人教版初中九年级上册数学全册教学课件

人教版九年级 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf 数学全册教学课件问题1要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比.求雕像的下部应设计为多高?雕像上部的高度AC,下部的高度BC应有如下关系: 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 :即设雕像下部高xm,于是得方程整理得x2-xACB有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1,2,3,4，5,6.随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？巩固练习：课本第138页练习问题3要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?分析:全部比赛共.4×7=28（场）解：设应邀请x个队参赛,每个队要与其他个队各赛1场,由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共场.即(x-1)?你遇到过下面的难题吗？你知道竹竿有多长吗？请看动画.整理，得设竹竿的长为x尺，根据勾股定理，得(x－3)2＋(x－6)2=x2x2－18x＋45=0勾股定理问题3尺6尺x－3x－6提示x2＋2x－4=0x2－75x+350=0x2－x=56x2－18x＋45=0这些方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？方程两边都是整式.方程中只含有一个未知数.未知数的最高次数是2.观察一元二次知识要点等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程（quadraticequationinoneunknown）.下列哪些是一元二次方程？√×√××√判断一个方程是否为一元二次方程，不能只看表面，能化简时应先化简.一元二次方程必须符合三个条件整式方程.一个未知数.未知数的最高次数为2.一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ax=b(a≠0）ax2+bx+c=0(a≠0）整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是1未知数最高次数是2一元一次方程一元二次方程一般式相同点不同点ax2+bx+c=0二次项一次项常数项二次项系数一次项系数a≠0一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为的形式,我们把(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.当a=0时，方程变为bx＋c=0，不再是一元二次方程。为什么要限制a≠0，b、c可以为零吗？的强调ax2+bx+c=0“=”左边最多有三项，一次项、常数项可不出现，但二次项必须有。“=”左边按未知数x的降幂排列。“=”右边必须整理为0。一元二次方程有很多很多，你能表示出它们的一般形式吗？x2－75x+350=0x2－x=56x2＋2x－4=0例题将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.其中二次项系数为4，解：去括号，得：移项，合并同类项，得一般形式为：一次项系数为－26，常数项为22.二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的.例题将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.其中二次项系数为2，解：去括号，得移项，合并同类项，得一般形式为一次项系数为2，常数项为－4.x=－7当时，x=8当时，x2－x=56;x=0当时，x=1当时，2x2－2x=0x=－7，x=8都是方程x2－x=56的解.x=0，x=1都是方程2x2－2x=0的解.归纳x=－7，x=8都是方程x2－x=56的解.x=0，x=1都是方程2x2－2x=0的解.为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（root）.知识要点两个连续正奇数的积是255，求这两个数.x=－17，x=15都是方程x2＋2x=255的解.这两个解都是该实际问题的答案吗？只有x=15是该题的答案。即这两个正奇数为15、17.由实际问题列出方程并得出方程的解后，还要考虑这些解是否确实是实际问题的解.观察下列方程的根是什么？1.求证：关于x的方程（m2－8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程.证明：即二次项系数不等于0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程.随堂练习2.根据下列问题，列出关于的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式：（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长；（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长；（4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长.3.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.5－1－44－8104－25831－7原方程一般形式二次项系数一次项系数常数项4.下面哪些数是方程的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足方程的等式，所以x=－2或x=－3是一元二次方程的两根.5.试写出方程的根，你能写出几个？根分别为0，1.习题答案（1）3x2－6x＋1=0，3，-6，1（2）4x2＋5x－81=0，4，5，－81（3）x2＋5x=0，1，5，0（4）x2－2x＋1=0，1，－2，1（5）x2＋10=0，1，0，10（6）x2＋2x－2=0，1，2，－21.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是()A.(2x-1)(x2+3)=2x2-aB.ax2+2x+4=0C.ax2+x=x2-1D.(a2+1)x2=0D2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：⑴⑵⑶?【尝试探究】当m为何值时,方程（1）是关于x的一元二次方程；（2）是关于x的一元一次方程.1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为的形式,我们把(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.教材34页第1、2题作业谢谢下课了!谢谢大家第一课时直接开平 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 解一元二次方程21.2.1配方法1.什么叫做平方根?如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根.知识回顾用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=如：9的平方根是______,±32.平方根有哪些性质？(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。的平方根是______.即x=或x=尝试如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?解（1）∵x是4的平方根,即此一元二次方程的解（或根）为：x1=2，x2=－2.（2）移向，得x2=2,∵x就是2的平方根,∴x=.∴x＝±2.即此一元二次方程的根为x1=，x2\=.像解x2=4，x2-2=0这样，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.概括总结说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程，就是把方程化为形如x2=a（a≥0）或（x+h）2=k（k≥0）的形式，然后再根据平方根的意义求解.什么叫直接开平方法？试一试：A.n=0B.m、n异号C.n是m的整数倍D.m、n同号已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条件是（）B典型例题例1解下列方程.（1）x2-1.21=0（2）4x2-1=0解（1）移项，得x2=1.21,∵x是1.21的平方根,∴x=±1.1,即x1=1.1，x2=-1.1.（2）移项，得4x2=1两边都除以4，得∵x是的平方根，∴x=即x1=，x2=x2=典型例题例2解下列方程：⑴（x＋1）2=2⑵（x－1）2－4=0⑶12（3－2x）2－3=0分析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；解：（1）∵x+1是2的平方根即x1=-1+，x2=-1-∴x+1=典型例题分析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解；例2解下列方程：⑵（x－1）2－4=0⑶12（3－2x）2－3=0即x1=3，x2=-1解：（2）移项，得（x-1）2=4∵x-1是4的平方根∴x-1=±2典型例题例2解下列方程：⑶12（3－2x）2－3=0分析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可。解：(3)移项，得12（3-2x）2=3两边都除以12，得（3-2x）2=0.25∵3-2x是0.25的平方根∴3-2x=±0.5即3-2x=0.5,3-2x=-0.5∴x1=，x2=典型例题例3解方程(2x－1)2=(x－2)2即x1=-1，x2=1分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方根，同样可以用直接开平方法求解即2x-1=±（x-2）∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2解：2x-1=首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解.讨论1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么点？如果一个一元二次方程具有（x＋h）2=k（k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=±3,x1=练一练;x2=(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1;x2=-41、下列解方程的过程中，正确的是（）(A)x2=-2,解方程，得x=±(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4D练一练2、解下列方程：（1）x2=16（2）x2-0.81=0（3）9x2=4（4）y2-144=03、解下列方程：（1）（x-1）2=4（2）（x+2）2=3（3）（x-4）2-25=0（4）（2x+3）2-5=0（5）（2x-1）2=（3-x）2练一练4一个球的表面积是100cm2，求这个球的半径。（球的表面积S=4R2，其中R是球半径）练一练归纳总结1、用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤；2、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗？谢谢大家21.2　解一元二次方程21.2.2公式法1．复习配方法，引入公式法　　问题1　什么叫配方法？配方法的基本步骤是什么？（1）将方程二次项系数化成1；（2）移项；（3）配方；（4）化为（x+n）=p（n，p是常数，p≥0）的形式；（5）用直接开平方法求得方程的解．2　　问题2　能否用公式法解决一元二次方程的求根问题呢？1．复习配方法，引入公式法问题3　我们知道，任意一个一元二次方程都可以转化为一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）你能用配方法得出它的根吗？2．推导求根公式方程两边都除以　，得解:移项，得配方，得即2．推导求根公式用配方法解一般形式的一元二次方程一元二次方程的求根公式特别提醒∵当用配方法解一般形式的一元二次方程即　　一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a，b，c确定．将a，b，c代入式子就得到方程的根：利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．2．推导求根公式　　你能总结一下推导求根公式的基本步骤吗？推导过程中要注意那些问题？　　当　　　　　时，方程有两个不相等的实根；　　当　　　　　时，方程有两个相等的实根；　　当　　　　　时，方程没有实根.2．推导求根公式b2-4ac＞0b2-4ac=0b2-4ac＜0　　例2　用公式法解下列方程：　　（1）x2-4x-7=0；　　（2）　　　　　　　；　　（3）5x2-3x=x+1；　　（4）x2+17=8x．3．归纳公式法解方程的步骤解：例2　用公式法解下列方程：　（１）x2-4x-7=0a=1,b=-4,c=-7,∆=b2-4ac=12-4×1×(-7)=44>0,即解：例2　用公式法解下列方程：(2)解：方程可化为例2　用公式法解下列方程:(3)解：方程可化为例2　用公式法解下列方程:(4)∴方程无实数根.　　问题4：你能总结用公式法解一元二次方程的步骤吗？应用公式时要注意什么问题？3．归纳公式法解方程的步骤用公式法解一元二次方程的一般步骤：3、代入求根公式:2、求出的值，1、把方程化成一般形式，并写出的值。4、写出方程的解：注意：当时，方程无解。（2）当 时，有两个相等的实数根.（1）当 时，有两个不等的实数根.（3）当 时，没有实数根.一元二次方程的根的情况一般的，式子b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b2-4ac.b2-4ac＞0b2-4ac=0b2-4ac＜0归纳　　回到本章引言中的问题，雕像下部高度x（m）满足方程x2+2x-4=0．用公式法解这个方程：4．练习巩固公式法　　（1）如果雕像的高度设计为3m，那雕像的下部应是多少？4m呢？　　（2）进而把问题一般化，这个高度比是多少？1、关于x的一元二次方程有两个实根，则m的取值范围是.注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根的两种情况.拓展延伸解：∴2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k的取值范围是（）A.k>-1B.k>-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0解:∵＞0∴k＞-1.又∵k≠0,∴k＞-1且k≠0.B　　问题5：请大家思考并回答以下问题：　　（1）本节课学了哪些 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ？　　（2）我们是用什么方法推导求根公式的？　　（3）你认为判别式有哪些作用？　　（4）应用公式法解一元二次方程的步骤是什么？5．归纳 小结 学校三防设施建设情况幼儿园教研工作小结高血压知识讲座小结防范电信网络诈骗宣传幼儿园师德小结 　　课本第17页习题21.2　第4，5题．6．布置作业谢谢大家21.2解一元二次方程21.2.3　因式分解法1．探究因式分解法　　问题1　解一元二次方程的基本思路是什么？我们已经学过哪些解一元二次方程的方法？　　配方法，求根公式法．　　问题2　根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2．你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到0.01s）？1．探究因式分解法　　你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这个方程？配方法公式法降次？1．探究因式分解法10x-4.9x2=0x1=0，x2=　　问题3　观察方程10x-4.9x2=0，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的方法吗？两个因式的积等于零至少有一个因式为零1．探究因式分解法　　　　10x-4.9x2=0　　x=0或　10-4.9x=0x1=0，x2=x10-4.9x=0（　　　）　　例　解下列方程：　　（1）　　（2）2．应用举例　　归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：　　（1）化方程为一般形式；　　（2）将方程左边因式分解；　　（3）至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程；　　（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．xx-2+x-2=0（　）例3解下列方程.解：因式分解，得（1）(x-2)（x+1）=0.x-2=0或x+1=0，于是得（2）移项、合并同类项，得因式分解，得于是，得3．练习巩固　　课本第14页练习第1题．　　问题4　请回答以下问题：　　（1）因式分解法的依据是什么？解题步骤是什么？　　（2）回顾配方法、公式法和因式分解法，你能说出它们各自的特点吗？4．归纳小结　　课本第17页习题21.2第6，10题．5．布置作业谢谢大家21.2　解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系　　问题1　一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？1．复习知识，回顾方法一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：x=(b2-4ac≥0)2．小组合作，类比探究　　问题2　方程　　　　　　　（x1、x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 填表，观察、猜想.问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律.数学活动一方程x1,x2x1+x2x1.x2x2-2x+1=01,121x2+3x-10=02,-5-3-10x2+5x+4=0-1,-4-54根与系数的关系如果关于x的方程的两根是,,则:如果方程二次项系数不为1呢?2．小组合作，类比探究　　问题3　　一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？2．小组合作，类比探究问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律:①用语言叙述发现的规律；②ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律：数学活动二方程x1,x2x1+x2x1.x22x2-3x-2=03x2-4x+1=0　　问题3　　如何探究这两者之间的关系呢？　　利用一元二次方程的一般形式和求根公式．2．小组合作，类比探究　　归纳：　　一元二次方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：2．小组合作，类比探究（韦达定理）注意：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.一元二次方程根与系数关系的证明：x1+x2=+==x1x2=●===韦达（1540－1603）韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一.第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进.他生于法国的普瓦图.年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码.韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）.韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”.　　例　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：　　（1）x2-6x-15=0　　（2）3x2+7x-9=0　　（3）5x-1=4x23．运用性质，巩固练习x1+x2=6x1x2=-15x1+x2=x1x2=-3x1+x2=x1x2=　　练习　不解方程，求下列方程两个根的和与积：　　（1）x2-3x=15（2）3x2+2=1-4x　　（3）5x2-1=4x2+x　　（4）2x2-x+2=3x+1x1+x2=3x1x2=-15x1+x2=x1x2=x1+x2=1x1x2=-1x1+x2=2x1x2=3．运用性质，巩固练习（1）一元二次方程根与系数的关系是什么？（2）我们是如何得到一元二次方程根与系数关系的？4．小结知识，梳理方法例1已知3x2+2x-9=0的两根是x1,x2。求：(1)(2)x12+x22解：由题意可知x1+x2=-,x1·x2=-3，(1)===(2)∵(x1＋x2)2＝x12+x22＋2x1x2∴x12+x22＝(x1＋x2)2-2x1x2＝(-)2-2×(-3)＝65．拓展提升变式练习：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.（2）（1）（３）（x1-x2）2例2已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0.解这方程，得k=-2.由根与系数关系，得x1●2＝3k,即2x1＝－6.∴x1＝－3.答：方程的另一个根是－3,k的值是－2.例3当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1.∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2，由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=.∴解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于∆≥0，∴k的值为9或-3.　　课本第17页习题21.2第7题．6．课后反思，布置作业谢谢大家21.3.1实际问题与一元二次方程第一课时用一元二次方程解决传播问题、增长率问题1.解一元二次方程有哪些方法？直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．2.列一元一次方程解应用题的步骤？①审题②设出未知数③列方程④解方程⑤验⑥答复习回顾有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?探究1分析:设每轮传染中平均一个人传染了x人.开始有一人患了流感,第一轮:他传染了x人,第一轮后共有______人患了流感.第一轮的传染源.第一轮后共有________人患了流感.第二轮的传染源第二轮:这些人中的每个人都又传染了x人,第二轮后共有____________________人患了流感.x+1x+11+x+x(x+1)=(x+1)2列方程得1+x+x(x+1)=121x=10;x=-12注意1.此类问题是传播问题；思考如果按照这样的传播速度，三轮后有多少人患流感？2.计算结果要符合问题的实际意义.如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?121+121×10=1331(人)如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？分析:设每轮转发中平均一个人转发给x个人,第一轮后有人收到了短消息,这些人中的每个人又转发了x人,第二轮后共有个人收到短消息.有一个人收到短消息后,再用手机转发短消息,经过两轮转发后共有144人收到了短消息,问每轮转发中平均一个人转发给几个人?1+x1+x+(x+x2)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支、主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?主干支干支干……小分支小分支……小分支小分支…………xxx1解:设每个支干长出x个小分支,则1+x+x●x=91，即解得x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)答:每个支干长出9个小分支.2.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?解得x=6.即应邀请6个球队参加比赛.解：设应邀请x个球队参加比赛.由题意，得x（x-1）÷2=15，探究2两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?分析:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元)乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数).解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元,依题意得解方程,得答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少?比较:两种药品成本的年平均下降率.22.5%(相同)经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况?经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.练习1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为.B类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为其中增长取“+”,降低取“－”.归纳美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容.某城市近几年来通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加.（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2001年底的绿地面积为______公顷，比2000年底增加了______公顷；在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增加最多的是______年；（2）为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求2002年,2003年两年绿地面积的年平均增长率.练习6042000设2002年,2003年两年绿地面积的年平均增长率为x.根据题意，得60(1＋x)2＝72.6．(1＋x)2=1.21．∴1＋x=±1.1．x2=－2.1(不合题意,舍去)答：2002年,2003年两年绿地面积的年平均增长率为10%．解：小结1、平均增长（降低）率公式2、注意：（1）解这类问题列出的方程一般用直接开平方法学无止境迎难而上这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．谢谢大家第二十二章二次函数22.1.1二次函数22.1二次函数的图象和性质温故知新什么叫函数?在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应.这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系.对于上述变量x、y，我们把y叫x的函数.x叫自变量，y叫因变量.目前，我们已经学习了哪几种类型的函数？二次函数函数知多少y=kx+b(k≠0)正比例函数y=kx(k≠0)变量之间的关系函数一次函数反比例函数图片欣赏喷泉(1)创设情境，导入新课（2）你们知道：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？（1）你们喜欢打篮球吗？问题：二次函数讨论与思考1.正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系是可以表示为什么？2.多边形的对角线数d与边数n有什么关系？3.某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？y=6x2即y=20(1+x)2即y=20x2+40x+20xm=n(n-3)m=n2-nyymxxn观察与发现认真观察以上出现的三个函数关系式，分别说出哪些是常数、自变量和函数．这些函数有什么共同点？这些函数自变量的最高次项都是二次的！y=6x2y=20x2+40x+20自变量函数函数解析式二次函数的x的范围为：注意1.自变量的最高次数是2;2.二次项的系数a≠0，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项;3.二次函数解析式必须是整式.一切实数其中，x是自变量，ax2是二次项，a是二次项系数bx是一次项，b是一次项系数c是常数项.一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.二次函数的定义例1下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.(1)y=3(x－1)²+1(2)y=x+(3)s=3－2t²(4)y=(x+3)²－x²(5)y=－x(6)v=8πr²例题讲解1x__x²1__（1）y=3(x-1)²+1=3(x2-2x+1)+1=3x2-6x+3+1即解:y=3x2-6x+4是二次函数.二次项系数:一次项系数:常数项:3-64不是二次函数.(3)s=3-2t²是二次函数.二次项系数:一次项系数:常数项:-203(4)y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2即y=6x+9不是二次函数.二次项系数:一次项系数:常数项:8π00不是二次函数.(6)v=8πr²是二次函数.先化简后判断(2)y=x+(5)y=-x例2写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数.（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．（2）由题意得，其中y是x的二次函数；（3）由题意得，其中S是x的二次函数.解:（1）由题意得，其中S是a的二次函数；例3若函数为二次函数，求m的值.解：因为该函数为二次函数，则解（1），得m=2或-1，解（2），得.所以m=2.注意:二次函数的二次项系数不能为0.1.请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子（1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为任意值;（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍.知识运用3.如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k的值一定是______.02.如果函数y=+kx+1是二次函数,则k的值一定是______.0,3(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？(1)它是二次函数?4.已知函数(1)k为何值时，y是x的一次函数？(2)k为何值时，y是x的二次函数？（2）根据题意，得k2-k≠0，∴（k-1）k≠0，∴k≠1且k≠0时，y是x的二次函数.解（1）根据题意得∴k=1时,y是x的一次函数；1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,);(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0);(3)y=ax²+bx+c(a≠0,b≠0,c=0).2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.课堂小结谢谢大家22.1.2二次函数的图象与性质复习导入一般地,形如的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.y=ax2+bx+c(a，b，c为常数,a≠0)二次函数:思考一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线,二次函数的图象是什么形状呢?通常怎样画一个函数的图象?还记得如何用描点法画一个函数的图象呢？二次函数的图象画函数y=x2的图象解:(1)列表(2)描点(3)连线根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x2的图象.y=x212345x12345678910yo-1-2-3-4-5x…-3-2-10123…y…9410149…二次函数的图象请画函数y=－x2的图象解:(1)列表(2)描点(3)连线根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x2的图象.y=－x212345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10x…-3-2-10123…y…-9-4-10-1-4-9…下面是两个同学画的y=0.5x2和y=-0.5x2的图象,你认为他们的作图正确吗?为什么?y=x2的图象叫做抛物线y=x2.y=－x2的图象叫做抛物线y=－x2.二次函数的图象从图象可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图象都是一条曲线，这条曲线叫做抛物线.y=x2y=－x2实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口向上或者向下，一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c. xyoxyo二次函数的图象抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.y=x2y=－x2从图象可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图象都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴.实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.xyoxyo例题与练习例1在同一直角坐标系中画出函数y=x2和y=2x2的图象解:(1)列表(2)描点(3)连线8…20.500.524.58…4.512345x12345678910yo-1-2-3-4-5128…20.500.524.58…4.512x…-4-3-2-101234…y=x2x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x2观察共同点:不同点:开口向上，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，对称轴是y轴，除顶点外,图象都在x轴上方开口大小不同性质：a>0，图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大开口越小，反之越大函数y=x2,y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比,有什么共同点和不同点?y=x2y=2x2y=0.5x2函数y=-x2,y=－2x2的图象与y=-x2的图象相比,有什么共同点和不同点?观察共同点:不同点:开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点是抛物线的最高点除顶点外,图象都在x轴下方开口大小不同性质：当a＜0时，图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大.12y=－2x2y=-x21、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴.2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；a越大，抛物线的开口越小当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展。a越大，抛物线的开口越大.二次函数y=ax2的性质思考：在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线y=-x2的位置有什么关系？一般地，抛物线y=ax2与抛物线y=-ax2呢？答：抛物线抛物线y=x2与抛物线y=-x2既关于x轴对称，又关于原点对称.抛物线y=ax2与抛物线y=-ax2也有同样的关系.当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小。当a>0时，在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大。当a<0时，在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。二次函数y=ax2的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称顶点坐标是原点（0，0）顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减OOy＝ax2a＞0a＜0图象开口对称性顶点增减性2、函数y=－3x2的图象的开口,对称轴是,顶点是___，顶点是抛物线的最点.例题与练习1、函数y=4x2的图象的开口,对称轴是,顶点是;向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)高3、函数y=－0.2x2的图象的开口,对称轴是___,顶点是.向下y轴(0,0)4.抛物线y=2x2的顶点坐标是,对称轴是,在侧,y随着x的增大而增大；在侧,y随着x的增大而减小,当x=时,函数y的值最小,最小值是,抛物线y=2x2在x轴的方(除顶点外).5.抛物线在x轴的方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的；在对称轴的右侧,y随着x的,当x=0时,函数y的值最大,最大值是,当x0时,y<0.（0，0）y轴对称轴的右对称轴的左00上下增大而增大增大而减小05.观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的是()(A)若a,b互为相反数,则x=a与x=b的函数值相等(B)对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应(C)对任一个实数y,有两个x和它对应(D)对任意实数x,都有y＞0Axyo　一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．　当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．　对于抛物线y=ax2，｜a｜越大，抛物线的开口越小．　如果a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；　如果a＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．谢谢大家第一课时二次函数y=ax2+k的图象和性质22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质二次函数y=ax2的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称顶点坐标是原点（0，0）顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减y＝ax2a>0a<0图象开口对称性顶点增减性(1)抛物线y=x2的顶点坐标是,对称轴是,在侧,y随着x的增大而增大；在侧,y随着x的增大而减小,当x=时,函数y的值最小,最小值是,抛物线y=2x2在x轴的方(除顶点外).(2)抛物线y=-4x2在x轴的方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的；在对称轴的右侧,y随着x的,当x=0时,函数y的值最大,最大值是,当x0时,y<0.（0，0）y轴对称轴的右对称轴的左00上下增大而增大增大而减小0二次函数的图象例2.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2－1的图象解:先列表然后描点画图,得到y=x2+1和y=x－1的图象.x…-3-2-10123…y=x2+1y=x2-1…105212510……830-1038…二次函数的图象(1)抛物线y=x2+1和y=x－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么?(2)抛物线y=x2+1和y=x－1与抛物线y=x2有什么关系?讨论抛物线y=x2+1:开口向上,顶点为(0,1).对称轴是y轴,抛物线y=x2－1:开口向上,顶点为(0,－1).对称轴是y轴,y=x2+1y=x2－112345x12345678910yo-1-2-3-4-5二次函数的图象抛物线y=x2+1和y=x－1与抛物线y=x2的关系:抛物线y=x2抛物线y=x2－1向上平移1个单位向下平移1个单位抛物线y=x2+1抛物线y=x2y=x2+1把抛物线y=2x2+1向上平移5个单位,会得到那条抛物线吗?向下平移3.4个单位呢?思考(1)得到抛物线y=2x2+6；(2)得到抛物线y=2x2－2.4y=x2－1y=x212345x12345678910yo-1-2-3-4-5归纳一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点:(1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;(2)对称轴是y轴;(3)顶点是(0,k).抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.(k>0,向上平移;k<0向下平移.)归纳(3)顶点是(0,k).一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点:(1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;(2)对称轴是y轴;抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.(k>0,向上平移;k<0向下平移.)12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10二次函数Y=ax2+k的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减y＝ax2+ka>0a<0图象开口对称性顶点(0,k)增减性（1）抛物线y=−2x2+3的顶点坐标是,对称轴是，在侧，y随着x的增大而增大；在侧，y随着x的增大而减小，当x=时，函数y的值最大，最大值是,它是由抛物线y=−2x2线怎样平移得到的.对称轴的左y轴(0,3)对称轴的右03向上平移3个单位（2）抛物线y=x²-5的顶点坐标是，对称轴是,在对称轴的左侧，y随着x的；在对称轴的右侧，y随着x的，当x=时，函数y的值最，最小值是.(0,－5)y轴增大而减小增大而增大0小－5二次函数y=ax2+k的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减小结y＝ax2+ka>0a<0图象开口对称性顶点(0,k)增减性再见！谢谢大家22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质第二课时二次函数y=a(x-h)2的图象和性质二次函数y=ax2+c的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减c>0c<0c<0c>0(0,c)y＝ax2+ca>0a<0图象开口对称性顶点增减性探究解:先列表，描点-2…0-0.5-2-0.5-4.5-2-0.50-4.5-2-0.5x=－1讨论…4…-4.5画出二次函数，的图象,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10抛物线与的开口方向、对称轴、顶点?(2)抛物线有什么关系?x-4-3-2-10123-4.5与抛物线向左平移1个单位讨论向右平移1个单位即:抛物线、有什么关系？12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10顶点(0,0)顶点(2,0)直线x=－2直线x=2向右平移2个单位向左平移2个单位顶点(－2,0)对称轴:y轴即直线:x=0练习在同一坐标系中作出下列二次函数:观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.向右平移2个单位向右平移2个单位向左平移2个单位向左平移2个单位一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:(1)对称轴是x=h;(2)顶点是(h,0).（3）抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.h>0，向右平移;h<0，向左平移归纳oxy二次函数y=a（x-ｈ）2的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小直线ｘ＝ｈ顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减h>0h<0h<0h>0(ｈ,0)y＝a(x-ｈ)2a>0a<0图象开口对称性顶点增减性1、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的顶点移到原点，则下列平移方法正确的是（）A、向上平移2个单位B、向下平移2个单位C、向左平移2个单位D、向右平移2个单位C练习巩固2、抛物线y=4（x-3）2的开口方向，对称轴是，顶点坐标是，抛物线是最点，当x=时，y有最值，其值为.抛物线与x轴交点坐标，与y轴交点坐标.向上直线x=3（3，0）低3小0（3，0）（0，36）向上直线x=-3(-3,0)直线x=1直线x=3向下向下(1,0)(3,0)抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2y=-3(x-1)2y=-4(x-3)2小结3.抛物线y=ax2+k有如下特点:当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向上.(2)对称轴是y轴;(3)顶点是(0,k).抛物线y=a(x－h)2有如下特点:(1)当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向上;(2)对称轴是x=h;(3)顶点是(h,0).2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.(k>0,向上平移;k<0向下平移.)(h>0,向右平移;h<0向左平移.)1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2的形状完全相同,开口方向一致;(1)当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下;练习y=−2（x+3）2画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？。y=2（x-3）2y=−2（x-2）2y=3（x+1）2如何平移：谢谢大家22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象第三课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象y=ax2y=a(x-h)2y=ax2+cy=ax2c>0c<0上移下移左加右减说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。顶点x轴上:(h,0)顶点y轴上:(0,c)问题:顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？例题例3.画出函数的图象.指出它的开口方向、顶点与对称轴、解:先列表再描点后连线.-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5x…-4-3-2-1012………直线x=－1解:先列表再描点、连线-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5讨论抛物线的开口向下,对称轴是直线x=－1,顶点是(－1,－1).12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10…………210-1-2-3-4x抛物线的开口方向、对称轴、顶点?向左平移1个单位向下平移1个单位向左平移1个单位向下平移1个单位平移方法1:平移方法2:二次函数图像平移x=－112345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10(2)抛物线　　　　　　　　　　　　　　　　有什么关系?归纳一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.向左(右)平移|h|个单位向上(下)平移|k|个单位y=ax2y=a(x－h)2y=a(x－h)2+ky=ax2y=a(x－h)2+k向上(下)平移|k|个单位y=ax2+k向左(右)平移|h|个单位平移方法:抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:(1)当a>0时,开口向上;当a<0时，开口向下;(2)对称轴是直线x=h;(3)顶点是(h,k).y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k上下平移|k|个单位左右平移|h|个单位上下平移|k|个单位左右平移|h|个单位结论:一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同。各种形式的二次函数的关系练习向上(1,－2)向下向下(3,7)(2,－6)向上直线x=－3直线x=1直线x=3直线x=2(－3,5)y=－3(x－1)2－2y=4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－61.完成下列表格:2.请回答抛物线y=4(x－3)2