1)因为 所以 又因为 ，所以 ， 即 ； (2) ， 又因为 ，所以 ， ，所以 ，所以 5. (2009山东卷文)设函数f(x)=2在处取最小值. （1）求.的值; （2）在ABC中,分别是角A,B,C的对边,已知, 求角C. 解 （1） 因为函数f(x)在处取最小值，所以,由诱导公式知,因为,所以.所以 （2）因为,所以,因为角A为ABC的内角,所以.又因为所以由正弦定理,得,也就是, 因为,所以或. 当时,;当时,. 6. （四川卷）已知 是三角形 三内角，向量 ，且 . （Ⅰ）求角 ；（Ⅱ）若 ，求 . 18． 解：（Ⅰ）∵ ∴ 即 , ∵ ∴ ∴ （Ⅱ）由题知 ，整理得 ∴ ∴ ∴ 或 而 使 ，舍去 ∴ ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 · 三角函数的图象（五点法画图，求解析式，图象特征） 7.（全国卷Ⅰ）设函数 图像的一条对称轴是直线 。 （Ⅰ）求 ；（Ⅱ）求函数 的单调增区间；（Ⅲ）画出函数 在区间 上的图像。 解：（Ⅰ） 的图像的对称轴， （Ⅱ）由（Ⅰ）知 由题意得 所以函数 x 0 y －1 0 1 0 （Ⅲ）由 故函数 8.（2009福建卷文）已知函数 其中 ， （I）若 求 的值； （Ⅱ）在（I）的条件下，若函数 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，求函数 的解析式；并求最小正实数 ，使得函数 的图像象左平移 个单位所对应的函数是偶函数。 解法一： （I）由 得 即 又 21世纪教育网 （Ⅱ）由（I）得， 依题意， 又 故 函数 的图像向左平移 个单位后所对应的函数为 是偶函数当且仅当 即 从而，最小正实数 解法二： （I）同解法一 （Ⅱ）由（I）得， 依题意， 21世纪教育网 又 ，故 函数 的图像向左平移 个单位后所对应的函数为 是偶函数当且仅当 对 恒成立 亦即 对 恒成立。 即 对 恒成立。 故 21世纪教育网 从而，最小正实数 9.（山东卷）已知函数f(x)=A (A>0, >0,0< < 函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求 ; （2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008). 解：（I） 的最大值为2， . 又 其图象相邻两对称轴间的距离为2， ， . 过 点， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 又 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . （II）解法一： ， . 又 的周期为4， ， 解法二： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 又 的周期为4， ， 10. （浙江卷）如图，函数y=2sin(π+φ),x∈R,(其中0≤φ≤ )的图象与y轴交于点（0，1）. (Ⅰ)求φ的值； (Ⅱ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求 余弦 本题主要考查三角函数的图像，已知三角函数求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。 解：（I）因为函数图像过点 ，所以 即 因为 ，所以 . （II）由函数 及其图像，得 所以 从而 ， · 三角函数的性质（周期，最值，单调性，奇偶性 11.、（2008惠州三模）已知函数 （I）求函数 的最小正周期； （II）求函数 的值域. 解： EMBED Equation.3 　　　　　　 　 　（I） 　　　（II）∴ 　　　∴ 　　∴　 　　　　所以 的值域为： 12.（四川卷）求函数 的最大值与最小值。 【解】： 由于函数 在 中的最大值为 最小值为 故当 时 取得最大值 ，当 时 取得最小值 【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值； 【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键； 13. 例5．已知函数 （Ⅰ）将f(x)写成 的形式，并求其图象对称中心的横坐标； （Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域. 解： （Ⅰ）由 =0即 即对称中心的横坐标为 （Ⅱ）由已知b2=ac 即 的值域为 . 综上所述， ， 值域为 . 说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力 14.（山东卷17）已知函数f(x)＝ 为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 （Ⅰ）美洲f（ ）的值； （Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间. 解：（Ⅰ）f(x)＝ ＝ ＝2sin( - ) 因为　f(x)为偶函数， 所以　对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立， 因此　sin（- - ）＝sin( - ). 即-sin cos( - )+cos sin( - )=sin cos( - )+cos sin( - ), 整理得　sin cos( - )=0.因为　 ＞0，且x∈R,所以　cos（ - ）＝0. 又因为　0＜ ＜π，故　 - ＝ .所以　f(x)＝2sin( + )=2cos . 由题意得　　　 故　　　　f(x)=2cos2x. 因为　　　 （Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个 个单位后，得到 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到 的图象. 　 当　　　　　2kπ≤ ≤2 kπ+ π (k∈Z), 即　　　　　4kπ＋≤ ≤x≤4kπ+ (k∈Z)时，g(x)单调递减. 因此g(x)的单调递减区间为　 　　　　(k∈Z) · 三角函数模型 15．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为 ，圆环的圆心距离地面的高度为 ，蚂蚁每分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点 处. (1)试确定在时刻 时蚂蚁距离地面的高度 ; (2)画出函数 在 时的图象； (3)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面超过 ？ 解．⑴　 　⑵　图象如右实线部分 ⑶　由 ．解得 ． 所以一圈内，有 分钟的时间蚂蚁距离地面超过 米． 16. 18．有一块半径为 ，中心角为 的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值． 解答．如下图，扇形 的内接矩形是 ，连 ，则 ，设 ，则 ,在 中， ，∴ . ， 当且仅当 ,即 当 为弧 中点， 的值最大且最大值为 . 17【江苏·泰州实验】18．（本题满分15分）由于卫生的 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 游泳池要经常换水（进一些干净的水同时放掉一些脏水）, 游泳池的水深经常变化,已知泰州某浴场的水深 （米）是时间 ，(单位小时)的函数，记作 ，下表是某日各时的水深数据 t（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 2 5 2 0 1 5 2 0 2 49 2 1 51 1 99 2 5 经长期观测的曲线 可近似地看成函数 （Ⅰ）根据以上数据，求出函数 的最小正周期T，振幅A及函数表达式； （Ⅱ）依据规定，当水深大于2米时才对游泳爱好者开放，请依据（1）的结论， 判断一天内的上午8 00至晚上20 00之间，有多少时间可供游泳爱好者进行运动 【解】 （1）由表中数据，知 ， 由 得 由 ,得 所以， 振幅A= ，∴y= ………………….8分 (2)由题意知，当 时，才可对冲浪者开放 ∴ >2, >0 ∴– , 即有 ， 由 ,故可令 ,得 或 或 ……1.4分 ∴在规定时间内有6个小时可供游泳爱好者运动即上午9 00至下午15 00 ……….15分 · 解三角形 18.（ 2009福建）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asin x(A>0, >0) x [0,4]的图象，且图象的最高点为S(3，2 )；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定 MNP=120 （I）求A , 的值和M，P两点间的距离； （II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想， 解法一 （Ⅰ）依题意，有 ， ，又 ， 。 当 是， 又 （Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5， 设∠PMN= ，则0°< <60° 由正弦定理得 , 故 0°< <60°， 当 =30°时，折线段赛道MNP最长 亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长 解法二： （Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5， 由余弦定理得 ∠MNP= 即 故 从而 ，即 当且仅当 时，折线段道MNP最长 注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：① ；② ；③点N在线段MP的垂直平分线上等 19（2009湖北卷文） 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且 (Ⅰ)确定角C的大小： （Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。 解（1）由及正弦定理得， 是锐角三角形， （2）解法1：由面积公式得 由余弦定理得 由②变形得 解法2：前同解法1，联立①、②得 消去b并整理得解得 所以故 20. 直角△ABC 中，AB＝2，BC＝1，分别在AB，BC,CA上取点D、E、F，使△DEF为正三角形，求△DEF边长的最小值． 解：设∠FEC＝ ，则∠EFC＝90°－ ， ∠AFD＝180°-60°-（90°- ）＝30°＋ ， ∴∠ADF＝180°-30°-（30°＋ ）＝120°- ， 再设CF＝x，则AF＝ ， 在△ADF中有 ， 由于x＝EF·sin ＝DF·sin ， ∴ ，化简得DF＝ ． 21. （浙江卷）在中，角所对的边分别为，且满足，． （I）求的面积； （II）若，求的值． 解 （1）因为，，又由 得， （2）对于，又，或，由余弦定理得 ， · 三角与向量 22.．已知向量 ，且 ， (1)求函数 的表达式； (2)若 ，求 的最大值与最小值。 解：(1) ， ， ，又 ， 所以 ， 所以 ，即 ； (2)由(1)可得，令 导数 ，解得 ，列表如下： t －1 (－1，1) 1 (1，3) 导数 0 － 0 + 极大值 递减 极小值 递增 而 所以 。 h � EMBED PBrush ��� t O 2/3 4/3 1 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 1 5/3 1/3 O M N A B P Q O M N A B P Q PAGE 2 _1274855267.unknown _1298186983.unknown _1306044461.unknown _1306655178.unknown _1306655278.unknown _1306655387.unknown _1306655429.unknown _1306655492.unknown _1306655520.unknown _1306655545.unknown _1306655580.unknown _1329972268.unknown _1306655556.unknown _1306655525.unknown _1306655511.unknown _1306655455.unknown _1306655463.unknown _1306655444.unknown _1306655415.unknown _1306655424.unknown _1306655394.unknown _1306655345.unknown _1306655370.unknown _1306655381.unknown _1306655361.unknown _1306655312.unknown _1306655330.unknown _1306655294.unknown _1306655225.unknown _1306655242.unknown _1306655266.unknown _1306655235.unknown _1306655206.unknown _1306655213.unknown _1306655195.unknown _1306045128.unknown _1306655109.unknown _1306655157.unknown _1306655162.unknown _1306655125.unknown _1306045282.unknown _1306045398.unknown _1306045615.unknown _1306045639.unknown _1306045437.unknown _1306045355.unknown _1306045177.unknown _1306044778.unknown _1306044827.unknown _1306045095.unknown _1306044794.unknown _1306044590.unknown _1306044731.unknown _1306044532.unknown _1305998279.unknown _1306043927.unknown _1306044060.unknown _1306044273.unknown _1306044301.unknown _1306044092.unknown _1306044007.unknown _1306044042.unknown _1306043955.unknown _1306043626.unknown _1306043825.unknown _1306043861.unknown _1306043651.unknown _1305998307.unknown _1305998314.unknown _1305998300.unknown _1298189462.unknown _1305998198.unknown _1305998249.unknown _1305998273.unknown _1305998216.unknown _1305869747.unknown _1305998175.unknown _1305998180.unknown _1305869965.unknown _1305998162.unknown _1305870012.unknown _1305869877.unknown _1298215693.unknown _1305868637.unknown _1305869732.unknown _1298215327.unknown _1298215670.unknown _1298215250.unknown _1298215308.unknown _1298187000.unknown _1298187014.unknown _1298187033.unknown _1298187029.unknown _1298187005.unknown _1298186992.unknown _1298186996.unknown _1298186987.unknown _1297979523.unknown _1298146810.unknown _1298186801.unknown _1298186975.unknown _1298186979.unknown _1298186971.unknown _1298186765.unknown _1298186771.unknown _1298186785.unknown _1298148029.unknown _1298151367.unknown _1298146784.unknown _1298146797.unknown _1298146801.unknown _1298146792.unknown _1298146753.unknown _1298146767.unknown _1298146736.unknown _1292069698.unknown _1292571662.unknown _1292571724.unknown _1292571794.unknown _1292571922.unknown _1297979513.unknown _1292571821.unknown _1292571757.unknown _1292571682.unknown _1292571412.unknown _1292571471.unknown _1292571636.unknown _1292571514.unknown _1292571442.unknown _1292571300.unknown _1292571382.unknown _1292571249.unknown _1292066830.unknown _1292066923.unknown _1292069684.unknown _1292066870.unknown _1292066758.unknown _1292066800.unknown _1292066727.unknown _1274525601.unknown _1274600001.unknown _1274688061.unknown _1274688510.unknown _1274854337.unknown _1274854367.unknown _1274854383.unknown _1274854355.unknown _1274851487.unknown _1274851532.unknown _1274688593.unknown _1274688709.unknown _1274689012.unknown _1274688678.unknown _1274688522.unknown _1274688285.unknown _1274688489.unknown _1274688436.unknown _1274688466.unknown _1274688412.unknown _1274688397.unknown _1274688196.unknown _1274688237.unknown _1274688100.unknown _1274600009.unknown _1274685278.unknown _1274685737.unknown _1274687982.unknown _1274688019.unknown _1274685763.unknown _1274685867.unknown _1274685747.unknown _1274685336.unknown _1274685637.unknown _1274685298.unknown _1274600013.unknown _1274684993.unknown _1274685266.unknown _1274600014.unknown _1274600011.unknown _1274600012.unknown _1274600010.unknown _1274600005.unknown _1274600007.unknown _1274600008.unknown _1274600006.unknown _1274600003.unknown _1274600004.unknown _1274600002.unknown _1274526023.unknown _1274527355.unknown _1274599999.unknown _1274600000.unknown _1274527827.unknown _1274526129.unknown _1274527283.unknown _1274526089.unknown _1274525886.unknown _1274525973.unknown _1274525999.unknown _1274525950.unknown _1274525774.unknown _1274525815.unknown _1274525740.unknown _1165918369.unknown _1181022156.unknown _1211449399.unknown _1211483022.unknown _1211788988.unknown _1274525474.unknown _1274525540.unknown _1212067081.unknown _1234568110.unknown _1234568114.unknown _1264507935.unknown _1264508006.unknown _1264508039.unknown _1264508088.unknown _1264508107.unknown _1264508047.unknown _1264508030.unknown _1264507998.unknown _1234568116.unknown _1261240239.unknown _1261240310.unknown _1234568115.unknown _1234568112.unknown _1234568113.unknown _1234568111.unknown _1234568106.unknown _1234568108.unknown _1234568109.unknown _1234568107.unknown _1234568104.unknown _1234568105.unknown _1212067107.unknown _1211789634.unknown _1212067077.unknown _1212067079.unknown _1212067080.unknown _1212067078.unknown 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