小专题(二) 垂径定理的有关计算由圆的对称性可引出许多重要定理,垂径定理是其中比较重要的一个,它将线段、角与圆弧连接起来,解题的常用
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是构造直角三角形,常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来.类型1 求半径长1.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为(B)A.26πB.13πC.D.2.(乐山中考)《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代
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中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深1寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸),问这块圆形木材的直径是多少?”如图所示,请根据所学知识计算:圆形木材的直径AC是(C)A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸类型2 求弦长3.如图,☉O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交☉O于B,C点,则BC=(A)A.6B.6C.3D.34.如图,☉O的半径为5,AB为弦,C为的中点,若∠ABC=30°,求弦AB的长.解:连接OA,OC,OC交AB于点M.根据垂径定理可知OC垂直平分AB,因为∠ABC=30°,所以∠AOC=60°,在Rt△AOM中,sin60°=,故AM=,即AB=5.5.如图,☉O为锐角△ABC的外接圆,半径为5.(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线,并标出它与劣弧BC的交点E;(保留作图痕迹,不写作法)(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.解:(1)尺规作图如图所示.(2)连接OE交BC于点M,连接OC,CE.因为∠BAE=∠CAE,所以,所以OE⊥BC,所以EM=3.在Rt△OMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,所以MC2=OC2-OM2=25-4=21.在Rt△EMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30.所以弦CE的长为.类型3 求弦心距6.如图,在半径为5cm的☉O中,弦AB=6cm,OC⊥AB于点C,则OC=(B)A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm7.(衢州中考)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于点E,连接BC,过点O作OF⊥BC于点F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF的长度是(D)A.3cmB.cmC.2.5cmD.cm8.如图,D是☉O的弦BC的中点,A是上一点,OA与BC交于点E,已知OA=8,BC=12.(1)求线段OD的长;(2)当EO=BE时,求△ODE的面积.解:(1)连接OB.∵OD过圆心,且D是弦BC的中点,∴OD⊥BC,BD=BC=6.在Rt△BOD中,OD2+BD2=OB2,∵OB=OA=8,BD=6,∴OD==2.(2)在Rt△EOD中,OD2+DE2=OE2,设BE=x,则OE=x,DE=6-x,∴(2)2+(6-x)2=(x)2,解得x1=-16(不合题意,舍去),x2=4,∴DE=2.∴S△ODE=DE·OD=×2×2=2.类型4 平行弦之间的距离9.已知AB,CD是☉O的两条平行弦,AB=8,CD=6,☉O的半径为5,则弦AB与CD的距离为(D)A.1B.7C.4或3D.7或1提示:分两条平行弦在圆心O的同侧和异侧两种情况进行讨论,可得所求距离为7或1.类型5 弓形计算10.如图,在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长为(C)A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm类型6 实际应用11.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=100cm,水面宽AB=120cm,某天下雨后,水管水面上升了20cm,则此时排水管水面宽CD等于 1.6 m. 12.如图,是一个高速公路的隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面AB=12米,拱高CD=9米,求圆的半径.解:∵CD⊥AB且过圆心O,∴AD=AB=×12=6米,连接OA,设半径为r米,∴OA=OC=r米,∴OD=CD-OC=(9-r)米,∴在Rt△AOD中,OA2=OD2+AD2,∴r2=(9-r)2+62,解得r=6.5.∴☉O的半径为6.5米.1
浙公网安备 33021202002483