统计学基本概念和方法总体参数的区间估计

总体均值的区间估计点估计的缺点：不能反映估计的误差和精确程度区间估计：利用样本统计量和抽样分布估计总体参数的可能区间【例】CJW公司是一家专营体育设备和附件的公司，为了监控公司的服务质量，CJW公司每月都要随即的抽取一个顾客样本进行调查以了解顾客的满意分数。根据以往的调查，满意分数的标准差稳定在20分左右。最近一次对100名顾客的抽样显示，满意分数的样本均值为82分，试建立总体满意分数的区间。抽样误差抽样误差：一个无偏估计与其对应的总体参数之差的绝对值。抽样误差=（实际未知）总体均值的区间估计（大样本n>30）要进行区间估计，关键是将抽样误差求解。若已知，则区间可表示为：此时，可以利用样本均值的抽样分布对抽样误差的大小进行描述。上例中，已知，样本容量n=100,总体标准差，根据中心极限定理可知，此时样本均值服从均值为，标准差为的正态分布。即：抽样误差的概率表述由概率论可知，服从标准正态分布，即，有以下关系式成立：一般称，为置信度，可靠程度等，反映估计结果的可信程度。若事先给定一个置信度，则可根据标准正态分布找到其对应的临界值。进而计算抽样误差若，则查标准正态分布表可得，抽样误差此时抽样误差的意义可表述为：以样本均值为中心的±3.92的区间包含总体均值的概率是95%，或者说，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小的概率是0.95。常用的置信度还有90%，95.45%，99.73%，他们对应的临界值分别为1.645，2和3，可以分别反映各自的估计区间所对应的精确程度和把握程度。计算区间估计：在CJW公司的例子中，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小的概率是0.95。因此，可以构建总体均值的区间为，由于，从一个总体中抽取到的样本具有随机性，在一次偶然的抽样中，根据样本均值计算所的区间并不总是可以包含总体均值，它是与一定的概率相联系的。如下图所示：3.923.92根据选择的在、、位置的样本均值建立的区间上图中，有95%的样本均值落在阴影部分，这个区域的样本均值±3.92的区间能够包含总体均值。因此，总体均值的区间的含义为，我们有95%的把握认为，以样本均值为中心的±3.92的区间能够包含总体均值。通常，称该区间为置信区间，其对应的置信水平为置信区间的估计包含两个部分：点估计和描述估计精确度的正负值。也将正负值称为误差边际或极限误差，反映样本估计量与总体参数之间的最大误差范围。 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ：计算区间估计：在大多数的情况下，总体的标准差都是未知的。根据抽样分布定理，在大样本的情况下，可用样本的标准差s作为总体标准差的点估计值，仍然采用上述区间估计的方法进行总体参数的估计。【例】斯泰特怀特保险公司每年都需对人寿保险单进行审查，现公司抽取36个寿保人作为一个简单随即样本，得到关于、投保人年龄、保费数量、保险单的现金值、残废补偿选择等项目的资料。为了便于研究，某位经理要求了解寿险投保人总体平均年龄的90%的区间估计。投保人年龄投保人年龄投保人年龄投保人年龄123456789325040243344454844101112131415161718473136394645393845192021222324252627274354363448233642282930313233343536343934354253284939上表是一个由36个投保人组成的简单随机样本的年龄数据。现求总体的平均年龄的区间估计。分析：区间估计包括两个部分——点估计和误差边际，只需分别求出即可到的总体的区间估计。解：已知（1）样本的平均年龄（2）误差边际样本标准差误差边际（3）90%的置信区间为39.5±2.13即（37.37，41.63）岁。注意（1）置信系数一般在抽样之前确定（2）置信区间的长度（准确度）在置信度一定的情况下，与样本容量的大小呈反方向变动，若要提高估计准确度，可以扩大样本容量来达到。总体均值的区间估计：小样本的情况在小样本的情况下，样本均值的抽样分布依赖于总体的抽样分布。我们讨论总体服从正态分布的情况。t分布的图形和标准正态分布的图形类似，如下图示：0标准正态分布t分布（自由度为20）t分布（自由度为10）标准正态分布与t分布的比较在ｔ分布中，对于给定的置信度，同样可以通过查表找到其对应的临界值　，利用临界值也可计算区间估计的误差边际因此，总体均值的区间估计在总体标准差未知的小样本情况下可采用下式进行：假定总体服从正态分布；【例】谢尔工业公司拟采用一项计算机辅助程序来培训公司的维修支援掌握及其维修的操作，以减少培训工人所需要的时间。为了评价这种培训方法，生产经理需要对这种程序所需要的平均时间进行估计。以下是利用新方对１５名职员进行培训的培训天数资料。根据上述资料建立置信度为９５％的总体均值的区间估计。（假定培训时间总体服从正态分布）。职员　　　时间　　　　职员　　　　时间　　　　职员　　　　时间１　　　　５２　　　　６　　　　　５９　　　　１１　　　　５４２　　　　４４　　　　７　　　　　５０　　　　１２　　　　５８３　　　　５５　　　　８　　　　　５４　　　　１３　　　　６０４　　　　４４　　　　９　　　　　６２　　　　１４　　　　６２５　　　　４５　　　１０　　　　　４６　　　　１５　　　　６３解：依题意，总体服从正态分布，ｎ＝１５（小样本），此时总体方差未知。可用自由度为（n-1）=14的t分布进行总体均值的区间估计。样本平均数样本标准差误差边际95%的置信区间为53.87±3.78即（50.09，57.65）天。确定样本容量确定样本容量误差边际其计算需要已知若我们选择了置信度由此，得到计算必要样本容量的计算公式：【例】在以前的一项研究美国租赁汽车花费的研究中发现，租赁一辆中等大小的汽车，其花费范围为，从加利福尼亚州的奥克兰市的每天36美元到康涅狄格州的哈特福德市的每天73.50美元不等，并且租金的标准差为9.65美元。假定进行该项研究的组织想进行一项新的研究，以估计美国当前总体平均日租赁中等大小汽车的支出。在设计该项新的研究时，项目主管指定对总体平均日租赁支出的估计误差边际为2美元，置信水平为95%。解：依题意，可得将以上结果取下一个整数（90）即为必要的样本容量。说明：由于总体标准差在大多数情况下是未知的，可以有以下方法取得的值。（1）使用有同样或者类似单元的以前样本的样本标准差；（2）抽取一个预备样本进行试验性研究。用实验性样本的标准差作为的估计值。（3）运用对值的判断或者“最好的猜测”，例如，通常可用极差估计的近似值。总体比率的估计比率的抽样分布数据的特点比率属于点计数据，这类数据的分布是非正态的。对这类数据的统计推断有两种方法，一般来说，当事物按性质不同被划分成两类时，要用总体比率的推断方法进行统计推断；当事物被划分为成两类以上时，则用卡方检验法。由于这里假设事物按性质不同分成两类，所以其中的一类事物发生比率的抽样分布属于二项分布。假设有一个总体，这个总体中所包含的事件要么具有某种属性，要么不具有某种属性，其中具有某种属性的事件出现的概率为р′，不具有某种属性的事件出现的概率为q′=1-р′。比率的抽样分布现在从中随机抽取一个容量为n（n次重复试验）的样本，算得成功事件出现的比率：p1=X1/n（X表示成功事件出现的次数）将样本还回总体中，再从中随机抽取一个容量为n的样本，又可以算得一个成功事件出现的比率：p2=X2/n比率的抽样分布经过反复抽样，就可以计算出许多样本的p值，这些p值就形成了一个实验性的比率的抽样分布。这个分布的形态是二项分布。二项概率分布是进行总体比率统计推断的理论依据。比率的标准误比率抽样分布的标准差，就是比率的标准误当总体比率已知时：σp表示比率的标准误p′表示总体比率q′=1-p′n表示样本容量（试验重复次数）当总体比率未知时，需要用样本比率p=X/n作为总体比率p′的点估计。所以总体比率标准误的估计量为：Sp表示比率标准误的估计量p表示样本的比率q=1-pn表示样本容量（试验重复次数）比率的标准误总体比率的区间估计以比率的抽样分布为理论依据，按一定的概率要求估计总体比率的所在范围就叫做总体比率的区间估计。正态近似法当样本容量n比较大，np和nq中较小的那个数等于或大于5时，二项分布已经接近于正态分布，此时可以按照正态分布来估计总体比率0.95和0.99的置信区间（因为这种方法比较简便），这种方法叫做正态近似法。正态近似法根据标准正态分布的规律，得知p（-1.965因此，总体比率0.95的置信区间为：P（0.67-1.96×0.0332