第9章非正弦周期电流电路

学习目标 正确理解非正弦周期电流电路的基本概念和谐波分析法 深刻理解将周期函数f(t)分解为直流分量、基波分量和一系列不同频率的各次谐波分量之和。 深刻理解和掌握谐波分析的意义：傅里叶级数是一个收敛级数，当K取到无限多项时就可以准确地表示原非正弦周期函数，但在实际工程计算时只能取有限的几项，取多少项依据工程所需的精度而定。 正确非正弦周期电流有效值、平均值和平均功率，并会进行计算。9.1非正弦周期电流电路的基本概念9.1.1非正弦周期电流、电压的概念前面几章研究了正弦电流电路的分析计算方法，但在工程实际中大量存在的还有非正弦周期电压和电流，如图9.1所示的周期性变化的方波、三角波等。非正弦周期电压和电流都是随时间作周期性变化的非正弦函数，和正弦函数相比，都有变化的周期T和频率f，不同的仅是波形而已。图9.1几种常见的非正弦波（a）尖脉冲电流；（b）矩形波电压;（c）锯齿波电压周期函数的一般定义是：设有一时间函数f(t)，若满足则称为周期函数。其中T为常数，称为的重复周期，简称周期。称为周期函数的频率。9.1.2产生非正弦周期电压、电流的原因在什么情况下，电路中会出现非正弦周期电压和电流呢？在线性电路中有一个正弦电源作用或多个同频电源共同作用时，电路各部份的稳态电压、电流都是同频的正弦量。在线性电路中，有几个不同频率的正弦激励时，稳态响应一般是非正弦的。更普遍的情形，也是本章重点研究的情形则是线性电路中，当激励是非正弦周期函数时，各部分的稳态响应也将是非正弦周期电压和电流。例如在电力工程中，发电机产生的电压尽管力求按正弦规律变化，但由于制造方面的原因，其电压波形是周期的，但与正弦波形或多或少会有差别。在自动控制、电子计算机等技术领域中大量应用的脉冲信号也都是非正弦周期信号，如图9.1（a）周期脉冲电流、9.1（b）的方波电压，图9.1（c） 实验室 17025实验室iso17025实验室认可实验室检查项目微生物实验室标识重点实验室计划 常用的电子示波器扫描电压的锯齿波。在通信工程方面传输的信号，如收音机、电视机收到的信号电压和电流，它们的波形也都是非正弦的周期信号。9.1.3谐波分析法怎样分析在非正弦周期电压和电流的激励下，线性电路的稳态响应呢？首先应用数学中的傅里叶级数展开方法，将非正弦周期电压和电流激励分解为一系列不同频率的正弦量之和。其次，再根据线性电路的叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作用下在线性电路中产生的同频正弦电流分量和电压分量。最后，把所得的分量按瞬时值叠加，就可以得到电路中实际的稳定电流和电压。上述方法就称为非正弦周期电流的谐波分析法，它的本质就是把非正弦周期电流电路的计算转化为一系列正弦电流电路的计算，这样就能充分利用正弦电流电路的相量法这个有效的工具。9.2非正弦周期信号的谐波分析9.2.1非正弦周期信号的谐波分析方法在介绍非正弦周期信号的谐波分析分解之前,我们先讨论几个不同频率的正弦波的合成。设有一个正弦电压u1=U1msinωt,其波形如图9.2（a）所示。显然这一波形与同频率矩形波相差甚远。如果在这个波形上面加上第二个正弦电压波形,其频率是u1的3倍,而振幅为u1的1/3,则表示式为其波形如图9.2（b）所示。如果再加上第三个正弦电压波形,其频率为u1的5倍,振幅为u1的1/5,其表示式为其波形如图9.2（c）所示。照这样继续下去,如果叠加的正弦项是无穷多个,那么它们的合成波形就会与图9.2（d）的矩形波一样。图9.2矩形波的合成由数学知识可知,如果一个函数是周期性的,且满足狄里赫利条件,那么它可以展开成一个收敛级数,即付里叶级数。电工技术中所遇到的周期函数一般都能满足这个条件。设给定的周期函数f（t）的周期为T,角频率ω＝2π/T,则f（t）的付里叶级数展开式为由此可以看出,几个不同频率的正弦波可以合成一个非正弦的周期波。反之,一个非正弦的周期波可以分解成许多不同频率的正弦波之和。（9—1）利用三角函数公式,还可以把式（9—1）写成另一种形式:（9—2）式中,a0,ak,bk称为付里叶系数,可由下列积分求得:(9—3)尽管上式的推导在数学中已作介绍，这里不再赘述；但是推导过程中应用的三角函数的正交性，即三角函数积分的如下性质，对理解上述系数公式，以及理解下节有效值和平均功率的概念都很有帮助，所以仍将三角函数正交性公式分列如下：正弦、余弦函数在一个周期上的定积分为0，即正弦、余弦函数的乘积，不同频的正弦与正弦、余弦与余弦函数的乘积在一个周期上的定积分为0，即(m≠n)(m≠n)式（9—1）和式（9—2）各系数之间存在如下关系:(9—4)同频的正弦与正弦、余弦与余弦函数的乘积在一个周期上的积分等于π，即例9.1已知矩形周期电压的波形如图9.3所示。求u（t）的付里叶级数。解图示矩形周期电压在一个周期内的表示式为(9—5)图9.3例9.1图由式（9—3）可知:当k为奇数时,当k为偶数时,由此可得例9.2求图9.4所示周期信号的付里叶级数展开式。解i(t)在一个周期内的表示式为图9.4例9.2图利用分步积分法及,得式(9-1)中Ao项为常数项，它为非正弦周期函数一周期内的平均值，与时间无关，称为直流分量。K=1项表达式为A1in(ωt+Ψ1)，此项的频率与原非正弦周期函数f(t)的频率相同，称为原非正弦周期函数f(t)的基波分量，A1为基波分量的振幅，Ψ1为基波分量的初相位。K≥2的各项统称为谐波分量，并根据谐波分量的频率是基波分量频率的K倍，称为K次谐波。如2次谐波、3次谐波……。Ak及Ψk为K次谐波分量的振幅及初相位。将周期函数f(t)分解为直流分量、基波分量和一系列不同频率的各次谐波分量之和，称为谐波分析。它即是谐波分析法的第一步。画出一个直角坐标,以谐波角频率kω为横坐标,在各谐波角频率所对应的点上,作出一条条垂直的线叫做谱线。如果每条谱线的高度代表该频率谐波的振幅,这样画出的图形称为振幅频谱图。将各谱线的顶点连接起来的曲线（一般用虚线表示）称为振幅包络线。谐波分析的意义在于：傅里叶级数是一个收敛级数，当K取到无限多项时就可以准确地表示原非正弦周期函数，但在实际工程计算时只能取有限的几项，取多少项依据工程所需的精度而定。9.2.2对称波形的傅里叶级数　　在电工技术中遇到的非正弦周期函数，许多具有某种对称性。在对称波形的傅里叶级数中，有些谐波分量不存在。因此利用波形对称性与谐波分量的关系，可以简化傅里叶系数的计算。1、周期函数的波形在横轴上、下部分包围的面积相等，此时函数的平均值等于零，傅里叶级数展开式中ao=0，即无直流分量。2．周期函数为奇函数满足f(t)=-f(-t)的周期函数称为奇函数，波形对称于原点。3．周期函数为偶函数满足f(t)=f(-t)的周期函数称为偶函数，波形对称于纵轴。如全波整流波形、矩形波都是偶函数。它们的傅里叶级数展开式中bk=0，即无正弦谐波分量，只含余弦谐波分量，因为余弦函数本身就是偶函数。周期函数表示为偶函数的傅里叶级数中bk=0,所以偶函数的傅里叶级数中不含正弦项。3．奇谐波函数图9.5奇谐波函数满足f(t)=-f(t+)的周期函数称为奇谐波函数。如图9.5所示的波形就是奇谐波函数。将它的波形移动半个周期后（图中虚线所示），与原函数波形对称于横轴，即镜象对称。它们的傅里叶级数展开式表示为：(k为奇数)综上所述，根据周期函数的对称性可以预先判断它所包含的谐波分量的类型，定性地判定哪些谐波分量不存在（这在工程上常常是有用的），从而使傅里叶系数的计算得到简化。如果周期函数同时具有两种对称性，则在它的傅里叶级数展开式中也应兼有两种对称的特点。傅里叶级数展开式中存在的谐波分量的系数仍需用式(9-3)计算确定。例9.3试把振幅为50V、周期为0.02s的三角波电压分解为傅里叶级数（取至五次谐波）。解电压基波的角频率为9.2.3查表求周期函数f(t)的傅里叶级数展开式在实际工程中，也往往不用系数公式计算系数，确定傅里叶级数展开式，而是用查表的方法来获得展开式。本章最后的附表9.1就是几个典型的周期函数的傅里叶级数展开式。不过实际工程中的周期函数与表中列出的典型函数可能不尽相同，需作一些相应的处理即可获得对应的展开式。表9.1几种周期函数(k为奇数) 名称 波形 傅里叶级数 有效值 平均值 正弦波 梯形波(k为奇数)(k为奇数) 名称 波形 傅里叶级数 有效值 平均值 三角波 矩形波 名称 波形 傅里叶级数 有效值 平均值 半波整流波 全波整流波 名称 波形 傅里叶级数 有效值 平均值 锯齿波 例9.4图9.6（a）为电视机和示波器扫描电路中常用的锯齿波,试画出其振幅频谱图。 解查表9.1,可得锯齿波电压的付里叶级数展开式为图9.6例9.4图根据上式可以画出其频谱图如图9.6（b）所示。例9.5图9.7给出了矩形脉冲电压的波形,它是无线电技术中一种很重要的信号。其中脉冲幅度为Um,脉冲的持续时间为τ,脉冲的周期为Ｔ,试画出其频谱图。图9.7例9.5图解该信号在一个周期的数学表达式为由于此信号对称于纵轴,因此,bk＝０,付里叶级数不含正弦分量,只含直流分量和余弦分量。若令T＝3τ,则其频谱图如图9.7(b)所示。2.周期信号的频谱特性。(1)频谱是由一系列不连续的谱线组成。(2)相临两条谱线之间的间隔是基波频率ω,谱线的这种矩形脉冲的付里叶级数展开式为性质称为谱波性。(3)各谱线的高度，总的趋势是逐渐减小的。 (4)如果脉冲的周期T不变,脉冲的持续时间τ减小,也就是脉冲变窄。此时,振幅频谱的收敛速度将变慢。如图9.7（b）所示,此图的τ′=τ/2,T=6τ′。与图9.7(a)比较（T=3τ）,收敛速度明显变慢了。(5)如果脉冲的持续时间τ不变,周期T增大时,谱线将变密。如图9.7（c）所示,此图的T′=6τ。 9.3有效值、平均值和平均功率9.3.1有效值(9—6)下面我们讨论非正弦周期信号的有效值与各次谐波有效值的关系。若将电流i分解成付里叶级数,将上式积分号内直流分量与各次谐波之和的平方展开,结果有以下四种类型:将该表达式代入式（9—6）得因此,电流i的有效值可按下式计算:同理,非正弦周期电压的有效值为(9—7)(9—8)所以,非正弦周期电流和电压的有效值等于各次谐波有效值平方和的平方根。各次谐波有效值与最大值之间的关系为例9.6已知周期电流的付里叶级数展开式为i=100—63.7sinωt—31.8sin2ωt—21.2sin3ωtA求其有效值。解所以电流i的有效值为112.9A。9.3.2平均值实践中还会用到平均值的概念。以电流为例,其定义为(9—9)即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。式（9—9）也称为整流平均值,它相当于正弦电流经全波整流后的平均值。例如,当i=Imsinωt时,其平均值为比较式（9—3）,（9—6）,（9—9）可以看出,非正弦交流电路中的直流分量,有效值和平均值是三个不同的概念,应加以区分。9.3.3平均功率设有一个二端网络,在非正弦周期电压u的作用下产生非正弦周期电流i,若选择电压和电流的方向一致,此二端网络吸收的瞬时功率和平均功率为同理,电压平均值的表示式为(9—10)将电压和电流展开成付里叶级数,有二端网络吸收的平均功率为将上式积分号内两个积数的乘积展开,分别计算各乘积项在一个周期内的平均值,有以下五种类型项:因此,二端网络吸收的平均功率可按下式计算：(9—11)其中,,是k次谐波的平均功率。必须注意,只有同频率的谐波电压和电流才能构成平均功率,不同频率的谐波电压和电流不能构成平均功率,也不等于端口电压的有效值与端口电流有效值的乘积。例9.7流过10Ω电阻的电流为i=10+28.28cost+14.14cos2tA求其平均功率。解例9.8某二端网络的电压和电流分别为u=100sin(ωt+30°)+50sin(3ωt+60°)+25sin5ωtVi=10sin(ωt—30°)+5sin(3ωt+30°)+2sin(5ωt—30°)A求二端网络吸收的功率。解基波功率三次谐波功率五次谐波功率作业：P287页9.19.29.3因此,总的平均功率为9.4非正弦周期电路的计算在9.1节中，已介绍到谐波分析法的概念，它是非正弦周期电流电路计算的基本方法，在这里把付里叶级数,直流电路,交流电路的分析和计算方法以及叠加原理应用于非正弦的周期电路中,就可以对其电路进行分析和计算。其具体步骤如下:(1)把给定的非正弦输入信号分解成直流分量和各次谐波分量,并根据精度的具体要求取前几项。(2)分别计算各谐波分量单独作用于电路时的电压和电流。但要注意电容和电感对各次谐波表现出来的感抗和容抗的不同,对于k次谐波有 (3)应用线性电路的叠加原理,将各次谐波作用下的电压或电流的瞬时值进行叠加。应注意的是,由于各次谐波的频率不同,不能用相量形式进行叠加。  例9.9如图9.8（a）所示的矩形脉冲作用于图9.8（b）所示的RLC串联电路,其中矩形脉冲的幅度为100V,周期为1ms,电阻R＝10Ω,电感L＝10mH,电容C＝5F,求电路中的电流i及平均功率。解查表9.1可得矩形脉冲电压的付里叶级数表达式为其中基波频率,若取前三项就有图9.9（c）所求的等效电路。图9.8例9.9图(1)求直流分量。当U0＝50V的直流电压作用于电路时,电感相当于短路,电容相当于开路,故I0＝0。(2)求基波分量。(3)求三次谐波分量(4)将各次谐波分量的瞬时值叠加得电路中的平均功率为例9.10为了减小整流器输出电压的纹波,使其更接近直流。常在整流的输出端与负载电阻R间接有LC滤波器,其电路如图9.9(a)所示。若已知R=1kΩ,L=5H,C=30μF,输入电压u的波形如图9.9(b)所示,其中振幅Um=157V,基波角频率ω=314rad/s,求输出电压uR。图9.9例9.10图解查表9.1,可得电压u的付里叶级数为 取到四次谐波,并代入Um=157V得(1)求直流分量。对于直流分量,电感相当于短路,电容相当于开路,故U0R=100V。(2)求二次谐波分量:(3)求四次谐波分量:(4)输出电压为比较本例题的输入电压和输出电压,可看到，二次谐波分量由原本占直流分量的66.7%减小到1.15%,四次谐波分量由原本占直流分量的13.3%减小到0.056%。因此,输入电压u经过LC滤波后,高次谐波分量受到抑制,负载两端得到较平稳的输出电压。作业：P287页9.49.59.6小结(1)非正弦的周期信号,在满足狄里赫利条件的情况下可以分解成付里叶级数。付里叶级数一般包含有直流分量、基波分量和高次谐波分量。它有两种表示式:两种形式的系数之间的对应关系为一般都是先求ak、bk后,再利用上式求出Akφk。(2)非正弦周期信号还可以用频谱图来表示。所谓频谱图,就是用谱线表示各次谐波的振幅和相位,然后把这些线段由高到低依次排列起来。非正弦周期信号的频谱有以下特点:①频谱的离散性;②频谱的谱波性;③频谱的收敛性;④脉宽与频宽成反比。(3)非正弦周期信号有效值的定义与正弦信号有效值的定义相同。即与各次谐波分量有效值的关系为非正弦交流电路的平均值指一个周期内函数绝对值的平均值。其定义为非正弦交流电路的平均功率的定义也与正弦交流电路平均功率的定义相同,都表示瞬时功率在一个周期内的平均值。其定义为(4)非正弦交流电路的计算,实际上是应用了线性电路的叠加原理,并借助于直流及交流电路的计算方法,其步骤如下:①将非正弦信号分解成付里叶级数;②计算直流分量和各次谐波分量分别作用于电路时的电压和电流响应。但要注意感抗和容抗在不同谐波所表现的不同。即与各次谐波功率之间的关系为精品课件！精品课件！③将各次谐波的电压和电流响应用瞬时值表示后再叠加。