专题三函数与导数第一讲函数图像与性质知识体系的构建考点解读 高考考点 考点解读 函数的概念及其
表
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示 1.求具体函数的定义域、值域2.以分段函数为载体考查求函数值或已知函数值求字母的值（或取值范围）等 函数的图象及其应用 1.以具体函数的解析式选择图象或知图象选解析式2.利用函数的图象研究函数的性质（特别是单调性、最值、零点）、方程解的问题及解不等式、比较大小 函数的性质及其应用 确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值综合应用函数的性质求值（取值范围）、比较大小等，常与不等式相结合核心知识整合考点1：函数概念及其表示1.函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则.2.分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数.[典型例题]1.函数的定义域是()A.B.C.D.[
答案
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]：A[解析]依题可知应满足，即，∴，∴定义域为.2.已知函数的值域是,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.[答案]：C[解析]二次函数的图象是开口向下的抛物线,的最大值为4,且在时取得,而当或-1时,,结合图象可知m的取值范围是.故选C．3.已知两数，当时，的取值范围为，则实数m的取值范围是()A.B.C.D.[答案]：C[解析]当时，令则；则，∴函数在单调递增，在单调递增，∴函数在处取的极大值为，在处取得极小值为，当时，，∴，综上所述，m的取值范围为『规律
总结
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』1.函数定义域问题的3种类型①已知函数的解析式：定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建不等式（组）求解即可.②抽象函数：根据中的范围与中x的范围相同求解.③实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义.2.函数值域问题的4种常用方法公式法、分离常数法、图象法、换元法.提醒：分段函数求解题时，要注意定义域，首先考虑定义域.[跟踪训练]1.函数的定义域为()A.B.C.D.[答案]：C[解析] 由题意得,∴定义域为,故选C.2.函数的值域是()A.B.C.D.[答案]：B[解析]由题意,函数,所以函数可以表示为x轴上的点到点和的距离之和,当三点成一条直线时距离之和最小,所以.故选B.3.若函数，则的值为（）A．0B．2C．4D．6[答案]：D[解析]∵函数，∴，.故选：D.考点2：函数的图像及其应用1.作图常用描点法和图象变换法，图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换.2.识图从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.3.用图在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究，但是，在利用图象求交点个数或解的个数时，作图要十分准确，否则容易出错..[典型例题]1.已知函数(其中),若的图像如图所示,则函数的图像大致为（）A.B.C.D.[答案]：A[解析]由二次方程的解法易得的两根为；根据函数零点与方程的根的关系，可得的零点就是，即函数图像与x轴交点的横坐标；观察的图像，可得其与x轴的两个交点分别在区间与上，又由，可得，在函数可得，由可得其是减函数，又由可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满2.函数的大致图象是 B.C.D.[答案]：B[解析]由于,,,且,故此函数是非奇非偶函数,排除A,C；又当时,,即的图象与直线的交点中有一个点的横坐标为,排除D.故选：B.『规律总结』1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.提醒：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.[跟踪训练]1.函数的图象大致为()A.B.C.D.[答案]：A[解析]因为，所以是偶函数，排除C和D．当时，，，令，得；令，得．所以在处取得极小值，排除B，故选：A．2.函数的图象可能是（）A.B.C.D.[答案]：C[解析]令，则，则函数为奇函数，故函数图象关于原点对称，排除B；当时，，排除A；当时，，排除D.故选C考点3：函数的性质及其应用1.函数的单调性单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性，判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法.2.函数的奇偶性（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（2）确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.（3）对于偶函数而言，有.3.函数的周期性对f（x）定义域内任一自变量的值x：4.函数的对称性（1）若函数满足，即，则的图像关于直线对称；（2）若函数满足，即，则的图像关于点对称；（3）若函数满足，则的图像关于直线对称.[典型例题]1.设函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是()A.B.C.D.[答案]：B[解析]函数的定义域为,因为,所以.当时,,函数单调递减,又函数在区间上单调递减,所以解得,故选B.2.已知函数是奇函数,则常数的值为()A.1B.C.D.[答案]：C[解析]故选C.3.函数的最小正周期是()A．B．C．D．[答案]：B[解析]∵，∴，∴的周期，故答案为：.4.已知是定义域为的奇函数,满足.若,则()A.B.0C.2D.50[答案]：C[解析]因为函数是奇函数,故且.因为,所以函数的对称轴为,所以函数是周期为4的周期函数.因为,,,所以,根据函数的周期为4可得所求式子的值.故选C.『规律总结』1.奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分（一半）区间上，这是简化问题的一种途径.尤其注意偶函数f(x)的性质：f(-x）=f(x).2.单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性.3.周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.提醒：做题时，首先确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值,综合应用函数的性质求值（取值范围）、比较大小等，常与不等式相结合.[跟踪训练]1.函数的单调递减区间为()A.B.C.D.[答案]：C[解析] 由题可得,令,即,解得或,又因为,所以.故选C.2.已知函数是奇函数,且当时,,则()A.B.C.3D.9[答案]：A[解析]由题意知,因为是奇函数,所以.3.已知是定义域为的奇函数，满足．若，则()A．B．0C．2D．50[答案]：C[解析]∵是奇函数,且，∴，则,则，即函数是周期为4的周期函数，∵，∴,，，则，则故选：C.4.直线过函数图象的对称中心，则的最小值为()A.9B.4C.8D.10[答案]：A[解析]函数的图象的对称中心为,所以，当且仅当时等号成立，故选A.PAGE
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