上海高考数学基础知识点精简版

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(备考精简版)编者：-1-高考数学基础知识点——(备考精简版)(第二版)高中数学基础知识点(备考精简版)编者：-2-目录第一章集合与命题、充要条件…...........................................................................................01一、集合….....................................................................................................................................01二、命题….....................................................................................................................................03三、充要条件….............................................................................................................................04第二章不等式…......................................................................................................................05一、不等式的基本性质…..............................................................................................................05二、不等式的解法…......................................................................................................................05三、基本不等式…..........................................................................................................................07四、不等式的证明（理）.................................................................................................................08第三章函数的基本性质...........................................................................................................09一、函数的有关概念…..................................................................................................................09二、函数的三要素…......................................................................................................................10三、反函数….................................................................................................................................11四、函数的基本性质…..................................................................................................................12第四章基本初等函数..............................................................................................................19一、正比例函数、反比例函数及其变型….................................................................................................19二、二次函数的概念与性质….....................................................................................................20三、幂函数、指数函数与对数函数….........................................................................................24四、抽象函数….............................................................................................................................28第五章三角比与解斜三角形…...............................................................................................30一、任意角的有关概念…..............................................................................................................30二、同角三角比…..........................................................................................................................31三、三角比恒等式及其应用…......................................................................................................33四、解斜三角形…..........................................................................................................................34第六章三角函数与反三角函数…...........................................................................................37一、三角函数的图像与性质…......................................................................................................37二、形如y=Asin(x+)+B的函数….................................................................................38三、反三角函数的图像与性质…..................................................................................................40四、三角方程的解法…..................................................................................................................41第七章数列与数学归纳法…...................................................................................................43一、数列的有关概念…..................................................................................................................43二、等差数列的概念与性质…......................................................................................................43三、等比数列的概念与性质…......................................................................................................45四、数列通项的求法…..................................................................................................................46五、数列求和的方法…..................................................................................................................47六、数列的极限…..........................................................................................................................48七、数学归纳法…..........................................................................................................................50第九章行列式与矩阵初步…...................................................................................................54一、行列式初步…..........................................................................................................................54二、矩阵初步….............................................................................................................................55高中数学基础知识点(备考精简版)编者：-3-第十章平面向量…..................................................................................................................59一、平面向量的概念与运算…......................................................................................................59二、平面向量的数量积及其应用…..............................................................................................61三、平面向量基本定理…..............................................................................................................62第十一章坐标平面上的直线…...............................................................................................64一、直线的倾斜角与斜率…..........................................................................................................64二、直线的方程…..........................................................................................................................64三、点与直线的位置关系…..........................................................................................................65四、直线与直线的位置关系…......................................................................................................66五、简单线性规划（）.............................................................................................................................................67第十二章圆锥曲线…...............................................................................................................69一、曲线与方程…..........................................................................................................................69二、圆….........................................................................................................................................69三、椭圆的性质与应用…..............................................................................................................71四、双曲线的性质与应用…..........................................................................................................72五、抛物线的性质与应用…..........................................................................................................74六、直线与圆锥曲线…..................................................................................................................75七、 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 方程..................................................................................................................................77第十三章复数初步…...............................................................................................................80一、复数的有关概念…..................................................................................................................80二、复数的运算…..........................................................................................................................80三、复数的几何意义…..................................................................................................................81四、实系数一元二次方程的解法…..............................................................................................82第十四章空间直线与平面…...................................................................................................84一、平面及其基本性质…..............................................................................................................84二、空间两条直线…......................................................................................................................84三、空间直线与平面…..................................................................................................................85四、空间两个平面…......................................................................................................................87五、空间向量在立体几何中的应用（理）......................................................................................88第十五章多面体与旋转体…...................................................................................................91一、多面体的概念与性质…..........................................................................................................91二、旋转体的概念与性质…..........................................................................................................92三、多面体与旋转体的体积…......................................................................................................94第十六章排列组合与二项式定理...........................................................................................97一、计数原理….............................................................................................................................97二、排列与组合…..........................................................................................................................97三、二项式定理…..........................................................................................................................98第十七章概率与统计初步…...................................................................................................100一、概率初步…...........................................................................................................................100二、统计初步…...........................................................................................................................102-4-x−1x−1x−1x−1第一章集合与命题、充要条件一、集合1.集合的有关概念⑴集合的定义：具有某种共同的确定的属性的元素的全体。用大写的英文字母 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示：A,B,C,,其中的元素用小写的英文字母表示：a,b,c⑵集合与元素的关系：x属于A：xA；x不属于A：xA;⑶集合中元素的基本性质：确定性、互异性、无序性；⑷集合的分类：①按元素个数分：有限集、无限集；空集、一元集、多元集。空集的特点：没有元素的集合称为空集，记作；0,0,,0,;空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。②按元素性质分：数集、点集等。A={x|y=}表示函数的定义域；A={y|y=}表示函数的值域；A={f(x)|f(x)=}表示一个函数组成的集合；A={(x,y)|y=}表示曲线上的点组成的集合；⑸集合的表示方法：①列举法：a1,a2,a3；②描述法：{x|x的属性}；③字母法：NNZQRC；其中：N*:正整数集，N:自然数集，I:虚数集，C:复数集；2.子集的概念与性质Z:整数集，Q:有理数集，CRQ:无理数集，R:实数集，⑴子集的定义：AB:xAxB；⑵集合与集合的关系：①A是B的子集：AB；②A是B的真子集：AB；B中至少含有一个元素不属于A；③A不是B的子集：AB；④A与B相等：A=BAB且BA；⑶子集的性质：①A，A(A),AA；②A=B：AB,且BA；③AB,BCAC；④ABCUBCUAAB=AAB=BACUB=CUAB=U;*-5-⑷子集个数公式：集合A含有n个元素，则:集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n−1，非空子集个数为2n−1，非空真子集个数为2n−2。3.集合的运算⑴交集：AB={x|xA且xB}；交集的性质：AB=BA;AA=A;A=;ABA;ABB;⑵并集：AB={x|xA或xB}；并集的性质：AB=BA;AA=A;A=A;ABA;ABB;⑶补集：CIA={x|xI且xA}；其中I称为全集。补集的性质：AI;CIAI;ACIA=;ACIA=I;CI(CIA)=A;注：补集思想在解题中有着很重要的作用；4.Ven图⑴两个集合的Ven图：①：AB②：ACIB③：BCIA④：CIACIB⑵三个集合的Ven图：①：ABC②：ABCIC③：ACCIB④：BCCIA⑤：ACIBCIC⑥：BCICCIA⑦：CCIACIB⑧：CIACIBCIC5.集合运算律⑴交换律：AB=BA，AB=BA；⑵结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；⑶分配律：(AB)C=(AC)(BC)，(AB)C=(AC)(BC)；-6-⑷摩根定律：CI(AB)=CIACIB，CI(AB)=CIACIB；二、命题1.命题的定义：一个可以确定真假的判断语句叫作一个命题。其形式均可改写为：“如果，那么。”或“若，则。”2.命题的分类⑴按正确与否分：真命题，假命题；真假命题的判断方法：判断真命题，需要证明；判断假命题，只需举一个反例即可。⑵按命题形式分：简单命题，复合命题；3.复合命题的形式⑴逻辑与：P且Q，记作PQ,一假必假；⑵逻辑或：P或Q，记作PQ,一真必真；⑶逻辑非：非P，记作P,真假互换；4.命题的四种形式⑴四种形式：①原命题：pq;②逆命题：qp;③否命题：pq;④逆否命题：qp;⑵四种形式的有关结论：①否命题是条件与结论均否，不同于命题的否定形式，即非命题；②原命题等价于逆否命题，逆命题与否命题等价；③原命题为真，则逆否命题为真，逆命题与否命题不一定为真；④对于以否定形式出现的问题，通常转化为其等价命题来判定；5.语句的否定形式原语句反设词是（等于）不是（不等于）都是不都是一定是不一定是整数非整数至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至多有n个至少有(n+1)个p或qp且qp且qp或qx都成立某个x不成立x都不成立某个x成立-7-其中：“”为全称变量，读作“对任意的”；“”为特称变量，读作“存在”。6.反证法原理与运用⑴反证法的步骤：假设结论的否定形式正确，推导出矛盾，则原结论正确。⑵矛盾的四种形式：①与生活常识矛盾；②与已知条件矛盾；③与公理矛盾；④与定理矛盾；⑤自相矛盾；等等注意：在证明有关命题时，多会用到②④⑤条。三、充要条件1.定义:PQ：命题P是命题Q的充分条件，命题Q是命题P的必要条件。2.条件的四种形式⑴PQ且QP：命题P是命题Q的充分非必要条件；⑵QP且PQ：命题P是命题Q的必要非充分条件；⑶PQ且QP：命题P是命题Q的充分必要条件；⑷PQ且QP：命题P是命题Q的非充分非必要条件；3.条件的求法⑴求命题P的充分条件：求能推出命题P的命题；⑵求命题P的必要条件：求命题P能推出的命题；⑶求命题P的充要条件：求与命题P能相互推出的命题；4.条件的集合表示记满足命题P的所有元素组成集合A；满足命题Q的所有元素组成集合B；则：⑴当AB时，P是Q的充分条件;若AB,则P是Q的充分非必要条件；⑵当BA时，P是Q的必要条件;若BA,则P是Q的必要非充分条件；⑶当A=B时，P是Q的充要条件；这就意味着P和Q是可以相互推出的；⑷当AB且BA时，P是Q的非充分非必要条件；注：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围；-8-第二章不等式一、不等式的基本性质1.对称性：abba；2.传递性：ab,bcac；3.可加性：aba+cb+c；4.可乘性：ab,c0acbc;ab,c0acbc；5.叠加性：ab,cda+cb+d,a−db−c；6.叠乘性：ab0,cd0acbd,ab；ab0,cd0acbd,ab；dcdc1111117.可倒性：ab,ab0；ab00,0ab0;ababab8.乘方开方性：ab0anbn,nanb，(nN);9.分式放缩性：abm0b−mbb+m;a−maa+m10.指数放缩性：0a1aa2an;a1aa2an;二、不等式的解法1.整式不等式的解法：⑴一元一次不等式的解法：axb:当a0时，xb；当a0时，xb；aa当a=0,b0时，x，当a=0,b0时，xR。⑵一元二次不等式的解法：f(x)=ax2+bx+c(a0),xx；12ax2+bx+c0ax2+bx+c0ax2+bx+c0ax2+bx+c00xx1或xx2xx1或xx2x1xx2x1xx2=0x−b2axRxx=−b2a0xRxRxx⑶一元高次不等式的解法：f(x)=a0(x−x1)(x−x2)(x−xn)(a00)；序轴标根法:f(x)0：位于序轴上方的区间；f(x)0：位于序轴下方的区间；-9-f(x)f(x)f(x)f(x)注意：①各因式x前的系数必须为正数；②从最大根右侧的上方画起；③可取的根画实圈，不可取的根画空圈；④奇重根直接穿过，偶重根反弹；俗称“奇穿偶不穿”。2.分式不等式的解法：f(x)0f(x)g(x)0,f(x)0f(x)g(x)0；g(x)g(x)g(x)0f(x)f(x)−g(x)h(x)(f(x)−g(x)h(x))g(x)0h(x)0；g(x)g(x)g(x)0分式不等式也可用序轴标根法解之，在前面的基础上我们还需注意：①不能对角相乘，只能移项通分；②分母不能为零，分母为零处画空圈；注意：对于可以作出图像的分式不等式，也可用数形结合法解之，方便快捷；3.绝对值不等式的解法：定义法，平方法，公式法，零点分段讨论等。⑴f(x)a(a0)f(x)a或f(x)−a；f(x)a(a0)−af(x)a⑵f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)−g(x)；f(x)g(x)−g(x)f(x)g(x)；⑶f(x)g(x)f2(x)g2(x);f(x)g(x)f2(x)g2(x);⑷f(x)g(x)h(x)：令f(x)=0，g(x)=0，得到x=x1,x2;将x1,x2标于序轴得到三个区间，分别于这三个区间进行讨论去绝对值符号。4.无理不等式的解法：f(x)0f(x)0⑴g(x)g(x)0f(x)0或;g(x)g(x)0；f(x)g2(x)g(x)0f(x)g2(x)⑵g(x)f(x)0g(x)0f(x)0或;g(x)f(x)0g(x)0；f(x)g2(x)g(x)0f(x)g2(x)注意：对于根号下是一次或二次的无理不等式，我们也可以用解析法解之，方便快捷；5.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题：分离变量⑴不等式的恒成立问题：①不等式M(t)f(x)在区间D上恒成立在区间D上，M(t)f(x)min；②当xD时，f(x)的值域为(m,n)，则：不等式M(t)f(x)在区间D上恒成立在区间D上，M(t)m.；-10-p2abna1a2an12nna2+a2++a2⑵不等式的能成立问题（有解问题）：①不等式M(t)f(x)在区间D上能成立（有解）在区间D上，M(t)f(x)max；②关于x的方程的有解无解问题：关于x的方程M(t)=f(x)在区间D上有解在区间D上，M(t)f(x)的值域；关于x的方程M(t)=f(x)在区间D上无解在区间D上，M(t)f(x)的值域；记住：“恒成立问题，有解问题，分离变量”。⑶不等式的恰成立问题：不等式f(x)M(t)在区间D上恰成立不等式f(x)M(t)的解集为区间D；三、基本不等式1.基本不等式⑴a,bR,a2+b22ab2ab（当且仅当a=b时取等号）；⑵a,bR+,a+b2（当且仅当a=b时取等号）；⑶a,bR+,a2+b2(a+b)2ab（当且仅当a=b时取等号）；22⑷a,b,cR+,a+b+c33abc（当且仅当a=b=c时取等号）；2.极值定理：已知a,b都是正实数，则：①若ab是定值p，则当a=b时，a+b有最小值2；②若a+b是定值q，则当a=b时，ab有最大值q；4简言之：一正二定三相等，和定积最大，积定和最小。3.均值不等式：调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数：⑴若a,bR+,则：2a+b；（当且仅当a=b时取等号）；1+12ab⑵若a,a,,aR+,nN*,则：12nna+a++a1+1++112n；na1a2an（当且仅当a1=a2==an时取等号）；aba2+b22-11-4.绝对值不等式：若a,b,cR,则：||a|−|b|||ab||a|+|b|；其中等号成立的条件为：①当且仅当ab0时，||a|−|b||=|a−b|,a+b=a+b;②当且仅当ab0时，||a|−|b||=|a+b|,a−b=a+b;推广：a,a,,aR,nN*,则：a+a++aa+a++a.12n12n12n（当且仅当a1,a2,,an两两非异号时等号成立）。注意：在很多时候，我们可以利用不等式的取等条件做题；四、不等式的证明：1.比较法：⑴作差法：作差与0比较大小，常用于求证的不等式两端是多项式或分式的形式；⑵作商法：作商与1比较大小，常用于求证的不等式两端是乘积形式或幂指数式；2.分析法：“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，需证命题B1为真，从而有……,需证命题B2为真，从而又有……,需证命题A为真而已知A为真，故B必真。3.综合法：“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。4.换元法：常用于条件不等式的证明；⑴“1”的妙用：多用于整式与分式的相互证明等，任意常数都可以比例地换成1；⑵三角换元法：如已知x2+y2=a2，可设x=acos,y=asin；5.放缩法：把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明不等式的方法，放缩的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 是应该有利于计算的顺利进行；6.反证法：凡是"至少"、"唯一"或含有否定词的命题，适宜用反证法。-12-⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→；一、函数的有关概念第三章函数的基本性质1.函数的定义：f(x):x→y,xD,yE,D：定义域，必须为非空数集；E：值域，必须为非空数集；f(x)：对应法则；一对一，多对一，不能一对多。2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则；对应法则是核心。⑴定义域的表示方法：集合表示法、区间表示法；⑵函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。⑶函数相同：定义域、值域、解析式均相同；3.函数的图像⑴作图方法：描点法步骤：列表→描点→连线（平滑曲线）⑵函数图像的变换：只对单个的x或y有效；①平移变换：左加右减，上加下减；横向平移：a0;向左平移a个单位y=f(x)y=向右平移a个单位f(x+a)；向上平移b个单位纵向平移：b0;y=f(x)y=f(x)+b向下平移b个单位沿向量平移：a0，b0;y=f(x)⎯沿⎯向⎯量（⎯a,b）⎯平⎯移→y=f(x−a)+b；②伸缩变换：横向伸缩：a1；y=横坐标缩小为原来的1f(x)⎯⎯⎯⎯⎯⎯a⎯→y=f(ax)；纵向伸缩：b1；y=f(x)⎯纵⎯坐⎯标扩⎯大为⎯原来⎯的b⎯倍→y=bf(x)；同时伸缩：b1；y=f(x)→y=bf(ax),a1,b1：先将y=f(x)图像的横坐标缩小为原来的1，得到y=f(ax)的图像，再将y=f(ax)图像的纵坐标扩大为原来的b倍，得到ay=bf(ax)的图像。③翻折变换：y=f(x)→y=f(x)：俗称“去左右翻”将y=f(x)的y轴左侧的图像去掉，再将y轴右侧的图像翻转到y轴左侧，与y轴右侧原来的图像所组成的图像，即为函数y=f(x)的图像；y=f(x)→y=f(x)：俗称“下翻上”将y=f(x)的x轴下方的图像翻转到x轴的上方，与x轴上方原来的图像所组成的图像，即为y=f(x)的图像；-13-,二、函数的三要素1.函数定义域的求法⑴分母0;x0中x0；偶次根号下0;log后面0；log底数要大于零且不等于1;⑵四则运算得到的函数的定义域：每个函数定义域的交集;⑶复合函数的定义域：y=f(x)的定义域y=fg(x)的定义域；①已知y=f(x)的定义域为D，则y=fg(x)的定义域为：{x|g(x)D}.②已知y=fg(x)的定义域为D，则y=f(x)的定义域为；{t|t=g(x),xD}.2.函数值域的求法：基本方法：换元法、数形结合法⑴直接法：f(x)0,f(x)20,0,ax0,sinx−1,1,cosx−1,1，arcsinx−,，arccosx0,，arctanx−,，arccotx(0,)；2222⑵配方法：二次函数f(x)=ax2+bx+c及可化为其形式的函数，配方后运用数形结合法；⑶分离常数法：一次分式函数f(x)＝结合法；kx−a+b及可化为其形式的函数，分离常数后运用数形⑷配凑法：用于定义域不为R的二次分式形式的函数，化为耐克函数或伪耐克函数；⑸基本不等式法：耐克函数f(x)＝x+a(a0)及可化为其形式的函数；x⑹法：用于定义域为R的二次分式形式的函数：⑺反函数法：一次分式函数f(x)＝等；尽量少使用；k+bx−a及可化为其形式的函数，不含定义域的指数函数⑻单调性法：单调性可以确定的函数，如f(x)＝x−a(a0)；x⑼三角代换法：x与形成单调关系；如x−1,1,则可令x=sin,−；223.函数解析式的求法⑴换元法：已知fg(x)的表达式，求f(x)的表达式。令t=g(x)x=g−1(t)代入化简得到f(t)，即为f(x).⑵配凑法：已知fg(x)的表达式，求f(x)的表达式。将fg(x)右边的表达式配凑出g(x)的形式，然后直接将g(x)换为x即得f(x)的表达式。f(x)-14-⑶待定系数法：已知f(x)的函数类型，可设f(x)的表达式，解之；多用于一次、二次函数。⑷区间转移法：求什么范围，就设什么范围，或用图像法；①已知函数的奇偶性：变号；y=f(x),xa,b,f(−x)=−f(x)或f(−x)=②已知函数的周期性：加减n倍周期f(x)→y=g(x),x−b,−a;y=f(x),xa,b,f(x+T)=f(x)→y=g(x),xa+kT,b+kT,kZ;③已知函数的对称轴：2倍对称轴-xy=f(x),xm,n,f(x)的对称轴为x=a→y=g(x),x2a−n,2a−m；④已知函数的对称中心：2倍对称中心横坐标-xy=f(x),xm,n,f(x)的对称中心为(a,b)→y=g(x),x2a−n,2a−m；⑤已知函数的其他关系式：y=f(x),xa,b,如f(x)满足：f(x+1)=f(x)−32f(x)+1→y=g(x),xa+1,b+1；⑸高斯消元法：已知函数自身关系式求函数解析式，建立方程组①f(x)+kf(−x)=g(x)(g(x)已知，k1)→f(x)的表达式;1②f(x)+kf()=g(x)(g(x)已知，k1)→f(x)的表达式;x③已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数：f(x)+kg(x)=h(x)(h(x)已知)→f(x),g(x)的表达式;三、反函数1.反函数存在的前提条件：⑴y=f(x)在区间M上存在反函数的充要条件是y=f(x)在区间M上一对一;⑵y=f(x)在区间M上存在反函数的充分非必要条件是y=f(x)在区间M上单调;即：区间M上的单调函数必存在反函数，函数在区间M上存在反函数不一定单调；2.求反函数的步骤：⑴y=f(x)在区间M上存在反函数；⑵xM→yE；⑶y=f(x)→x=f−1(y)；⑷交换x,y的位置得到y=f−1(x),xE；-15-x3.互为反函数的函数图像之间的关系：充要条件。⑴y=f(x),xM的图像与y=f−1(x),xE的图像关于y=x对称；⑵y=f(x)的图像与y=g(x)的图像关于y=x对称，则g(x)=f−1(x)；4.原函数与反函数的性质：⑴两个恒等式：x=f−1f(x),y=ff−1(y);⑵原函数与反函数定义域、值域刚好相反;⑶原函数过(a,b)，则反函数过(b,a)；⑷原函数与反函数在对应区间上单调性相同；⑸奇函数不一定存在反函数，若存在反函数，其反函数仍为奇函数；偶函数不一定存在反函数，定义域为非单元素集的偶函数一定不存在反函数；存在反函数的偶函数有且只有一类：f(x)=c,x=0,c为常数；⑹周期函数一定不存在反函数；⑺自反函数：反函数是其自身函数的图像关于y=x对称；如y=x,y=−x+b,y=kx−a+a等；⑻原函数与反函数图像的交点不一定都在直线y=x上。当函数单调递增时，原函数与反函数的交点一定在y=x上；其他情况，不一定在y=x上。11111如：互为反函数的y=log1x与y=均过,,,,但都不在y=x上。165.复合函数反函数的求法：y=f(x)、g(x)的反函数存在；16fg(x)4224xDg(x)UyE；y=fg(x)g(x)=f−1(y)x=g−1f−1(y)；交换x、y的位置得到反函数y=g−1f−1(x)，xE；注意：y=fg(x)的反函数不是y=f-1g(x)；四、函数的基本性质1.函数的单调性⑴函数单调性的定义：y=f(x),x1、x2a,b,x1x2；f(x1)f(x1)f(x2)f(x2)f(x)在区间a,b上单调递增；f(x)在区间a,b上单调递减；-16-⑵函数单调性的判断与证明方法：①定义法：x1、x2a,b，且x1x2；作差f(x1)−f(x2)与0比较；在f(x)恒正或恒负时，亦可作商f(x1)与1比较。f(x2)一般步骤：①取值；②作差；③变形；④定号；⑤结论。②图像法：画出已知函数的图像，由观察得出函数的单调区间；③利用已知函数的单调性：基本初等函数的单调性必须牢记；⑷函数单调性的一些性质：①函数的单调性是函数的局部性质，而单调函数具有全局性；②函数单调性的基本应用：③f(x)在区间D上单调，则其在D的任一子区间上单调性与其相同；④对称中心两侧对应区间上单调性相同，对称轴