南京航空航天大学《高等数学》105对坐标的曲面积分

基本概念概念的引入对坐标的曲面积分的定义对坐标的曲面积分的计算两类曲面之间的联系一、基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧1曲面的分类:(1)双侧曲面;(2)单侧曲面.典型双侧n曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带(Mobius)2曲面侧的规定:曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.对不封闭Σi)(,)z=zxy⎧上侧:取n朝上的一侧,cosγ>0⎪⎪　　即法线与z轴正向夾角为锐角⎨⎪下侧:取n朝下的一侧,cosγ<0⎪⎩　　即法线与z轴正向夾角为钝角ii)(,)x=xyz⎧前侧:取n朝前的一侧,cosα>0⎪⎪　　即法线与x轴正向夾角为锐角⎨⎪后侧:取n朝后的一侧,cosα<0⎪⎩　　即法线与x轴正向夾角为钝角iii)(,)y=yzx⎧右侧:取n朝右的一侧,⎪⎪即法线与y轴正向夾角为锐角cosβ>0⎨⎪左侧:取n朝左的一侧,⎪⎩即法线与y轴正向夾角为钝角cosβ<0对封闭Σ:外侧:n指向外的一侧内侧:n指向内的一侧3曲面的投影问题:在有向曲面Σ上取一小块曲面ΔSS,Δ在xoy面上的投影()ΔSxy为(⎧)Δσxy当cosγ>时0⎪()ΔSxy(=−⎨)Δσxy当cosγ<时.0⎪⎩0当cosγ=时0其中()Δσxy 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示投影区域的面积.同理可定义SΔ在yoz,面上的投影xoz(),()ΔSSyzΔzx思考题设Σ为球面x2+y2+z21=，取外侧则=z−1−x2−2的法向量与yoz轴成什么角？取什么侧？那么y=1−x2−2z呢？思考题解答此时=z−1−x2−2y与oz轴成钝角，取下侧；而与y=1−x2−2zoy轴成锐角，取右侧;二、概念的引入实例:流向曲面∑一侧的流量.设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由vxyz(,,)(,,)(,,)(,,)Pxyzi=+Qxyzj+Rxyzk给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数zPxyz(,,),Qxyz(,,),Rxyz(,,)都在Σ上连续,求在单位Σ时间内流向Σ指定侧的流y体的质量Φ.ox稳定流体的速度与点有关，与时间t无关,不可压缩：密度ρ与t无关。"":流量指单位时间内,流体通过某个截面的质量(ρ=1体积流量)(1v)若x(y,z,=且流过平面)cS(面积为q),求Φ解Φ以=S为底,以为母线方向的斜柱体体v积=投影正柱体体积S=v⋅n=Sv⋅nn为S的单位法向量v=cvnθnSΦS=v⋅nS=v⋅n(2现在的问题):(,,),,vv=xy各点不同zΣ−曲面−不能直接用(1用可分割).,,,近似代替求和取极限来解决.1.分割把曲面Σ分成n小块Δsi(Δsi同时也代表第i,小块曲面的面积)在Δsi上任取一点(,,)ξηiζii,Zvi则该点的流速为vini法向量为ni(,,)ξηζ∑ΔSiiiiYOX2.近似代替ΔΦiv≈in⋅iSiΔncos=αiβ+cosγj+coskiiiiZvini(,,)ξηζ∑ΔSiiiiYOXn3.求和通过Σ流向指定侧的流量Φ≈∑vin⋅iiΔSni=1[(ξ=,η∑ζ,Piα)iξcosηiζβ+iQi(i,i,)icosi=1(+ξ,Rηi,ζiγ)icosiΔSi]n[(=∑,ξPηi,ζi)(iΔSQ)iyz+ξiη(iζ,i,ΔSi)(xz)i=1(+ξRi,ηiζ,i)(ΔSixy)4.取极限λ→0取极限得到流量Φ的精确值.三、对坐标的曲面积分的定义定义设(Σ1为光滑有向曲面)(2R)x(y,在z,Σ上有界)(把3Σ)任意分成n块Δ(Si1i=,2面积也记为n),ΔSiSΔi在xoy平面的投影为()(,,)ΔSixy，对ξ∀ηiζi∈iSΔi(若当各小块面积的直径4)的最大值λ→0时，nlimξRiη(iζ,i,ΔSi)(xy存在)λ→0∑i=1则称此极限为函数R(x,y,z)在有向曲面Σ上对坐标x,y的曲面积分(也称第二类曲面积分)R记作∫∫x(,,)yzdxdy,即Σn(R,x,y)zdxdy=limξRiη(iζ,iΔ,Si)(xy)∫∫λ→0∑Σi=1被积函数积分曲面类似可定义n(P,x,y)zdydz=limξPiη(iζ,iΔ,Si)(yz)∫∫λ→0∑Σi=1n(Q,x,)yzdzdx=limξQiη(iζ,iΔ,Si)(zx)∫∫λ→0∑Σi=1存在条件:PxyzQxyzRxyz(,当,),(,,),(向光滑曲在有,,),面Σ上连续时对坐标的曲面积分存在.组合形式:Pxyz(,,)(,,)(,,)dydz∫∫Qx+yzdzdx+RxyzdxdyΣ物理意义:PxyzΦ(,,)(,,)(,,)dydz=∫∫Qx+yzdzdx+RxyzdxdyΣ性质:1.∫∫Pdydz+Qdzdx+RdxdyΣ1+2Σ=∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy+∫∫PdydzQdzdx+Rdxdy+Σ1Σ22P.∫∫x(y,z,)P=dydz−∫x∫(,,)yzdydz−ΣΣQ∫∫x(,,)yzQ=dzdx−∫∫x(,,)yzdzdx−ΣΣR∫∫x(,,)yzR=dxdy−x∫∫(,,)yzdxdy−ΣΣ四、对坐标的曲面积分的计算Σ设积分曲面是由z方程z=z(,)x所给yz=z(,)xy出的曲面上侧,Σ在Σxoy面上的投影区域为Dxy数,函oyz=z(,)x在yDxy上具Dxy有一阶连续偏导数,()Δsxy被积函数R(,,)xy在zxΣ.上连续n(R,x,y)zdxdy=limξRiη(iζ,iΔ,Si)(xy)∫∫λ→0∑Σi=1∵,Σ取上侧cosγ>0,∴ΔiS(xy=)Δσxy(),又ζ∵ξi=η(,)ziinlim∴ξRi(ηiζ,i,ΔSi)(xy)λ→0∑i=1nlim=ξR(ηiξ,iη,σzi(i,Δ))(ixy)λ→0∑i=1Rxy即z∫∫(,,)dxdy=[∫∫R,,x(y,z)]xydxdyΣDxy若,Σ取下侧cosγ<0,∴ΔiS(xy=)−Δσxy(),R∫x∫(,,)yzR=dxdyx−[∫∫y,z,(x,y)]dxdyΣDxy如果Σx由=x(,),给出yz则有cosα>0Px(,,)yzdydzP=x±[y(z,),yz,]dydz∫∫cosα<0∫∫ΣDyz如果Σy由=y(,),给出zx则有cosβ>0Qx(,,)yzdzdx=Qx±[y,z(,x),z]dzdx∫∫cosβ<0∫∫ΣDzx注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.例1计算∫∫xyzdxdyzΣ其中Σ是球面+Σ2x+2y2+z21=外侧y在x≥0,y≥的部分.0xΣ1−解把Σ分成Σ1和Σ2两部分22Σ1:z=1−1x−(y−取下侧);22Dxy:x+y≤122Σ:2z=21−x−y取上侧）((x,≥0,y≥0)∫∫xyzdxdy=∫∫xyzdxdy+∫∫xyzdxdyΣΣ2Σ1xy=x∫∫−y1−2dxdy2−∫∫(xy−12−x2)−ydxdyDxyDxyxy=2∫∫x−12y−2dxdyDxy22=∫∫sinr2θθcosr−2rdrd1θ=.Dxy15例I2.计算x:=∫∫dydz2+2ydzdxΣΣ是坐标面与x=a,,y=bz=围成的长方体c的整个边界,取外侧(a,b,>c0)∫∫I=解:x2∫∫+dydzdydz+∫∫+∫∫+∫∫+∫∫Σ1Σ2ΣΣΣΣ3456∫∫+y2∫∫+dzdxdzdx+∫∫+∫∫+∫∫+∫∫Σ1Σ2ΣΣΣΣ3456xdydz=2+y2dzdx=2σ+ad2σbd∫∫∫∫∫∫yz∫∫xzΣ2Σ4DyzDxzabc=2b+ac2=()abc+abZΣ:1x=0后侧）(Σ2:(x=a前侧）Σ:3y=0左侧）(Σ:()4y=b右侧YΣ:5z=0下侧()Σ6:(z=c上侧）XΣ1=Σ+2Σ+Σ3+Σ4+Σ+5Σ(Σ取外侧）6例3.计算I:=∫∫xdydz,Σ4.5其中Σ是坐标面与x+y+z3=围成的立体的整个边界,取外侧。zΣ1:x=0(后侧）Σ2:y=0(左侧）oyΣ:z=0(3下侧）xΣ4:z=3−x−y(上侧)五、两类曲面之间的联系Σ是由方程设有向曲面z=z(,)x在给出,Σyxoy面上的投影区域为Dxy,函数z=z(,)x在yDxy上具有一阶连续偏导数,R(,,)xy在Σ上连续.znzz=z(,)xy对坐标的曲面积分为dsR∫∫x(,,)yzdxdyΣΣyR=x[±∫∫y,z,(x,y)]dxdyoDxyDxyx曲面Σ的法向量的方向余弦为∓zxcosα=22,1+zx+zy∓zycosβ=22,1+zx+zy±1cosγ=.1+z2+z2xyR(∫∫x,,y)zcosγdSΣ±122R=[x,y,(z,x)]yzx+zy+1σdxy∫∫22Dxyzx+zy+1=R±∫∫[x,y,z(x,σ)]yxydDxyRx所以y∫∫z(,,)dxdy=(∫∫,R,)xcosγyzdSΣΣ)侧均成立(取曲面的两注意两类曲面积分之间的联系∫∫PdydzQdzdx++RdxdyΣP=(∫∫cosα+Qβcosγ+Rcos)dSΣcos其中,αcosβ,γ为曲面的方向余弦。cos向量形式Ad⋅S=A⋅n或AdSd⋅s=AdS∫∫∫∫∫∫∫∫nΣΣΣΣ{,A其中,},P=Q{cosR=αn,βγcos为,cos}有向曲面Σ上点(,,)xy,量处的单位法向zdSndS={,,}dydz=dzdx称为有向曲面dxdy元,An为向量A在n.上的投影例4计算:∫∫zdxdy+xdydz+ydzdxΣ:x2+y21=Σ被z=0及z=所截得的在第一卦限内3部分的前侧.解{n2=,x2,y0},xycosα=cosβ=cosγ=0x2+y2x2+y2例4计算:∫∫zdxdy+xdydz+ydzdxΣ:x2+y21=Σ被z=0及z=所截得的在第一卦限内3部分的前侧.解∴∫∫zdxdy+xdydz+(ydzdxcosx∫∫=α+yβcosγ+zcosdS)ΣΣ⎡x2y2⎤=⎢+z+dS0⋅⎥=x2+2ydS∫∫2222∫∫Σ⎣⎢x+yx+y⎦⎥Σ3π=∫∫1⋅dS=Σ2例5计算z∫∫()x+2dydz−zdxdy,其中Σ是Σ1旋转抛物面z=()x2+2y介于平面z=0及2z=2之间的部分的下侧.解在曲面上Σ,有Σxcosα=,1+x2+y2−1cosγ=.1+x2+y2∴z∫∫()x2+dydz−zdxdyΣ=(z∫∫[])2x+cosαzγ−cosdSΣ⎡x−1⎤=⎢()z2+x−z⎥dS∫∫2222Σ⎣⎢x+y+1x+y+1⎦⎥⎧⎡1⎤1⎫=x−⎨()()y2+x22⋅+−x−()x2+y2⎬dxdy∫∫⎢4⎥2Dxy⎩⎣⎦⎭1=x∫∫[2x+(2y+2)]dxdyDxy22π21=d(θ2rcosθ2r+2)rdr=8π.∫00∫2当z:(,),(,)∑zx=yx∈yxy时D，fxyzS(,,)d=fxyzxy(,,(,))+21+2zzxydd∫∫∫∫xy∑DxyRxyzxy(∫∫,,)d=d(±∫∫,Rxyzxy,(,))ddxy∑Dxy（上侧取“+”,下侧取“−”)类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式.机动目录上页下页返回结束小结1、物理意义2、计算时应注意以下两点曲面的侧“一投,二代,三定号”