东南大学《几何与代数线性代数》期末试题

专业课复习资料（最新版）封面考试点www.kaoshidian.com101-02学年第二学期一（30%）填空题：1．设(1,2)，(1,1)，则T；T=；100()T；2．设矩阵120031130A，234056007B，则行列式1AB；3．若向量组123,,线性无关，则当参数k时，122331,,k也线性无关；4．矩阵1111011100110001A的伴随矩阵*A=；5．设矩阵A及AE均可逆，则1()GEAE，且1G；6．与向量(1,0,1)，(1,1,1)均正交的单位向量为；7．四点(1,1,1),(1,1,),(2,1,1),(2,,3)ABxCDy共面的充要条件为；8．设实二次型22212312323(,,)2fxxxxkxxxx，则当k满足条件时，123(,,)1fxxx是椭球面；当k满足条件时，123(,,)1fxxx是柱面。二（8%）记1为由曲线230zyx绕z轴旋转所产生的旋转曲面,2为以1与平面3:1xyz的交线为准线，母线平行于z-轴的柱面。试给出曲面12及的方程，并画出13被所截有界部分在xy平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点）。三（8%）求经过直线2221xyzxyz且与xy平面垂直的平面方程.四（12%）求矩阵方程2XAXB的解，其中，311101010,321003AB.考试点www.kaoshidian.com2五（12%）设线性方程组12341234234123403552232(3)1xxxxxxxxxpxxqxxxpx1．问：当参数,pq满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？2．当方程组有无穷多解时，求出其通解。六（12%）设矩阵11113120132Ak，已知()2A秩。1．求参数k的值；2．求一42,,()2;BABOB矩阵使得且秩3．问：是否存在秩大于2的矩阵M使得OAM？为什么？七（12%）设实对称矩阵001100.1001AkBl与相似1．求参数,kl的值；2．求一正交阵,.TQQAQB使得八（6%）已知n阶方阵A相似于对角阵，并且，A的特征向量均是矩阵B的特征向量。证明：ABBA。02-03学年第二学期一．填空题、单选题（每小题３分，共３６分）1．2002105132；2．1230110002；3．若A是正交矩阵，则行列式3TAA；4．空间四点(1,1,1)A，(2,3,4)B，(1,2,)Ck，(1,4,9)D共面的充要条件是k；考试点www.kaoshidian.com35．点(2,1,1)P到直线11:221xyzl的距离为；6．若４阶方阵A的秩为２，则伴随矩阵A的秩为；7．若可逆矩阵P使APPB，1203B，则方阵A的特征多项式为；8．若３阶方阵A使,2,3IAIAAI都不可逆，则A与对角阵相似（其中，I是３阶单位阵）；9．若0111120Axy与对角阵相合，则(,)xy；10．设1234,,,AAAAA，其中列向量124,,AAA线性无关，31242AAAA，则齐次线性方程组0Ax的一个基础解系是；11．设,AB都是３阶方阵，ABO，()()2rArB，则()()rArB（）（Ａ）5；（Ｂ）4；（Ｃ）3；（Ｄ）212．设n阶矩阵A满足22AA，则以下结论中未必成立的是（）（Ａ）AI可逆，且1()AIAI；（Ｂ）AO或2AI；（Ｃ）若2不是A的特征值，则AO；（Ｄ）0A或2AI。二．计算题（每小题8分，共24分）13．201511011231301214．求直线211:212xyzl在平面:210xyz上的垂直投影直线方程．15．设XAABX，其中102020101A，101B，求99X．三．计算题、解答题（三小题共３２分）16．设向量组考试点www.kaoshidian.com412311222115,,,101302ab123(,,)VL是123,,生成的空间．已知()2V维，V．（１）求,ab；（２）求V的一个基，并求在此基下的坐标；（３）求V的一个标准正交基．17．用正交变换化简二次曲面方程22121213234221xxxxxxxx求出正交变换和标准形）并指出曲面类型．18．设D为由yoz平面中的直线0z，直线,(0)zyy及抛物线22yz围成的平面区域．将D绕y轴旋转一周得旋转体．（１）画出平面区域D的图形；（２）分别写出围成的两块曲面12,SS的方程；（３）求12,SS的交线l在zox平面上的投影曲线C的方程；（４）画出12,SS和l，C的图形．四．证明题、解答题（每小题４分，共８分）19．设是线性方程组Axb的一个解，0b，12,是导出组0Ax的基础解系．证明：12,,线性无关．20．设是３维非零实列向量，2．又TA．（１）求A的秩；（２）求A的全部特征值；（３）问A是否与对角阵相似？（４）求3IA．03-04学年第二学期一．（24%）填空题1．若向量iajk，bijk，k共面，则参数ba,满足.2．过点)1,2,1(P且包含x轴的平面方程为.3．已知矩阵A满足OIAA322，则A的逆矩阵1A=.考试点www.kaoshidian.com54．设矩阵120031130A，234056007B，则行列式12BA.5．设向量组1231312,2,311k，则当k时，123,,线性相关.6．向量空间2R中向量)3,2(在2R的基)1,1(，)1,0(下的坐标为.7．满足下述三个条件的一个向量组为，这三个条件是：①它是线性无关的；②其中的每个向量均与向量121正交；③凡与正交的向量均可由它们线性表示.8．已知22矩阵dbcaA，若对任意2维列向量有0AT，则dcba,,,满足条件.二．（12%）假设矩阵BA,满足ABBA，其中021021020A.求B.三．（15%）设向量Ta1021，T5122，T4213，Tcb1.问：当参数cba,,满足什么条件时1．能用321,,唯一线性表示？2．不能用321,,线性表示？3．能用321,,线性表示，但表示法不唯一？求这时用321,,线性表示的一般表达式.四．（8%）设实二次型ayzaxyzyxzyxf22),,(222问：实数a满足什么条件时，方程1),,(zyxf表示直角坐标系中的椭球面？五．（12%）设3阶方阵A的特征值为2，2，1，矩阵IaAaAB43。1．求参数a的值，使得矩阵B不可逆；2．问：矩阵B是否相似于对角阵？请说明你的理由.六．（12%）已知二次曲面1S的方程为：223yxz，2S的方程为：21xz。考试点www.kaoshidian.com61．问：1S，2S分别是哪种类型的二次曲面？2．求1S与2S的交线在xOy平面上的投影曲线方程；3．画出由1S及2S所围成的立体的草图.七．（10%）假设33实对称矩阵A的秩为2，并且CAB，其中110011B，110011C。求A的所有特征值及相应的特征向量；并求矩阵A及9999A.八．（7%）证明题：1．设t,,,21是齐次线性方程组Ax的线性无关的解向量，不是其解向量。证明：t,,,,21也线性无关.2．设A是n阶正定矩阵，证明：1AI.04-05学年第二学期一、(24%)填空题1．以(1,1,2)A，(2,1,1)B，(1,1,1)C为顶点的三角形的面积为；2．设3阶矩阵123(,,)A，23131(,2,)B。若A的行列式3A，则B的行列式B；3．若向量(1,0,1)，(2,1,1)，(1,1,)k共面，则参数k；4．若A为n阶方阵，则方阵2IOBAI的逆矩阵1B；5．已知向量111是矩阵11201122aA的特征向量，则参数a，相应的特征值等于；6．假设矩阵1000A，则在实矩阵11001110,,,,11021101BCDE1300F中，与A相抵的考试点www.kaoshidian.com7有；与A相似的有；与A相合的有．二、（8%）计算行列式121111xxxxxxxxxx．三、（10%）假设200110102A，121210B，求矩阵方程3XBXA的解．四、（14%）假设矩阵1101011A，000，11ab．1．已知齐次线性方程组Ax的基础解系中有两个线性无关的解向量．试确定这时参数的值，并求这时Ax的一个基础解系．2．若在非齐次线性方程组Axb的解集中，存在两个线性无关的解向量，但不存在更多的线性无关的解向量，试确定这时参数及a的值，并求Axb的通解．五、（10%）已知直线l过点(1,1,1)P，与平面:1xyz平行，且与直线1121xyz：　相交。求直线l的方向向量，并写出直线l的方程．六、（10%）假设二次曲面1的方程为：2242xyz；平面2的方程为：1xz．1.1与2的交线向xy平面作投影所得的投影曲线l的方程为；2.该投影曲线绕x轴旋转所得的旋转曲面的方程为；3.在坐标系中画出投影曲线l的草图（请给坐标轴标上名称）；4.在坐标系中画出1与2所围成的立体的草图（请给坐标轴标上名称）．七、（14%）设二次型22212312313(,,)22fxxxxxxkxx1．试就参数k不同的取值范围，讨论二次曲面123(,,)1fxxx的类型；2．假设0k．若经正交变换XQY，123(,,)fxxx可以化成标准形222123224yyy，求参数k及一个合适的正交矩阵Q．考试点www.kaoshidian.com8八、（10%）证明题1．假设n维向量112ab，212cd。若12,线性无关，证明：12,线性无关，并且，行列式0abcd。2．假设,AB都是n阶实对称矩阵，并且，A的特征值均大于a，B的特征值均大于b，证明：AB的特征值均大于ab。05-06学年第二学期一.(24%)填空题1.直角坐标系中向量(1,1,2)与(1,0,1)的向量积为；2.过点(1,0,1)P且与直线1211xyz垂直的平面的方程为；3.设0110P，1011Q，abAcd，则1010PAQ=；4.若33矩阵A的秩为2,123,,是线性方程组Axb的解向量,并且12,3,4T,232,4,6T,则线性方程组Axb的通解是；5.设是(1)nn维列向量，则n阶方阵TA的行列式A的值为；6.设A是33矩阵，若矩阵,2,23IAIAIA均不可逆，则行列式A；7.若3是nn矩阵A的特征值,2A,*A是A的伴随矩阵，则矩阵*A的一特征值为；8.若222221xyzkxz表示一单叶双曲面，则k满足条件。二（12%）设1234A，101021001B，132011C，求11,AB以及矩阵X，使AOCXOBO。式中的O均指相应的零矩阵。三（10%）设向量组123,,线性无关,问:参数,lm满足什么条件时,向量组考试点www.kaoshidian.com912l，23m，13也线性无关？四（14%）已知空间直角坐标系中三平面的方程分别为：1:21xyz,2:2xyz,3:1xyz1.问：当取何值时这三个平面交于一点？交于一直线？没有公共交点？2.当它们交于一直线时，求直线的方程。五（12%）已知33矩阵10023302Aaaaa有一个二重特征值。1.试求参数a的值，并讨论矩阵A是否相似于对角阵。2.如果A相似于对角阵，求可逆矩阵P，使得1PAP是对角阵。六（10%）假设,AB是实对称矩阵。证明：分块矩阵AOMOB是正定矩阵的充分必要条件是,AB都是正定矩阵。七（8%）由与平面1z及点(0,0,1)M等距离运动的动点(,,)Pxyz所生成的曲面记为1，将yOz平面上曲线250yzx以z轴为旋转轴所生成的旋转曲面记为2。则：1.1的方程是：；2的方程是：；2.1与2的交线在xOy平面上的投影曲线方程是：；3.在坐标系中画出由这两个曲面所围成的有限立体的简图．八（10%）证明题：1.若22实矩阵A的行列式0A，证明：A必定相似于对角阵．2.假设nn实对称矩阵A的特征值为12,,,n，是A的属于特征值1单位特征向量，矩阵1TBA．证明：B的特征值为20,,,n．07-08学年第二学期一．（21%）填空题1.若矩阵101A，n是正整数，则nA；考试点www.kaoshidian.com102.假设4阶方阵123123,,,,,,,AB的行列式分别等于2,3，矩阵AB的行列式AB；3.点(1,2,3)P到平面25xyz的距离为；4.设abAcd，22abbBcdd，则满足APB的初等矩阵P；5.矩阵2xxAx正定的充分必要条件是参数x满足条件；6.已知二次型222(,,)222fxyzxyzxztyz，若(,,)1fxyz表示直角坐标系中的单叶双曲面，则参数t满足条件；7.设ns，若A是sn矩阵，则n阶方阵TAA的行列式TAA。二．（9%）选择题1.假设矩阵1abAc，若对任意2阶方阵B都有BAAB，则),,(cba；Ａ．)1,1,1(；B.)0,0,1(；Ｃ．)0,1,0(；Ｄ．)1,0,0(2.假设矩阵13203010,,,02010201ABCD。下述结论中完全正确的一项是A．A与C相似，B与D 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 ；Ｂ．A与C合同，B与D相似；Ｃ．A与B相似，C与D合同；Ｄ．A与B合同，C与D相似．3.假设,AB都是n阶可逆矩阵，则必定有Ｃ.存在可逆矩阵,PQ，使得PAQB；Ｄ．()AABB是可逆矩阵．三．（16%）已知平面的方程为1xyz，直线l的方程为7321xtyzxytz。1．问：当t取何值时，l与有惟一交点？2．问：当t取何值时，l与没有公共交点？3．问：当t取何值时，l在内？求这时l的对称方程。四.（14%）假设矩阵10110011,0101201AB，求矩阵X，使得12AXXB。五．（16%）已知矩阵01123233Aa与10001000Bb相似。（１）求参数,ab的值；A.存在可逆矩阵P，使得1PAPB；B.存在可逆矩阵P，使得TPAPB考试点www.kaoshidian.com11（２）求一可逆矩阵P使得1PAPB。（３）问：是否存在正交矩阵Q，使得TQAQB？为什么？六．（8%）已知空间直角坐标系中曲线的方程为3(1)(1)0zyyx，平面1的方程为2xz。记2是绕z轴旋转所得的旋转曲面。（１）求2的方程；（２）求1与2的交线在xOy平面上的投影曲线的方程。七．（12%）假设A是2阶方阵，x是2维非零列向量，并且x不是A的特征向量。（１）证明：,xAx线性无关；（２）若260AxAxx，(,)BxAx，求矩阵C，使得ABBC；（３）若260AxAxx，求A的特征值，并问：A是否相似于对角阵？为什么？八.（4%）证明：对于任意sn实矩阵B，n阶方阵TAIBB的特征值全大于零。08-09学年第二学期一.（30%）填空题1.设n是正整数，矩阵101A，则nA；2.若分块矩阵AOOB与ABOI可交换，且B是可逆矩阵，则AB；3.如果向量组(1,1,1),(1,2,2),(0,1,)k的秩为2，则参数k；4.若3阶方阵A的行列式3A，则A的伴随矩阵的行列式*A；5.已知A是2阶方阵，若2trA，3A，则A的特征值为；6.3R的子空间{(,,)|0}Vxyzxyz的一组基为；7.直线30yzx绕z轴旋转所得旋转面的方程为；8.如果方程222221xyzkxz表示双叶双曲面，则参数k满足条件；9.若矩阵,AB满足0230TTBAAB，则TTBAAB；10.如果矩阵122Aa与211Bb合同，则参数,ab满足条件。考试点www.kaoshidian.com12二.（10%）设矩阵300112110,101301AB，求矩阵X，使得2XAXB。三.（10%）假设向量组123,,线性无关，问：参数,,abc满足什么条件时，向量组112223331,,abc线性相关？四.（16%）假设矩阵12341111122222,,3333344444xaxaAbxxaxa。1.当参数a满足什么条件时，线性方程组Axb有唯一解？有唯一解时，用Cramer法则求1x。2.当参数a满足什么条件时，线性方程组Axb没有解？3.当参数a满足什么条件时，线性方程组Axb有无穷多解？有无穷多解时，求方程组的通解。五.（14%）假设矩阵1010101Aab，111。1.问：参数,ab满足什么条件时，是A的特征向量？若是A的特征向量，求相应的特征值。六.若是A的特征向量，且A有一个二重特征值，求,ab的值，并讨论A是否相似于对角阵。如果A相似于对角阵，求对角阵及相应的相似变换矩阵。七.（12%）设2n，,都是实n维列向量，且,是一标准正交向量组，,pq都是非零实数，TTApq。1.证明,都是A的特征向量，并求相应的特征值；2.A相似于对角阵。试说明理由，并求相应的对角阵；八.问：当参数k满足什么条件时，kIA是正定矩阵？09-10学年第二学期一.（30%）填空题1.若101,110aABb，且222()ABAB，则,ab满足条件；2.设2阶方阵(,)A，2,3B，若BAC，则矩阵C；考试点www.kaoshidian.com133.直线3221xyzxyz的一个方向向量为；4.点(1,1,1)P到平面223xyz的距离是；5.如果向量组1111,,21aaa线性相关，则参数a满足条件；6.向量12在2R的基13,12下的坐标是；7.如果11是矩阵211a的属于特征值b的特征向量，则(,)ab；8.假设A是22矩阵，若可逆矩阵(,)P满足11002PAP，,Q，则1QAQ；9.假设A是22矩阵，若,AEAE都不可逆，则行列式2AE；10.若12,,,nA是nn正交矩阵，则1122TTTrrB(1)rn的特征多项式是。二.（10%）设211101111A，111012B。已知XABX，求X。三.（14%）设线性方程组12342341234123412123435(6)5xxxxxxxxxaxxbxxxax。1．当参数,ab满足什么条件时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？2．有无穷多解时，求方程组的通解。四.（14%）假设矩阵111200242,0203300ABab，且A与B相似。1.求参数,ab的值；2.求一可逆矩阵P，使得1PAPB；3.证明存在矩阵C,使得2AC。五.（10%）设1是抛物线2200xyz绕y轴旋转所得曲面，2是平面24xyz。考试点www.kaoshidian.com14求1的方程；求1与2的交线在xOy平面上的投影曲线的方程；并画出由1、2所围成的空间有界区域的草图。六.（12%）假设二次型2221231231323(,,)42fxxxxxaxxxxx。1.求一可逆线性变换xCy将f化成其标准形；2.求f的矩阵A，问：当参数a取什么值时，A的特征值都大于零？3.如果二次曲面(,,)1fxyz表示单叶双曲面，问：参数a应满足什么条件？七.（10%）证明题1.假设A是nn正定矩阵，B是sn实矩阵，证明：TBAB是正定矩阵的充分必要条件是B的秩()rBs。假设,AB都是nn矩阵，若存在不为零的数,xy使得ABxAyB，证明：ABBA。