南京学校高中数学《高二寒假》培训讲义

专业、专注、探索、创新2寒假课程目录专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 一：数列求和3-16专题二：数列求通项17-30专题三：立体几何平行与垂直证明31-46专题四：立体几何向量 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 应用47-65专题五：排列与组合66-81专题六：二项式定理82-90专业、专注、探索、创新3方法技巧专题一数列求和问题一、数列求和的常用方法知识框架二、数列求和方法【一】公式求和法1.等差数列前n项和dnnnaaanSnn2)1(2)(112.等比数列前n项和)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn公比含字母时一定要讨论3.其他常用求和公式①2)1(321nnn；②2)12(531nn③6)12)(1(3212222nnnn；④23333]2)1([321nnn1.【例1】求1＋2＋22＋…＋2n的和.专业、专注、探索、创新42.【例2】已知等比数列{an}中，a3＝4，S3＝12，求数列{an}的通项公式.3.【例3】在公差为d的等差数列{na}中，已知1a＝10，且1a，22a＋2，53a成等比数列．(1)求d，na；(2)若d<0，求|1a|＋|2a|＋|3a|＋…＋|na|.2.巩固提升综合练习4.【练习1】在,ab中插入n个数，使它们和,ab组成等差数列12,,,,naaaab，则12naaa（）A．()nabB．()2nabC．(1)()2nabD．(2)()2nab5.【练习2】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．专业、专注、探索、创新56.【练习3】公差不为0的等差数列na的前n项和为3,6nSS，且347,,aaa成等比数列.（1）求数列na的通项公式na；（2）求na的前10项和10T【二】分组求和法分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和.7.【例1】求和：112＋2122＋3123＋…＋n＋12n.8.【例2】求数列1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n项和Sn.(其中a≠0，n∈N*)9.【例3】求和)2)(1(432321nnnTn专业、专注、探索、创新62.巩固提升综合练习10.【练习1】已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2)11(21aa，a3＋a4＝32)11(43aa.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝a2n＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.11.【练习2】已知数列{}na是等差数列，满足11a，53a，数列{}nnba是公比为2等比数列，且2222ba．（1）求数列{}na和{}nb的通项公式；（2）求数列{}nb的前n项和nS．.专业、专注、探索、创新7【三】奇偶并项求和法奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和.但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论.12.【例1】求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.13.【例2】已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝6，S4＝30，n∈N*，数列{bn}满足bn·bn＋1＝an，b1＝1.(1)求an，bn；(2)求数列{bn}的前n项和Tn.2.巩固提升综合练习14.【练习1】已知nS为数列na的前n项和，且满足11a，*13(N)nnnaan，则2014S_____．【四】倒序相加法求和专业、专注、探索、创新8这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa.15.【例1】求和89sin3sin2sin1sin222216.【例2】设4()42xxfx，1231011111111ffff.2.巩固提升综合练习17.【练习1】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则（）A．2018B．4036C．2019D．4038【五】错位相减求和专业、专注、探索、创新9数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。18.【例1】求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，n∈N*.19.【例2】在数列na，nb中，111ab，1331nnnaabn，1331nnnbban.等差数列nc的前两项依次为2a，2b.（1）求nc的通项公式；（2）求数列nnnabc的前n项和nS.专业、专注、探索、创新102.巩固提升综合练习20.【练习1】已知数列{an}满足an≠0，a1＝13，an－an＋1＝2anan＋1，n∈N+.(1)求证：na1是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝2nan，求数列{bn}的前n项和Tn.21.【练习3】已知等比数列的前项和为，若，则数列的前项和为（）A．B．C．D．22.【练习4】已知数列na是公差不为0的等差数列，且12481,,,aaaa成等比数列.(1)求na的通项公式;(2)若2nnnba,求nb的前n项和nT.专业、专注、探索、创新11【六】裂项求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）111)1(1nnnnan[一般)11(1)(1knnkknnan]（2）1111()(21)(21)22121nnnn（3）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（4）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan（5）nnnnan111（6）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（7）!)!1(!nnnn（8）11(1)!!(1)!nnnn23.【例1】已知等差数列na为递增数列，且满足12a,222435aaa．（1）求数列na的通项公式；（2）令*1()(1)(1)nnnbnNaa，nS为数列nb的前n项和，求nS．专业、专注、探索、创新1224.【例2】求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n2－1，n≥2，n∈N*.25.【例3】已知数列na的前n项和nS满足*23nnSnannN，且25a.（1）证明数列na为等差数列，并求na的通项公式；（2）设111nnnnnbaaaa，nT为数列nb的前n项和，求使310nT成立的最小正整数n的值.2.巩固提升综合练习26.【练习1】设数列na是公差不为零的等差数列，其前n项和为nS，11a.若1a，2a，5a成等比数列.（I）求na及nS；（Ⅱ）设2111nnbnNa，求数列nb的前n项和nT.专业、专注、探索、创新1327.【练习2】在数列{an}中，已知a1＝1＋3，且2211222nnnnaaaa，n∈N*.(1)记bn＝(an－1)2，n∈N*，证明数列{bn}是等差数列；(2)设{bn}的前n项和为Sn，证明123111134nSSSS.28.【练习3】已知数列na的首项11a，前n项和为nS，且1*1221,nnnaSnN（Ⅰ）设*2,nnnbanN，证明数列nb是等比数列；（Ⅱ）设*112,1313nnnnnncnNaa，求nc的前n项和nT的取值范围.专业、专注、探索、创新1429.【练习4】已知数列na的前n项和2nSnn，等比数列nb的公比1q，且34528bbb，42b是3b，5b的等差中项.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）求数列211nnba的前n项和nT.三、课后自我 检测 工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训 30．等差数列{}na的前n项和为nS，已知17a，公差d为大于0的整数，当且仅当n=4时，nS取得最小值.（1）求公差d及数列{}na的通项公式；（2）求数列na的前20项和.专业、专注、探索、创新1531．已知数列{}na满足：11a，10.52,nnnanaann为正奇数为正偶数，22nnba.（1）求2a、3a、4a；（2）求证：数列{}nb为等比数列，并求其通项公式；（3）求和242nnTaaa.32．已知数列na满足11a,*124nnnaanNa.（1）证明:数列21na为等比数列;（2）求数列1na的前n项和.专业、专注、探索、创新1633．在正项等比数列{na}中，11a且3542,,3aaa成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列{nb}满足nnnba，求数列{nb}的前n项和nS．34．已知公差不为0的等差数列na的前n项和为nS，479Sa，且1a，4a，13a成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）求数列1nS的前n项和公式．专业、专注、探索、创新17技巧方法专题二数列求通项问题一、数列求通项常用方法知识框架二、数列求通项方法【一】归纳法求通项通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式，关键是依托基本数列如等差数列、等比数列，寻找an与n，an与an＋1的联系.1.【例1】由数列的前n项，写出通项公式：(1)3,5,3,5,3,5，…(2)12，23，34，45，56，…(3)2，52，134，338，8116，…(4)12，16，112，120，130，…2.【例2】已知数列：12,,,11kkNkk，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列na：1212381,,,,,,,213219则首次出现时为数列na的（）A．第44项B．第76项C．第128项D．第144项专业、专注、探索、创新182.巩固提升综合练习3.【练习1】由数列的前几项，写出通项公式：(1)1，－7，13，－19，25，…(2)14，37，12，713，916，…(3)1，－85，157，－249，…4.【练习2】如图是一个三角形数阵，满足第n行首尾两数均为n，,Aij 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示第2ii行第j个数，则100,2A的值为__________．【二】公式法求通项等差数列：dnaan)1(1等比数列：11nnqaa5.【例1】数列{}na满足112a，*1111n11nnNaa，则10a（）A．910B．109C．1011D．1110专业、专注、探索、创新196.【例2】已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－4an－1(n>1)，记bn＝1an－2．求证：数列{bn}是等差数列，并求na．2.巩固提升综合练习7.【练习1】已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0．(1)求a2，a3；(2)证明数列{an}为等比数列,并求na．8.【练习2】已知数列na和nb满足111112,341,341nnnnababnban1求证：nnab是等比数列,nnab是等差数列；2求数列na和nb的通项公式．专业、专注、探索、创新20【三】累加法求通项型如an＋1＝an＋f(n)的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下：第一步将递推公式写成an＋1－an＝f(n)；第二步依次写出an－an－1，…，a2－a1，并将它们累加起来；第三步得到an－a1的值，解出an；第四步检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.累乘法类似.9.【例1】在数列na中，12a，11ln1nnaan，则10a（）A．2ln10B．29ln10C．210ln10D．11ln1010.【例2】对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为na，则数列{}na的通项公式na_______，数列(2)nnna的前n项和nS_______.2.巩固提升综合练习11.【练习1】在数列na中，111,21nnaaan，则数列的通项na________.专业、专注、探索、创新2112.【练习2】已知数列nb是首项为34，公差为1的等差数列，数列na满足12nnnaa（*nN），且137ab，则数列nnba的最大值为__________．13.【练习3】两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a，第2个五角形数记作25a，第3个五角形数记作312a，第4个五角形数记作422a，…，若按此规律继续下去，得数列{}na，则1_______(2)nnaan；对*nN，_____na．【四】累积法求通项型如)(1nfaann的递推公式求通项可以使用累积法14.【例1】已知数列{an}满足a1＝23，an＋1＝nn＋1an，求an.专业、专注、探索、创新222.巩固提升综合练习15.【练习1】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为()A.an＝2n－1B.an＝2nC.(1)22nnnaD.222nna【五】nS法（项与和互化求通项）11,(1)nnnsassn,（n=1)已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)解题步骤：第一步利用Sn满足条件p，写出当n≥2时，Sn－1的表达式；第二步利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式；第三步若求出n≥2时的{an}的通项公式，则根据a1＝S1求出a1，并代入{an}的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是{an}的递推公16.【例1】已知数列na的前n项和nS，且23nnS，则na.17.【例2】设数列{}na的前n项和nS，若11a，*1102nnSanN，则{}na的通项公式为_____．18.【例3】设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________.专业、专注、探索、创新232.巩固提升综合练习19.【练习1】在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋12an＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项an.20.【练习2】记数列{}na的前n项和为nS，若323nnSan，则数列{}na的通项公式为na______.21.练习3】已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.[来源:学科网ZXXK](1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝an＋1SnSn＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.22.【练习4】设数列na满足12323...2(nN*)nnaaana．（1）求na的通项公式；（2）求数列122nna的前n项和nS．专业、专注、探索、创新2423.【练习5】已知数列na的前n项和为nS，112a，20(2)nnnnSaSan．（1）求证：数列1nS是等差数列；（2）若1,32,nnnSnCnn为奇数为偶数，设数列nC的前n项和为nT，求2nT.【六】构造法求通项1.型如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；第二步由待定系数法，解得t＝qp－1；第三步写出数列1pqan的通项公式；第四步写出数列{an}通项公式.2.an＋1＝pan＋f(n)型【参考思考思路】确定()fn设数列1()nafn列关系式)]([)1(1211nfanfann比较系数求1，2解得数列1()nafn的通项公式解得数列na的通项公式24.【例1】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.专业、专注、探索、创新2525.【例2】已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，求数列{an}的通项公式.26.【例3】已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，求数列{an}的通项公式.27.【例4】已知数列na满足：11a，1122(2,)nnnaannN，则na（）A．2nnanB．12nnanC．(21)2nnanD．1(21)2nnan2.巩固提升综合练习28.【练习1】已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2，且a1＝1，则an＝________.29.【练习2】已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝12an＋12n，则此数列的通项公式an等于()A.2nB.n(n＋1)C.n2n－1D.nn＋12n专业、专注、探索、创新26【七】其他求通项方法30.【例1】已知数列na满足113a,111nnnaaa*()nN,则2012391aaaa（）A．3B．2C．12D．1331.【例2】已知数列na满足递推关系：11nnnaaa，112a，则2018a＝（）A．12016B．12017C．12018D．120192.巩固提升综合练习32.【练习1】已知数列{an}的前n项和是Sn，且满足an＋1＝11－an(n∈N*)，211a，则S2017＝（）33.【练习2】在数列{}na中，已知12a，*131nnnaanNa，则2a_______，na_______．专业、专注、探索、创新27三、课后自我检测34．已知正项数列{}na中，*12(1)()2nnnaaanN，则数列{}na的通项公式为（）A．nanB．2nanC．2nnaD．22nna35．在数列－1，0，211298nn，，，，…中，0.08是它的第________项．36．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋1nn＋1，则通项公式an＝________.37．已知数列na满足112a且131nnaa．（1）证明数列12na是等比数列；（2）设数列nb满足11b，112nnnbba，求数列nb的通项公式．专业、专注、探索、创新2838．已知数列na的前n项和为nS，12a，1(2)3nnSna．（1）求na；（2）求证:121111naaa．39．已知数列na满足：10a，144nnaa，*nN.（1）若存在常数x，使得数列1nax是等差数列，求x的值；（2）设2311nnbaaa，证明：123nbbb.专业、专注、探索、创新2940．已知数列na满足：1231312nnaaaa，*nN.（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足31lognnba，求11nnbb的前n项和nT．41．数列na，*nN各项均为正数，其前n项和为nS，且满足221nnnaSa.（1）求证数列2nS为等差数列，并求数列na的通项公式；（2）设4241nnbS，求数列nb的前n项和nT，并求使2136nTmm对所有的*nN都成立的最大正整数m的值.专业、专注、探索、创新3042．已知数列{}na中，11a，其前n项的和为nS，且当2n时，满足21nnnSaS．（1）求证：数列1nS是等差数列；（2）证明：2221274nSSS．43．已知点11,3是函数xfxa（0a且1a）的图象上一点,等比数列na的前n项和为fnc,数列0nnbb的首项为c,且前n项和nS满足112nnnnSSSSn．(1)求数列na和nb的通项公式；(2)若数列11nnbb前n项和为nT,问使得10002015nT成立的最小正整数n是多少？专业、专注、探索、创新31方法技巧专题三立体几何中平行与垂直证明专业、专注、探索、创新32专业、专注、探索、创新33cc∥∥baba∥二、立体几何中的向量方法【一】“平行关系”常见证明方法1.1直线与直线平行的证明1.1.1利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行等1.1.2利用三角形中位线性质1.1.3利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。1.1.4利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。1.1.5利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．1.1.6利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。1.1.7利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。1.1.8利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点abαβbaba////baba∥ab专业、专注、探索、创新341.2直线与平面平行的证明1.2.1利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。ba1.2.2利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。βαa∥a∥a1.2.3利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点1.3平面与平面平行的证明1.3.1利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。////∩⊂⊂baPbaba//⇒baP1.3.2利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等1.3.3利用定义：两个平面没有公共点b∥aba∥a专业、专注、探索、创新351.【例1】如图，已知菱形ABCD，其边长为2，60BAD，ABD绕着BD顺时针旋转120得到PBD，M是PC的中点．（1）求证：//PA平面MBD；2.【例2】已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是60A、边长为a的菱形，又ABCDPD底，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．证明：DN//平面PMB。NMBPDCA专业、专注、探索、创新363.【例3】如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且PEEABFFD∶∶，求证：EF//平面PBC．2.巩固提升综合练习4.【练习1】如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，ACAB,DGED,EF∥DG,且2DGDEADAB,1EFAC．求证：BF∥平面ACGD；ABCDEGF专业、专注、探索、创新375.【练习2】如图，E，F，G，H分别是正方体1111ABCDABCD的棱BC，1CC，11CD，1AA的中点．求证：（1）EG∥平面11BBDD；（2）平面BDF∥平面11BDH．6.【练习3】在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且60DAB，//EF平面ABCD，22EAEDABEF，M为BC中点.求证：//FM平面BDE.专业、专注、探索、创新38【二】“垂直关系”常见证明方法[来源:Zxxk.Com]2.1直线与直线垂直的证明2.1.1利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直,等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等。2.1.2看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。2.1.3利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。2.1.4利用平面与平面垂直的性质推论：如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。labβαlblabalba2.1.5利用常用结论：1如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。caba∥cb2如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。2.2直线与平面垂直的证明2.2.1利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等2.2.2看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。baαcabbaabαab∥baba专业、专注、探索、创新39aaaa∥a2.2.3利用直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。2.2.4利用平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。laala2.2.5利用常用结论：1一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。bba∥a2两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。2.3平面与平面垂直的证明2.3.1利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等2.3.2看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。2.3.3利用平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。balAlblalAbabaalaba专业、专注、探索、创新40APBCFED7.【例1】如图,四边形ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，P为AB的中点.求证：平面PCF⊥平面PDE.8.【例2】如图，在四棱锥ABCDP中，ABCD是矩形，ABCDPA平面，3,1ABADPA，点F是PD的中点，点E在CD上移动。求证：AFPE。ABCDPEF专业、专注、探索、创新419.【例3】如图，在四边形ABCD中，4ADAB，7CDBC，点E为线段AD上的一点.现将DCE沿线段EC翻折到PAC，使得平面PAC平面ABCE，连接PA，PB.证明：BD平面PAC.二.巩固提升综合练习10.【练习1】如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为45，且AD=2，SA=1。求证：PD平面SAP；专业、专注、探索、创新4211.【练习2】如图，在三棱柱111ABCABC中，侧棱1AA底面ABC，M为棱AC的中点．=ABBC，=2AC，1=2AA．（1）求证：1BC∥平面1ABM；（2）求证：1AC平面1ABM；12.【练习3】如图，四棱锥PABCD中，22ABADBC，BCAD∥，ABAD，PBD△为正三角形．且23PA．证明：直线AB平面PBC专业、专注、探索、创新43三、课后自我检测13．如图，四边形ABCD为正方形，EA平面ABCD，EFAB∥，4AB，2AE，1EF．（1）求证：BCAF；（2）若点M在线段AC上，且满足14CMCA，求证：EM∥平面FBC；（3）求证：AF平面EBC．专业、专注、探索、创新4414．直三棱柱111ABCABC中，5AB，3AC，4BC，点D是线段AB上的动点.（1）当点D是AB的中点时，求证：//1AC平面1BCD；（2）线段AB上是否存在点D，使得平面11ABBA平面1CDB？若存在，试求出AD的长度；若不存在，请说明理由.专业、专注、探索、创新4515.如图，ABC为等边三角形，EA平面ABC，//EADC，2EADC，F为EB的中点.（Ⅰ）求证：//DF平面ABC；（Ⅱ）求证：平面BDE平面AEB.专业、专注、探索、创新4616.已知平面四边形PABC中，PACPCA中，90BAC，现沿AC进行翻折，得到三棱锥PABC，点D，E分别是线段BC，AC上的点，且//DE平面PAB.求证：（1）直线//AB平面PDE；[来源:学*科*网]（2）当D是BC中点时，求证：平面ABC平面PDE.专业、专注、探索、创新47方法技巧专题4立体几何中的向量方法一、立体几何中的向量方法知识框架专业、专注、探索、创新48[来源:学科网ZXXK]二、立体几何中的向量方法【一】证明平行问题1.【例1】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．2.【例2】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．线线平行设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇒a∥b⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)线面平行设l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0面面平行设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)专业、专注、探索、创新493.【例3】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.4.【例4】如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．//ABCD，ABBC，22ABCDBC，EAEB.(1)求证：ABDE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；(3)线段EA上是否存在点F，使//EC平面FBD?若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．专业、专注、探索、创新502.巩固提升综合练习5.【练习1】长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.6.【练习2】在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.7.【练习3】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?专业、专注、探索、创新51【二】证明垂直问题空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0注：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面垂直。8.【例1】如图，在直三棱柱111ABCABC中，90ACB，30BAC，1BC，16AA，M是棱1CC的中点，求证：1ABAM.9.【例2】如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD．专业、专注、探索、创新5210.【例3】如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．11.【例4】如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，底面BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，ABBD，E是线段AC上一点．（1）若E为AC的中点，求直线AC与平面BDE所成角的正弦值．（2）是否存在点E，使得平面BDE平面ADC？若存在，请指出点E的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．专业、专注、探索、创新532.巩固提升综合练习12.【练习1】如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.13.【练习2】如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD．求证：平面DEA⊥平面ECA．专业、专注、探索、创新54【三】利用空间向量求空间角角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角θ设l1与l2的方向向量为a，b，则cosθ＝|cos|＝|a·b||a||b|0，π2直线l与平面α所成的角θ设l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos|＝|a·n||a||n|0，π2二面角α­l­β的平面角θ设平面α，β的法向量为n1，n2，则|cosθ|＝|cos|＝|n1·n2||n1|·|n2|[0，π]注：(1)线面所称角θ，当]2,0[时，θ=2；当],2(时，θ=2（2）条件平面α，β的法向量分别为u，υ，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，υ〉＝φ，图形关系θ＝φθ＝π－φ计算cosθ＝cosφcosθ＝－cosφ14.【例1】如图，在三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．专业、专注、探索、创新5515.【例2】如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.16.【例3】如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A­PB­C的余弦值.专业、专注、探索、创新5617.【例4】如图，在四棱锥SABCD中，四边形ABCD是矩形，SAD是等边三角形，平面SAD平面ABCD，1AB，E为棱SA上一点，P为AD的中点，四棱锥SABCD的体积为233.（1）若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面∥PEF平面SCD；（2）是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD所成的锐二面角的余弦值为3010？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由.2.巩固提升综合练习18.【练习1】已知四棱锥S­ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为多少？专业、专注、探索、创新5719.【练习2】如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝5.(1)求证：PD⊥平面PAB．(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．20.【练习3】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF︵的中点．(1)设P是CE︵上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E­AG­C的大小．专业、专注、探索、创新5821.【练习4】如图，在三棱锥P­ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：AB∥GH；(2)求二面角D­GH­E的余弦值．【四】利用空间向量求距离点到平面的距离：先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长．如图，设n＝(a，b，c)是平面α的一个法向量，P0(x0，y0，z0)为α外一点，P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P0到平面α的距离：d＝|PP0→·n||n|＝|ax0－x＋by0－y＋cz0－z|a2＋b2＋c2.注：线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.专业、专注、探索、创新5922.【例1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．23.【例2】在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则BD到平面EFD1B1的距离为________.24.【例3】在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，则平面1ABC与平面11ACD之间的距离为()A．36B．33C．233D．32专业、专注、探索、创新602.巩固提升综合练习25.【练习1】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD,4PAAD，2AB,M是PD中点.（I）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；（II）求点P到平面ACM的距离．26.【练习2】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，DG＝13DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求D1A1到平面EFGH的距离．专业、专注、探索、创新6127.【练习3】如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点，求直线MN与平面OCD的距离及平面MNR与平面OCD的距离.三、课后自我检测28．如图，已知在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，点Q在棱PA上，且44PAPQ，底面为直角梯形，090,CDABAD2,1,2,ABCDAD,MN分别是,PDPB的中点．（1）求证：MQ//平面PCB；（2）求直线BC与平面MCN所成角的正弦值；（3）求点A到平面MCN的距离.专业、专注、探索、创新6229．如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，2ABAF，060ADC.(1)求直线BF与平面ABCD的夹角；(2)求点A到平面FBD的距离.30．如图,在四棱锥S­ABCD中，SA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，//ADBC,ADAB,且21SAABBCAD，（Ⅰ）求SD与平面SAC所成角的正弦值.（Ⅱ）若E为SB的中点，在平面SAD内存在点N，使得EN平面SAC，求N到直线AD,SA的距离.专业、专注、探索、创新6331．如图：正三棱柱111ABCABC的底面边长为3，D是CB延长线上一点，且BDBC，二面角1BADB的大小为60；（1）求点1C到平面1BAD的距离；（2）若P是线段AD上的一点，且12DPAA，在线段1DC上是否存在一点Q，使直线//PQ平面1ABC？若存在，请指出这一点的位置；若不存在，请说明理由．32．如图所示，正方形11AADD与矩形ABCD所在平面互相垂直，22ABAD,点E为AB的中点.（1）求证：1//BD平面1ADE；（2）设在线段AB上存在点M，使二面角1DMCD的大小为6，求此时AM的长及点E到平面1DMC的距离.专业、专注、探索、创新6433．如图，在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，22SASC，,OM分别为,ACAB的中点，且SOAB.（1）证明：SO平面ABC；（2）求二面角SCMA的余弦值；34．如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，,2ADCBADF为PA的中点，12,12PDABADCD，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N.（1）求证：AC平面DEF；（2）求二面角APBC的正弦值；（3）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为π6？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由.专业、专注、探索、创新65【不做要求】35．如图，在四棱锥PABCD中，ADDC，23ADAB，2CBCD，PCABCD平面，4PC，点N在线段PA上，且3ANNP．（Ⅰ）求证：DNAC；（Ⅱ）求二面角CDNA的正弦值；（Ⅲ）在线段BP上是否存在点T，使得CTPAD平面，若存在，求出线段BT的长，若不存在，说明理由．专业、专注、探索、创新66方法技巧专题五排列组合一、排列组合与二项式定理知识框架二、与排列相关的常见问题专业、专注、探索、创新67【一】特殊元素、特殊位置的排列问题特殊元素、特殊位置的排列问题解法：（1）以元素为主体：即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；（2）以位置为主体：即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.1.【例1】有8名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果.（1）甲不在两端；（2）甲、乙相邻；（3）甲、乙、丙三人两两不得相邻；（4）甲不在排头，乙不在排尾。2.【例2】毕业季有6位好友欲合影留念，现排成一排，如果：（1）A、B两人不排在一起，有几种排法？（2）A、B两人必须排在一起，有几种排法？（3）A不在排头，B不在排尾，有几种排法？专业、专注、探索、创新682.巩固提升综合练习3.【练习1】用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；4.【练习2】7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？其中甲不站排头，乙不站排尾；其中甲、乙、丙3人两两不相邻；其中甲、乙中间有且只有1人；其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列专业、专注、探索、创新69【二】相邻元素的排列问题相邻元素的排列问题解法—捆绑法：①即先把排在一起的元素（m个）捆绑成一个版块（有mmA种方法）；②再把版块当作一个“大元素”与其他元素进行排列.5.【例1】7人排成一排（1）甲、乙、丙排在一起，共有多少种排法？（2）甲、乙相邻，丙、丁相邻，共有多少种排法？（3）甲、乙、丙排在一起，且都不在两端，共有多少种排法？（4）甲、乙、丙排在一起，且甲在两端，共有多少种排法？（5）甲、乙之间恰有2人，共有多少种排法？（6）甲、乙之间是丙，共有多少种排法？2.巩固提升综合练习6.【练习1】有8本互不相同的书，其中数学书3本，英语书3本，语文书2本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，英语书也恰好排在一起的排法共有______种.（用数值回答）7.【练习2】A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（）A．60种B．48种C．30种D．24种专业、专注、探索、创新70【三】不相邻元素的排列问题将m个不同元素与n个不同元素进行排列，要求这m个元素互不相邻，求排列数时，使用插空法，具体方法如下：①m个不同元素在n个不同元素中插空，先把n个元素排好，有nnA种排法；②n个不同元素有1n个空，将m个不同元素放入这1n个空中，有mnA1种排法；③由分步乘法计数原理，共有nnAmnA1种排法.8.【例1】】7人排成一排（1）甲、乙、丙互不相邻，共有多少种排法？（2）甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有多少种排法？（3）甲、乙不相邻，丙、乙不相邻，共有多少种排法？9.【例2】老况、老王、老顾、小周、小郭和两位王女士共7人要排成一排拍散伙纪念照.（1）若两位王女士必须相邻，则共有多少种排队种数？（2）若老王与老况不能相邻，则共有多少种排队种数？（3）若两位王女士必须相邻，若老王与老况不能相邻，小郭与小周不能相邻，则共有多少种排队种数？专业、专注、探索、创新712.巩固提升综合练习10.【练习1】某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（）A．720B．520C．600D．26411.【练习2】有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种A．48B．72C．78D．8412.【练习3】2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________种.专业、专注、探索、创新72【四】含定序元素的排列问题含定序元素的排列问题常规方法：（1）全排消序法（除法）：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数；即先全排，再除以定序元素的全排列。如：n个元素的全排列中若有m（nm）个元素必须按照一定顺序排列，这m个元素相邻或不相邻不受限制，其排列数为：mmnnAA.（2）逐一插入法：先排好m个元素，只有1种排法；剩下的mn­个元素一个一个地插空，其排列数为：mnnAnmm）（）（211.（3）只选不排法：先从n个位置中选出m个位置，排列这m个元素有mnC种，剩下的mn­个元素在剩下的mn­个位置进行排列，有mnmnA种，共有mnCmnmnA.13.【例1】4男3女排成一排，且4男不等高，4男自左向右从高到矮的顺序排列，有多少种排法？14.【例2】某 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 队有5项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后立即进行那么安排这5项工程的不同排法种数是_____________.（用数字作答）2.巩固提升综合练习15.【练习1】用1,2,3,4,5,6,7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)偶数一定在奇数位上；(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列．专业、专注、探索、创新7316.【练习2】7人站成一排．(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法．三、与组合相关的常见问题专业、专注、探索、创新74【一】有限制条件的抽(选)取问题有限制条件的抽(选)取问