2019-2020年最新河南省新乡市中考数学二模试卷及答案解析

河南省新乡市中考数学二模试卷　一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．下列各数中，最小的数是（　　）A．3﹣2B．C．1﹣D．　2．以下是我市著名企事业（新飞电器、心连心化肥、新乡银行、格美特科技）的徽标或者商标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．　3．一元二次方程x2=2x的解是（　　）A．x=2B．x=0C．x1=﹣2，x2=0D．x1=2，x2=0　4．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出一个小球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是（　　）A．B．C．D．　5．如图，已知直线a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上，则∠1与∠2的大小关系为（　　）A．相等B．互余C．互补D．大小不确定　6．春雨小卖部货架上摆放着某品牌桶面，它们的三视图如图所示，则货架上的桶面至少有（　　）A．10桶B．9桶C．7桶D．5桶　7．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC与BD的交点O作AC的垂线交AD于点E，连接CE．若AB=4，BC=6，则△CDE的周长是（　　）A．7B．10C．11D．12　8．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（　　）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．2　　二、填空题9．计算：﹣=　　　　　　．　10．不等式组的解集是　　　　　　．　11．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D．连接BD，若∠C=40°，则∠ODB的度数为　　　　　　．　12．一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个球为蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为　　　　　　．　13．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是　　　　　　．　14．如图，若双曲线y=与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点，且OC=2BD．则实数k的值为　　　　　　．　15．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为　　　　　　．　　三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：a（a+b）（a﹣b）﹣a（a2﹣3b）+（a﹣b）2﹣a（a﹣b2），其中a=﹣2，b=﹣+（）﹣1．　17．为推动阳光体育活动的广泛开展，引导学生积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　　　　　　人，图①中的m的值为　　　　　　，图①中“38号”所在的扇形的圆心角度数为　　　　　　；（2）本次调查获取的样本数据的众数是　　　　　　，中位数是　　　　　　；（3）根据样本数据，若学校 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 购买200双运动鞋，建议购买36号运动鞋多少双？　18．如图，已知⊙0与等腰△ABD的两腰AB、AD分别相切于点E、F，连接AO并延长到点C，使OC=AO，连接CD、CB．（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）若AB=4cm，填空：①当⊙O的半径为　　　　　　cm时，△ABD为等边三角形；②当⊙O的半径为　　　　　　cm时，四边形ABCD为正方形．　19．图①中的铁塔位于我省开封市的铁塔公园，素有“天下第一塔”之称．为了测得铁塔EF的高度，小明利用自制的测角仪AC在C点测得塔顶E的仰角为45°，从点A向正前方行进23米到B赴，再用测角仪在D点测得塔顶E的仰角为60°．已知测角仪AC和BD的高度均为1.5米，AB所在的水平线AB⊥EF于点F（如图②），求铁塔EF的高度（结果精确到0.1米，≈1.73）．　20．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA和折线BCD分别表示货车和轿车离甲地距离y（千米）与车行驶时间x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：（1）轿车到达乙地后，货车距乙地的路程还有多少千米？（2）求线段CD对应的函数解析式，并写出自变量上的取值范围；（3）轿车到达乙地后，马上（掉头时间忽略不计）沿原路以CD段速度返回，求轿车从乙地返回起又经过多少小时再与货车相遇．　21．某公司今年四月份出售A、B两种型号电动自行车，已知两种型号电动自行车的销售数量相同，B型车的售价比A型车低400元，B型车的销售总额是A型车销售总额的．（1）A、B两种型号自行车的售价分别为多少元？（2）该公司五月份准备用不多于7.8万元的金额再采购这两种型号的电动车共60辆，已知A型车的进价为1400元，B型车的进价为1100元，问A型车最多能采购多少辆？（3）在（2）的条件下，公司销售完这60辆电动车能否实现总利润为3.5万元的目标？若能，请给出相应的采购 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ；若不能，请说明理由（注：四、五月份售价保持不变，利润=售价﹣进价）．　22．（1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，点D为AC的中点，过点A作BD的垂线，垂足为E，延长AE交BC于点F，求△ABF的面积．小明发现，过点C作AC的垂线，交AF的延长线子点G，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到BF与CF的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空：=　　　　　　，△ABF的面积为　　　　　　．（2）【类比探究】如图2，将（1）中的条件“点D为AC的中点”改为“点D为边AC上的一点，且满足CD=2AD”，其他条件不变，试求△ABF的面积，并写出推理过程．（3）【拓展迁移】如图3，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，点D为AC上一点，且满足CD=2AD，E为BD上一点，∠AEB=60°，延长AE交BC于F，请直接写出△ABF的面积．　23．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在x轴上，点B的纵坐标为2，点P为y轴右侧抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，直线AB与y轴交于点E，当m为何值时，以E，C，P，D为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由；（3）在直线AB的下方的抛物线上存在点P，满足∠PBD=45°，请直接写出此时的点P的坐标．　　河南省新乡市中考数学二模试卷参考答案与试题解析　一、选择题下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．下列各数中，最小的数是（　　）A．3﹣2B．C．1﹣D．【考点】实数大小比较．【分析】首先把每个选项中的数都化成小数，然后根据小数大小比较的方法，判断出最小的数是多少即可．【解答】解：，，1≈0.86，≈1.414，因为0.11＜0.4＜0.86＜1.414，所以3﹣2＜＜1﹣＜，所以最小的数是3﹣2．故选：A．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是把每个选项中的数都化成小数．　2．以下是我市著名企事业（新飞电器、心连心化肥、新乡银行、格美特科技）的徽标或者商标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．　3．一元二次方程x2=2x的解是（　　）A．x=2B．x=0C．x1=﹣2，x2=0D．x1=2，x2=0【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】首先移项，将方程右边2x移到左边，再提取公因式x，可得x（x﹣2）=0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”，即可求得方程的解．【解答】解：原方程移项得：x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，（提取公因式x），∴x1=0，x2=2，故选D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法， 配方 学校职工宿舍分配方案某公司股权分配方案中药治疗痤疮学校教师宿舍分配方案医生绩效二次分配方案 法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．　4．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出一个小球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是（　　）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于4的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于4的有10种情况，∴两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是：=．故选：C．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 为：概率=所求情况数与总情况数之比．　5．如图，已知直线a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上，则∠1与∠2的大小关系为（　　）A．相等B．互余C．互补D．大小不确定【考点】平行线的性质；余角和补角．【分析】先根据平角等于180°求出∠3与∠1的大小关系，再利用两直线平行，同位角相等即可得到∠1与∠2的大小关系．【解答】解：∵∠1+∠3+90°=180°，∴∠1+∠3=180°﹣90°=90°，∵a∥b，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=90°，即∠1与∠2互余．故选B．【点评】本题考查了平角的定义及两直线平行，同位角相等的性质，熟记性质是解题的关键．　6．春雨小卖部货架上摆放着某品牌桶面，它们的三视图如图所示，则货架上的桶面至少有（　　）A．10桶B．9桶C．7桶D．5桶【考点】由三视图判断几何体．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：易得第一层有4碗，第二层最少有2碗，第三层最少有1碗，所以至少共有7盒．故选：C．【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．　7．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC与BD的交点O作AC的垂线交AD于点E，连接CE．若AB=4，BC=6，则△CDE的周长是（　　）A．7B．10C．11D．12【考点】平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由平行四边形ABCD的AB+BC=AD+CD=10，继而可得△CDE的周长等于AD+CD．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，∵AB=4，BC=6，∴AD+CD=10，∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=10．故选B．【点评】此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．　8．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（　　）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．2【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则可转化为ax2+bx=﹣m，即可以理解为y=ax2+bx和y=﹣m有交点，即可求出m的最小值．【解答】解：一元二次方程ax2+bx+m=0有两个不相等的实数根，可以理解为y=ax2+bx和y=﹣m有交点，可见，﹣m＜2，∴m＞﹣2，∴m的最小值为﹣1．故选：C．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，把元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则可转化为ax2+bx=﹣m，即可以理解为y=ax2+bx和y=﹣m有交点是解题的关键．　二、填空题9．计算：﹣=　　．【考点】分式的加减法．【专题】计算题．【分析】原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式=﹣==．故答案为：．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　10．不等式组的解集是　﹣1＜x≤3　．【考点】解一元一次不等式组．【专题】计算题．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，解不等式①得，x＞﹣1，解不等式②得，x≤3，所以不等式组的解集是﹣1＜x≤3．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．　11．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D．连接BD，若∠C=40°，则∠ODB的度数为　25°　．【考点】切线的性质．【分析】先根据切线的性质得∠OAC=90°，再利用互余计算出∠AOC=90°﹣∠C=50°，由于∠OBD=∠ODB，利用三角形的外角性质得∠ODB=∠AOC=25°．【解答】解：∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∴∠AOC=90°﹣∠C=90°﹣40°=50°，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，而∠AOC=∠OBD+∠ODB，∴∠ODB=∠AOC=25°，故答案为：25°【点评】本题考查了切线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠AOC的度数．　12．一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个球为蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为　　．【考点】概率公式．【分析】首先设袋子中篮球x个，由概率公式即可求得方程：=，继而求得篮球的个数，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：设袋子中篮球x个，根据题意得：=，解得：x=9，经检验：x=9是原分式方程的解；∴随机摸出一个为红色玻璃球的概率为：=．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　13．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是　　．【考点】扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．【解答】解：如图，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴△DAB是等边三角形，∵AB=2，∴△ABD的高为，∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，∴∠3=∠4，设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，在△ABG和△DBH中，，∴△ABG≌△DBH（ASA），∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD=﹣×2×=﹣．故答案是：﹣．【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形EBFD的面积等于△ABD的面积是解题关键．　14．如图，若双曲线y=与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点，且OC=2BD．则实数k的值为　4　．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；等边三角形的性质．【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设OC=2x，则BD=x，分别表示出点C、点D的坐标，代入函数解析式求出k，继而可建立方程，解出x的值后即可得出k的值．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设OC=2x，则BD=x，在Rt△OCE中，∠COE=60°，则OE=x，CE=x，则点C坐标为（x，x），在Rt△BDF中，BD=x，∠DBF=60°，则BF=x，DF=x，则点D的坐标为（5﹣x，x），将点C的坐标代入反比例函数解析式可得：k=x2，将点D的坐标代入反比例函数解析式可得：k=x﹣x2，则x2=x﹣x2，解得：x1=2，x2=0（舍去），故k=x2=×4=4．故答案为：4．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题关键是利用k的值相同建立方程，有一定难度．　15．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为　　．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先连接CC′，可以得到CC′是∠EC′D的平分线，所以CB′=CD，又AB′=AB，所以B′是对角线中点，AC=2AB，所以∠ACB=30°，即可得出答案．【解答】解：连接CC′，∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．∴EC=EC′，∴∠1=∠2，∵∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠CB′C′=∠D=90°，∴△CC′B′≌△CC′D，∴CB′=CD，又∵AB′=AB，∴AB′=CB′，所以B′是对角线AC中点，即AC=2AB，所以∠ACB=30°，∴∠BAC=60°，∴tan∠BAC=tan60°==，BC：AB的值为：．故答案为：．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质和角平分线的判定与性质，解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质，得出CC′是∠EC′D的平分线是解题关键．　三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：a（a+b）（a﹣b）﹣a（a2﹣3b）+（a﹣b）2﹣a（a﹣b2），其中a=﹣2，b=﹣+（）﹣1．【考点】整式的混合运算—化简求值；实数的运算．【分析】先去括号，再合并同类项，进一步代入求得数值即可．【解答】解：a（a+b）（a﹣b）﹣a（a2﹣3b）+（a﹣b）2﹣a（a﹣b2）=a（a2﹣b2）﹣a（a2﹣3b）+（a2﹣2ab+b2）﹣a2+ab2=a3﹣ab2﹣a3+3ab+a2﹣2ab+b2﹣a2+ab2=ab+b2，b=﹣+（）﹣1=，把a=﹣2，b=2代入ab+b2=．【点评】此题考查整数的加减混合运算，以及代入求值的问题，注意去括号符号的变化和代入时字母与数值的对应．　17．为推动阳光体育活动的广泛开展，引导学生积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　40　人，图①中的m的值为　15　，图①中“38号”所在的扇形的圆心角度数为　36°　；（2）本次调查获取的样本数据的众数是　35　，中位数是　36　；（3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买36号运动鞋多少双？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数．【分析】（1）根据条形统计图求出总人数即可；由扇形统计图以及单位1，求出m的值即可；用“38号”的百分比乘以360°，即可得圆心角的度数；（2）找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可；（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为6+12+10+8+4=40，图①中m的值为100﹣30﹣25﹣20﹣10=15；360°×10%=36°；故答案为：40，15，36°．（2）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，∴这组样本数据的众数为35；∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36，∴中位数为（36+36）÷2=36；故答案为：35，36．（3）∵在40名学生中，鞋号为36的学生人数比例为25%，∴由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为36的人数比例约为25%，则计划购买200双运动鞋，36号的双数为：200×25%=50（双）．【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．　18．如图，已知⊙0与等腰△ABD的两腰AB、AD分别相切于点E、F，连接AO并延长到点C，使OC=AO，连接CD、CB．（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）若AB=4cm，填空：①当⊙O的半径为　　cm时，△ABD为等边三角形；②当⊙O的半径为　2　cm时，四边形ABCD为正方形．【考点】切线的性质；等边三角形的判定；菱形的判定；正方形的判定．【分析】（1）由AB、AD分别相切于点E、F，得到∠EAO=∠FAO，于是得到OD=OB，根据AO=OC，推出四边形ABCD是平行四边形，于是得到结论；（2）①连接OE由切线的性质得到OE⊥AD，由△ABD为等边三角形，得到BD=AB=AD=4，根据直角三角形的性质得到结论由正方形的性质得到∠DAO=∠ADO=45°，由AD=AB=4，得到OA=OD=2，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：∵AB、AD分别相切于点E、F，∴∠EAO=∠FAO，∴OD=OB，∵AO=OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=AD，∴▱ABCD是菱形；（2）①当⊙O的半径为时，△ABD为等边三角形；连接OE，∵AD切⊙O于点E，∴OE⊥AD，∵△ABD为等边三角形，∴BD=AB=AD=4，∴∠DAO=30°，∴OD=BD=2，AO=2，∴OE=AO=，∴当⊙O的半径为时，△ABD为等边三角形；故答案为：；②当⊙O的半径为2cm时，四边形ABCD为正方形；如图，∴∠DAO=∠ADO=45°，∵AD=AB=4，∴OA=OD=2，由（2）知，OE⊥AD，∴OE=AE=2，∴当⊙O的半径为2cm时，四边形ABCD为正方形；故答案为：2．【点评】本题考查了切线的性质，菱形的判定，等边三角形的性质，正方形的性质，熟记切线的性质定理是解题的关键．　19．图①中的铁塔位于我省开封市的铁塔公园，素有“天下第一塔”之称．为了测得铁塔EF的高度，小明利用自制的测角仪AC在C点测得塔顶E的仰角为45°，从点A向正前方行进23米到B赴，再用测角仪在D点测得塔顶E的仰角为60°．已知测角仪AC和BD的高度均为1.5米，AB所在的水平线AB⊥EF于点F（如图②），求铁塔EF的高度（结果精确到0.1米，≈1.73）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】设EG=x米，则CG=x米，DG=（x﹣23）米，在Rt△EDG中，有=tan60°，从而得到=，求出x即可．【解答】解：设EG=x米，则CG=x米，DG=（x﹣23）米，在Rt△EDG中，=tan60°，∴=，解得x≈54.395，EF≈54.395+1.5≈55.9米．答：铁塔EF高为55.9米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，构造直角三角形、运用勾股定理是解题的关键．　20．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA和折线BCD分别表示货车和轿车离甲地距离y（千米）与车行驶时间x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：（1）轿车到达乙地后，货车距乙地的路程还有多少千米？（2）求线段CD对应的函数解析式，并写出自变量上的取值范围；（3）轿车到达乙地后，马上（掉头时间忽略不计）沿原路以CD段速度返回，求轿车从乙地返回起又经过多少小时再与货车相遇．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据图象可知货车5小时行驶300千米，由此求出货车的速度为60千米/时，再根据图象得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车行驶的路程为270千米，而甲、乙两地相距300千米，则此时货车距乙地的路程为：300﹣270=30千米；（2）设CD段的函数解析式为y=kx+b，将C（2.5，80），D（4.5，300）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；（3）设轿车从乙地出发x小时后再与货车相遇，根据轿车行驶的路程+货车行驶的路程=30千米，列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）根据图象信息：货车的速度V货=300÷5=60（千米/时）．∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60=270（千米），此时，货车距乙地的路程为：300﹣270=30（千米）．答：轿车到达乙地后，货车距乙地30千米；（2）设CD段函数解析式为y=kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，∴，解得，∴CD段函数解析式：y=110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；（3）设轿车从乙地出发x小时后再与货车相遇，∵V货车=60千米/时，V轿车=110（千米/时），∴110x+60x=300，解得x=1（小时）．答：轿车从乙地出发约1小时后再与货车相遇．【点评】本题考查了一次函数的应用，对一次函数图象的意义的理解，待定系数法求一次函数的解析式的运用，行程问题中路程=速度×时间的运用，本题有一定难度，其中求出货车与轿车的速度是解题的关键．　21．某公司今年四月份出售A、B两种型号电动自行车，已知两种型号电动自行车的销售数量相同，B型车的售价比A型车低400元，B型车的销售总额是A型车销售总额的．（1）A、B两种型号自行车的售价分别为多少元？（2）该公司五月份准备用不多于7.8万元的金额再采购这两种型号的电动车共60辆，已知A型车的进价为1400元，B型车的进价为1100元，问A型车最多能采购多少辆？（3）在（2）的条件下，公司销售完这60辆电动车能否实现总利润为3.5万元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由（注：四、五月份售价保持不变，利润=售价﹣进价）．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设A型车售价为x元，B型车售价为（x﹣400）元，根据同样数量的车，B型车的销售总额是A型车销售总额的，列方程求解；（2）设A型车采购m辆，B型车采购（60﹣m）辆，根据题意可得，总金额不多于7.8万元，据此列不等式求解；（3）根据利润=售价﹣进价，列出代数式，求出总利润，进行判断．【解答】解：（1）设A型车售价为x元，B型车售价为（x﹣400）元，由题意得，=，解得：x=2000，经检验，x=2000是原分式方程的解，且符合题意，则x﹣400=1600，答：A型车售价为2000元，B型车售价为1600元；（2）设A型车采购m辆，B型车采购（60﹣m）辆，由题意得，1400m+1100（60﹣m）≤78000，解得：m≤50，答：A型车最多能采购50辆；（3）总利润=（2000﹣1400）m+（1600﹣1100）（60﹣m）=100m+30000，当总利润为3.5万时，100m+30000=35000，解得：m=50．答：A型车采购50辆，B型车采购10辆时总利润为3.5万．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．　22．（1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，点D为AC的中点，过点A作BD的垂线，垂足为E，延长AE交BC于点F，求△ABF的面积．小明发现，过点C作AC的垂线，交AF的延长线子点G，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到BF与CF的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空：=　2　，△ABF的面积为　　．（2）【类比探究】如图2，将（1）中的条件“点D为AC的中点”改为“点D为边AC上的一点，且满足CD=2AD”，其他条件不变，试求△ABF的面积，并写出推理过程．（3）【拓展迁移】如图3，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，点D为AC上一点，且满足CD=2AD，E为BD上一点，∠AEB=60°，延长AE交BC于F，请直接写出△ABF的面积．【考点】相似形综合题．【分析】（1）过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点G，证明△ACG≌△BAD，得到CG=AD，证明△CFG∽△BFA，求出BF与CF的数量关系，得到△ABF的面积；（2）过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点H，作法与（1）类似；（3）过点C作AB的平行线，交AF的延长线与点P，作AQ⊥BC于Q，作法与（1）类似．【解答】解：（1）如图1，过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点G，∵∠BAC=90°，∴∠ABD+∠ADB=90°，∵AE⊥BD，∴∠DAE+∠ADB=90°，∴∠CAG=∠ABD，在△ACG和△BAD中，，∴△ACG≌△BAD，∴CG=AD=AC=，∵BA∥CG，∴△CFG∽△BFA，∴==，即BF=BC，∴△ABF的面积=××4×4=；（2）如图2，过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点H，∵∠BAC=90°，∴∠ABD+∠ADB=90°，∵AE⊥BD，∴∠DAE+∠ADB=90°，∴∠CAG=∠ABD，在△ACG和△BAD中，，∴△ACH≌△BAD，∴CH=AD=AC=AB，∵BA∥CH，∴△CFH∽△BFA，∴==，即BF=BC，∴△ABF的面积=××4×4=6；（3）如图3，过点C作AB的平行线，交AF的延长线与点P，作AQ⊥BC于Q，∵AB=AC=4，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，∴AQ=AB=2，由勾股定理得，BQ=2，则BC=4，∴△ABC的面积为：×4×2=4，∵∠AEB=60°，∴∠AED=120°，∵CP∥AB，∴∠ADB=∠ACP，∠APC=∠AED=120°，∴∠APC=∠BAD，在△ACP和△BAD中，，∴△ACP≌△BAD，∴CP=AD=AC=AB，∵BA∥CP，∴△CFP∽△BFA，∴==，即BF=BC，∴△ABF的面积=×4=3．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意类比思想的运用．　23．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在x轴上，点B的纵坐标为2，点P为y轴右侧抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，直线AB与y轴交于点E，当m为何值时，以E，C，P，D为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由；（3）在直线AB的下方的抛物线上存在点P，满足∠PBD=45°，请直接写出此时的点P的坐标．【考点】二次函数综合题；勾股定理；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质．【专题】综合题．【分析】（1）只需先求出点A、B的坐标，然后运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；（2）易求出点E、C的坐标，从而求出EC的长．易证EC∥DP，要使以E，C，P，D为顶点的四边形是平行四边形，只需DP=EC，只需用含有m的代数式表示出点D、P的纵坐标，然后根据DP=EC建立关于m的方程并解此方程，就可解决问题；（3）连接BP，与x轴交于点F，过点B作BH⊥x轴于H，过点F作FG⊥AB于G，如图所示．要求点P的坐标，只需求出直线BP的解析式，只需求出点F的坐标，只需求出AF的长，易证△AOE∽△AGF∽△AHB，根据相似三角形的性质可得AG=2GF，AH=2BH=4，根据勾股定理可得AB=2．由∠ABP=45°，FG⊥AB可得FG=BG．设FG=x，则有AG=2x，BG=x，AB=3x=2，从而可求出x，根据勾股定理可求出AF，问题得以解决．【解答】解：（1）∵点A、B在直线y=x+上，yA=0，yB=2，∴xA=﹣1，xB=3，∴A（﹣1，0），B（3，2）．∵点A、B在抛物线y=x2+bx+c上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣；（2）∵点C是抛物线y=x2﹣x﹣与y轴的交点，∴C（0，﹣）．∵点E是直线y=x+与y轴的交点，∴E（0，），∴EC=﹣（﹣）=3．∵PD⊥x轴，∴xD=xP=m，∴yD=m+，yP=m2﹣m﹣，∴DP=|m2﹣m﹣﹣m﹣|=|m2﹣2m﹣3|．∵EC⊥x轴，DP⊥x轴，∴EC∥DP．∴当DP=EC=3时，以E、C，P，D为顶点的四边形是平行四边形，此时|m2﹣2m﹣3|=3，解得m1=1+，m2=1﹣，m3=0，m4=2．∵点P为y轴右侧抛物线上一动点，∴m=1+或2；（3）点P的坐标为（，﹣）．提示：连接BP，与x轴交于点F，过点B作BH⊥x轴于H，过点F作FG⊥AB于G，如图所示．易证△AOE∽△AGF∽△AHB，从而可得===，则有AG=2GF，AH=2BH=4，AB=2．由∠ABP=45°，FG⊥AB可得FG=BG．设FG=x，则AG=2x，AF=x，BG=x，AB=3x=2，即可得到x=，AF=，OF=AF﹣AO=，F（，0），运用待定系数法可得直线BF的解析式为y=3x﹣7．解方程组，得，，∴点P的坐标为（，﹣）．【点评】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键，具有解三角形意识（在△ABF中知道三个元素∠BAF、∠ABF及AB可求AF等其它元素）是解决第（3）小题的关键．