河北省中考数学总复习ppt专题突破课件

专题1　探索规律问题常考类型分析考查类型年份考查形式题型分值数式规律2012、2014数的变化规律，12年是一个整数加一个分数得出一个与序号有关的分式相乘，分子分母相约得出结果；14年则是每段分成100份，分的过程用乘方 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达出来填空题3分2015、2016根据题意得出三角形，求出角所表达的代数式，根据存在情况得出不等式，并得出最小值填空题2分图形变化规律2017通过图形的旋转得出，几个一个循环，每一种情况确定范围选择题2分点的坐标规律2013根据图象的旋转变化规律，确定坐标，再求出二次函数解析式填空题3分专题类型突破类型1数式规律一、数与数阵规律【例1】[2017·日照中考]观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为(　　)BA．23B．75C．77D．139【解析】∵上边的数为连续的奇数1,3,5,7,9,11，左边的数为21,22,23，…，∴b＝26＝64.∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，∴a＝11＋64＝75.满分技法►通过所给的特例所列举的数字或数字本身的变化，或者在数表、数轴、坐标、图形中的变化，找出共性或者与自然序数的关系确定变化后的结果，列出通式，再代入求值．二、算式变化规律【例2】古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16，…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是(　　)CA．13＝3＋10B．25＝9＋16C．36＝15＋21D．49＝18＋31【解析】按照以下环节进行思考：(1)从“形”的角度来看，“正方形数”依次为：1＝12,4＝22,9＝32,16＝42,25＝52，…，即从1开始的正整数的平方；斜线上方的点数表示较小的“三角形数”，依次为：1,1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10,1＋2＋3＋4＋5＝15，…，即从1开始的连续正整数相加的和；(2)从“数”的角度来看，等式规律用字母表示出来：如果用n2表示满分技法►探索算式或等式的规律，一般要将每个式子中相同位置上的数字进行比较，发现其变化特征，用表示算式序号的字母表示出来，通常以选择题或填空题的形式出现．“正方形数”，则等式表示为(3)对以上结论进行证明：(4)对照图示规律或者等式特征，可知选C.满分必练►1.[2017·武汉中考]按照一定规律排列的n个数：－2,4，－8,16，－32,64，…，若最后三个数的和为768，则n为(　　)A．9B．10C．11D．12BB　由题意，得第n个数为(－2)n，那么(－2)n－2＋(－2)n－1＋(－2)n＝768.当n为偶数时，整理，得3×2n－2＝768.解得n＝10；当n为奇数时，整理，得－3×2n－2＝768，无解．∴n＝10.D2.[2017·十堰中考]如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如，表示a1＝a2＋a3，则a1的最小值为(　　)A．32B．36C．38D．40D　∵a1＝a2＋a3＝a4＋a5＋a5＋a6＝a7＋a8＋a8＋a9＋a8＋a9＋a9＋a10＝a7＋3(a8＋a9)＋a10，∴要使a1取得最小值，则a8＋a9应尽可能的小，取a8＝2，a9＝4.∵a5＝a8＋a9＝6，则a7，a10中不能有6.若a10＝8，则a6＝a9＋a10＝12.∴a7＝14，则a4＝14＋2＝16，a2＝16＋6＝22，a3＝6＋12＝18，a1＝18＋22＝40.综上，a1的最小值为40.3.如图，给正五边形的顶点依次编号为1,2,3,4,5.若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是　　.3　若小宇从编号为2的顶点开始，第1次“移位”他应走2个边长，到达编号为4的顶点；第2次“移位”应走4个边长，到达编号为3的顶点；第3次“移位”应走3个边长，到达编号为1的顶点；第4次“移位”应走1个边长，到达编号为2的顶点，依此类推，4次“移位”为一个循环组，返回编号为2的顶点.10÷4＝2……2.所以第10次“移位”为第3个循环组的第2次“移位”到达编号为3的顶点．34.[2017·郴州中考]已知则a8＝.由题意给出的5个数可知，5.[2016·枣庄中考]一列数a1，a2，a3，…满足条件：a1＝，an＝(n≥2，且n为整数)，则a2016＝　　.－1观察可知，该列数每3个为一组，∵2016÷3＝672.∴a2016＝a3＝－1.6.[2016·滨州中考]观察下列式子：1×3＋1＝22；7×9＋1＝82；25×27＋1＝262；79×81＋1＝802；……可猜想第2016个式子为　(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2　.(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2　观察发现，第n个等式可以表示为(3n－2)×3n＋1＝(3n－1)2，当n＝2016时，(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2.7.[2017·淮安中考]将从1开始的连续自然数按以下规律排列：45　由观察可知第n行最大一个数为n2.∵442＝1936,452＝2025，∴2017在第45行．……则2017在第　　行．45第1行1第2行234第3行98765第4行10111213141516第5行2524232221201918178.[2017·云南中考]观察下列各个等式的规律：第一个等式：第二个等式：第三个等式：请用上述等式反映出的规律解决下列问题：(1)直接写出第四个等式；(2)猜想第n个等式(用n的代数式表示)，并证明你猜想的等式是正确的．【例3】[2017·重庆中考]下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为(　　)【解析】第①个图形中共有3个菱形，3＝12＋2；第②个图形中共有7个菱形，7＝22＋3；第③个图形中共有13个菱形，13＝32＋4；…；第n个图形中菱形的个数为n2＋n＋1.∴第⑨个图形中菱形的个数为92＋9＋1＝91.A．73B．81C．91D．109类型2图形变化规律C满分技法►解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，列出通式，最后确定相应图形的元素特征．满分必练►9.[2017·烟台中考]用棋子摆出下列一组图形：D按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为(　　)A．3nB．6nC．3n＋6D．3n＋3D　∵第一个图需棋子3＋3＝6；第二个图需棋子3×2＋3＝9；第三个图需棋子3×3＋3＝12；….∴第n个图需棋子(3n＋3)个．10.[2017·德州中考]观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…，将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为(　　)CA．121B．362C．364D．729C　图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…，则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形．11.将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4)放置于水平桌面上，如图1.在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是(　　)BA．6B．5C．3D．2B　由观察可知，从开始每3次变换完成后，正方体骰子就恢复到初始位置．因此，连续完成9次变换后，正方体骰子恢复到初始位置．∵10÷3＝3……1，∴第10次的情况如题中图所示，可见骰子朝上一面的点数是5.12.[2017·临沂中考]将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是(　　)BA．11B．12C．13D．14B　第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；…；第n个图形有1＋2＋3＋…＋n＝个小圆．∵第n个图形中“○”的个数是78，∴78＝解得n1＝12，n2＝－13(不合题意，舍去)．【例4】[2013·河北中考]如图，一段抛物线：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…；如此进行下去，直至得C13.若P(37，m)在第13段抛物线C13上，则m＝.【解析】C1：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)；C2：y＝(x－3)(x－6)(3≤x≤6)；C3：y＝－(x－6)(x－9)(6≤x≤9)；C4：y＝(x－9)(x－12)(9≤x≤12)；…；C13：y＝－(x－36)(x－39)(36≤x≤39)，当x＝37时，y＝2，则m＝2.类型3图象变化规律满分技法►从图象的变化或者变换方式与次数中，寻找规律，一般要利用数形结合的思想进行研究，通常以选择题或填空题的形式出现．2满分必练►13.[2017·内江中考]如图，过点A0(2,0)作直线l：y＝的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2017的长为(　　)B14.如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P2016A2015A2016是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…都在函数y＝的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，A2015A2016都在x轴上，则A2016的坐标为.15.二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A100在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B100在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A99B100A100都为等边三角形，则△A99B100A100的边长为　　.100专题1　探索规律问题常考类型分析考查类型年份考查形式题型分值数式规律2012、2014数的变化规律，12年是一个整数加一个分数得出一个与序号有关的分式相乘，分子分母相约得出结果；14年则是每段分成100份，分的过程用乘方表达出来填空题3分2015、2016根据题意得出三角形，求出角所表达的代数式，根据存在情况得出不等式，并得出最小值填空题2分图形变化规律2017通过图形的旋转得出，几个一个循环，每一种情况确定范围选择题2分点的坐标规律2013根据图象的旋转变化规律，确定坐标，再求出二次函数解析式填空题3分专题类型突破类型1数式规律一、数与数阵规律【例1】[2017·日照中考]观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为(　　)BA．23B．75C．77D．139【解析】∵上边的数为连续的奇数1,3,5,7,9,11，左边的数为21,22,23，…，∴b＝26＝64.∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，∴a＝11＋64＝75.满分技法►通过所给的特例所列举的数字或数字本身的变化，或者在数表、数轴、坐标、图形中的变化，找出共性或者与自然序数的关系确定变化后的结果，列出通式，再代入求值．二、算式变化规律【例2】古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16，…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是(　　)CA．13＝3＋10B．25＝9＋16C．36＝15＋21D．49＝18＋31【解析】按照以下环节进行思考：(1)从“形”的角度来看，“正方形数”依次为：1＝12,4＝22,9＝32,16＝42,25＝52，…，即从1开始的正整数的平方；斜线上方的点数表示较小的“三角形数”，依次为：1,1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10,1＋2＋3＋4＋5＝15，…，即从1开始的连续正整数相加的和；(2)从“数”的角度来看，等式规律用字母表示出来：如果用n2表示满分技法►探索算式或等式的规律，一般要将每个式子中相同位置上的数字进行比较，发现其变化特征，用表示算式序号的字母表示出来，通常以选择题或填空题的形式出现．“正方形数”，则等式表示为(3)对以上结论进行证明：(4)对照图示规律或者等式特征，可知选C.满分必练►1.[2017·武汉中考]按照一定规律排列的n个数：－2,4，－8,16，－32,64，…，若最后三个数的和为768，则n为(　　)A．9B．10C．11D．12BB　由题意，得第n个数为(－2)n，那么(－2)n－2＋(－2)n－1＋(－2)n＝768.当n为偶数时，整理，得3×2n－2＝768.解得n＝10；当n为奇数时，整理，得－3×2n－2＝768，无解．∴n＝10.D2.[2017·十堰中考]如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如，表示a1＝a2＋a3，则a1的最小值为(　　)A．32B．36C．38D．40D　∵a1＝a2＋a3＝a4＋a5＋a5＋a6＝a7＋a8＋a8＋a9＋a8＋a9＋a9＋a10＝a7＋3(a8＋a9)＋a10，∴要使a1取得最小值，则a8＋a9应尽可能的小，取a8＝2，a9＝4.∵a5＝a8＋a9＝6，则a7，a10中不能有6.若a10＝8，则a6＝a9＋a10＝12.∴a7＝14，则a4＝14＋2＝16，a2＝16＋6＝22，a3＝6＋12＝18，a1＝18＋22＝40.综上，a1的最小值为40.3.如图，给正五边形的顶点依次编号为1,2,3,4,5.若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是　　.3　若小宇从编号为2的顶点开始，第1次“移位”他应走2个边长，到达编号为4的顶点；第2次“移位”应走4个边长，到达编号为3的顶点；第3次“移位”应走3个边长，到达编号为1的顶点；第4次“移位”应走1个边长，到达编号为2的顶点，依此类推，4次“移位”为一个循环组，返回编号为2的顶点.10÷4＝2……2.所以第10次“移位”为第3个循环组的第2次“移位”到达编号为3的顶点．34.[2017·郴州中考]已知则a8＝.由题意给出的5个数可知，5.[2016·枣庄中考]一列数a1，a2，a3，…满足条件：a1＝，an＝(n≥2，且n为整数)，则a2016＝　　.－1观察可知，该列数每3个为一组，∵2016÷3＝672.∴a2016＝a3＝－1.6.[2016·滨州中考]观察下列式子：1×3＋1＝22；7×9＋1＝82；25×27＋1＝262；79×81＋1＝802；……可猜想第2016个式子为　(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2　.(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2　观察发现，第n个等式可以表示为(3n－2)×3n＋1＝(3n－1)2，当n＝2016时，(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2.7.[2017·淮安中考]将从1开始的连续自然数按以下规律排列：45　由观察可知第n行最大一个数为n2.∵442＝1936,452＝2025，∴2017在第45行．……则2017在第　　行．45第1行1第2行234第3行98765第4行10111213141516第5行2524232221201918178.[2017·云南中考]观察下列各个等式的规律：第一个等式：第二个等式：第三个等式：请用上述等式反映出的规律解决下列问题：(1)直接写出第四个等式；(2)猜想第n个等式(用n的代数式表示)，并证明你猜想的等式是正确的．【例3】[2017·重庆中考]下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为(　　)【解析】第①个图形中共有3个菱形，3＝12＋2；第②个图形中共有7个菱形，7＝22＋3；第③个图形中共有13个菱形，13＝32＋4；…；第n个图形中菱形的个数为n2＋n＋1.∴第⑨个图形中菱形的个数为92＋9＋1＝91.A．73B．81C．91D．109类型2图形变化规律C满分技法►解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，列出通式，最后确定相应图形的元素特征．满分必练►9.[2017·烟台中考]用棋子摆出下列一组图形：D按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为(　　)A．3nB．6nC．3n＋6D．3n＋3D　∵第一个图需棋子3＋3＝6；第二个图需棋子3×2＋3＝9；第三个图需棋子3×3＋3＝12；….∴第n个图需棋子(3n＋3)个．10.[2017·德州中考]观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…，将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为(　　)CA．121B．362C．364D．729C　图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…，则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形．11.将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4)放置于水平桌面上，如图1.在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是(　　)BA．6B．5C．3D．2B　由观察可知，从开始每3次变换完成后，正方体骰子就恢复到初始位置．因此，连续完成9次变换后，正方体骰子恢复到初始位置．∵10÷3＝3……1，∴第10次的情况如题中图所示，可见骰子朝上一面的点数是5.12.[2017·临沂中考]将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是(　　)BA．11B．12C．13D．14B　第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；…；第n个图形有1＋2＋3＋…＋n＝个小圆．∵第n个图形中“○”的个数是78，∴78＝解得n1＝12，n2＝－13(不合题意，舍去)．【例4】[2013·河北中考]如图，一段抛物线：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…；如此进行下去，直至得C13.若P(37，m)在第13段抛物线C13上，则m＝.【解析】C1：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)；C2：y＝(x－3)(x－6)(3≤x≤6)；C3：y＝－(x－6)(x－9)(6≤x≤9)；C4：y＝(x－9)(x－12)(9≤x≤12)；…；C13：y＝－(x－36)(x－39)(36≤x≤39)，当x＝37时，y＝2，则m＝2.类型3图象变化规律满分技法►从图象的变化或者变换方式与次数中，寻找规律，一般要利用数形结合的思想进行研究，通常以选择题或填空题的形式出现．2满分必练►13.[2017·内江中考]如图，过点A0(2,0)作直线l：y＝的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2017的长为(　　)B14.如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P2016A2015A2016是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…都在函数y＝的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，A2015A2016都在x轴上，则A2016的坐标为.15.二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A100在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B100在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A99B100A100都为等边三角形，则△A99B100A100的边长为　　.100专题2　图形变式与拓展常考类型分析考查类型年份考查形式题型分值三角形的变式和拓展20122015此类题目以三角形为主要载体，通过图形的变化呈现出不同的状态，利用全等或相似的知识探究线段间的位置和数量关系，解题时通常遵循“猜想简单结论——观察变式特征——类比原题解法——转化解决问题”解答题9分四边形的变化和拓展2017以四边形为主要构图元素，通过某点或线段的位置与数量变化，探究由此所产生的线段间的数量和位置变化，各角之间的变化，图形形状的变换及成立的条件等，综合运用特殊四边形的性质和判定来解决解答题11分圆的变化与拓展201320142016以圆为主体探究题的解题策略主要涉及垂径定理、圆周角定理、切线的性质和判定、弧长及扇形面积，通过图形的折叠、旋转出现的弦长、角和特殊位置关系及轨迹(弧长)、扫过的面积的计算和证明，常用相似、锐角三角函数及勾股定理等相关知识来解题解答题10分专题类型突破类型1关于三角形的变式拓展问题【例1】在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1＝∠2＝45°.(1)如图1，若AO＝OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；(2)将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO＝OB.求证：AC＝BD，AC⊥BD；(3)将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求【思路分析】通过观察可以猜想AO与BD相等且互相垂直；在后面的问题中，通过添加BD的垂线，使问题转化为全等三角形和相似三角形问题加以解决．【解】(1)AO＝BD，AO⊥BD.(2)证明：如图1，过点B作BE∥CA交DO于点E，延长AC交DB的延长线于点F.∴∠ACO＝∠BEO.又∵AO＝OB，∠AOC＝∠BOE，∴△AOC≌△BOE.∴AC＝BE.又∵∠1＝45°，∴∠ACO＝∠BEO＝135°.∴∠DEB＝45°.∵∠2＝45°，∴BE＝BD，∠EBD＝90°.∴AC＝BD.∵BE∥AC，∴∠AFD＝90°.∴AC⊥BD.(3)如图2，过点B作BE∥CA交DO于点E，∴∠BEO＝∠ACO.又∵∠BOE＝∠AOC，∴△BOE∽△AOC.又∵OB＝kAO，由(2)的方法易得BE＝BD.满分技法►图形拓展类问题的解答往往需要借助几何直观、转化、类比的思想方法．在原图形中具备的位置和数量关系，在图形变化后这种关系是否存在或又存在着怎样的新的关系，可通过类比进行推理、验证，所用方法和第(1)问所用方法相似，可借鉴原结论方法，并进行拓展，只要沿着这样的思路进行即可解决．满分必练►1.[2017·邢台模拟]已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6.点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图1，过点P作PF∥AQ交BC于点F，求证：△PDF≌△QDC；(2)如图2，当点P为AB的中点时，求CD的长；(3)如图3，过点P作PE⊥BC于点E，在点P从点B向点A移动的过程中，线段DE的长度是否保持不变？若保持不变，请求出DE的长度，若改变，请说明理由．解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB.∴∠B＝∠PFB.∴BP＝FP.由题意，得BP＝CQ，∴FP＝CQ.∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠DQC.又∠PDF＝∠QDC，∴△PDF≌△QDC.(2)如图，过点P作PF∥AC交BC于点F.∵点P为AB的中点，(3)线段DE的长度保持不变．如图，过点P作PF∥AC交BC于点F.由(1)知，PB＝PF.∵PE⊥BC，∴BE＝EF.由(1)知，△PDF≌△QDC，CD＝DF.2.[2016·成都中考]如图1，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连接BD.(1)求证：BD＝AC；(2)将△BHD绕点H顺时针旋转，得到△EHF(点B，D分别与点E，F对应)，连接AE.①如图2，当点F落在AC上时(F不与C重合)，若BC＝4，tanC＝3，求AE的长；②如图3，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．解：(1)在Rt△AHB中，∠ABC＝45°，∴AH＝BH.在△BHD和△AHC中，∴△BHD≌△AHC(SAS)．∴BD＝AC.(2)①在Rt△AHC中，∵tanC＝3，设CH＝x，则BH＝AH＝3x.∵BC＝4，∴3x＋x＝4.∴x＝1.∴AH＝3，CH＝1.由旋转，知∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，FH＝DH＝CH＝1，∴△EHA∽△FHC.∴∠EAH＝∠C.∴tan∠EAH＝tanC＝3.如图，过点H作HP⊥AE于点P，∴HP＝3AP，AE＝2AP.在Rt△AHP中，AP2＋HP2＝AH2，∴AP2＋(3AP)2＝9.②EF＝2GH.理由如下：设AH与CG交于点Q，由①知，△AEH和△FHC都为等腰三角形．又∵旋转角为30°，∴∠FHD＝∠BHE＝30°.∴∠EHA＝∠FHC＝120°.∴∠HCG＝∠GAH＝30°.∴△AGQ∽△CHQ.∴∠AGQ＝∠CHQ＝90°.又∵∠GQH＝∠AQC，∴△GQH∽△AQC.3.[教材改编题](1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，则∠AEB的度数为________，线段AD，BE之间的关系为________；(2)拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.①请判断∠AEB的度数，并说明理由；②当CM＝5时，AC比BE的长度多6时，求AE的长．解：(1)60°　相等(2)①∠AEB＝90°.理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°.∴∠ACD＝∠BCE.在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC.∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°.∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°，∠BEC＝135°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°.②∵在等腰Rt△DCE中，∠DCE＝90°，CM⊥DE，则有DM＝CM＝ME＝5.在Rt△ACM中，AM2＋CM2＝AC2.设BE＝AD＝x，则AC＝6＋x.∴(x＋5)2＋52＝(x＋6)2，解得x＝7.∴AE＝AD＋DM＋ME＝17.【例2】[2017·长春中考]【再现】如图1，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE＝(不需要证明)【探究】如图2，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：　　　　.(只添加一个条件)(2)如图3，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O.若AO＝OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为　　　　.类型2关于四边形的变式拓展问题【思路分析】【探究】利用三角形的中位线定理可得出EF＝HG，EF∥GH，继而可判断出四边形EFGH的形状．【应用】(1)同【探究】的方法判断出即可判断出EF＝FG，即可得出结论；(2)先判断出S△BCD＝4S△CFG，同理：S△ABD＝4S△AEH，进而得出再判断出OM＝ON，进而得出解：【探究】四边形EFGH是平行四边形．证明：如图1，连接AC.∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，综上，EF∥HG，EF＝HG.故四边形EFGH是平行四边形．【应用】(1)添加AC＝BD.理由：连接AC，BD，∵AC＝BD，∴EF＝FG.又∵四边形EFGH是平行四边形，∴▱EFGH是菱形．故 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 为：AC＝BD.(2)如图2，由【探究】，得四边形EFGH是平行四边形．∵F，G分别是BC，CD的中点，∴S△BCD＝4S△CFG.同理，S△ABD＝4S△AEH.∵四边形ABCD面积为5，设AC与FG，EH相交于点M，N，EF与BD相交于点P.∵OA＝OC，∴OM＝ON.易知，四边形ENOP，FMOP是面积相等的平行四边形．满分技法►此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，解【探究】的关键是判断出解【应用】的关键是判断出是一道基础题目．满分必练►4.[2016·兰州中考]阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.结合小敏的思路作答：(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题；(2)如图2，在(1)的条件下，若连接AC，BD.①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．解：(1)四边形EFGH是平行四边形，理由如下：如图，连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥HG，EF＝HG.故四边形EFGH是平行四边形．(2)①当AC＝BD时，四边形EFGH为菱形．理由如下：由(1)知，四边形EFGH是平行四边形，∴当AC＝BD时，FG＝HG.∴▱EFGH是菱形．②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．5.[2017·兰州中考]如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．解：(1)证明：根据折叠的性质，得∠DBC＝∠DBE.又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF，∴△BDF是等腰三角形．(2)①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴FD∥BG.又∵DG∥BE，即DG∥BF，∴四边形BFDG是平行四边形．∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形．②∵AB＝6，AD＝8，假设DF＝BF＝x，∴AF＝AD－DF＝8－x.∴在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，即62＋(8－x)2＝x2.6.[2016·临沂中考]如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是　　　　，位置关系是　；(2)如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．解：(1)FG＝CE　FG∥CE(2)成立．证明：如图，过点G作GH⊥CB的延长线于点H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°.∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE.在△HGE与△CED中，∴△HGE≌△CED(AAS)．∴GH＝CE，HE＝CD.∵CE＝BF，∴GH＝BF.∵GH∥BF，∴四边形GHBF是平行四边形．∴FG＝BH，FG∥CH.∴FG∥CE.∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC.∴HE＝BC.∴HE＋EB＝BC＋EB.∴BH＝EC.∴FG＝EC.(3)仍然成立．【例3】如图1至图4中，两平行线AB，CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．思考如图1，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间(包括AB，CD)，其直径MN在AB上，MN＝8，点P为半圆上一点，设∠MOP＝α.当α＝　　度时，点P到CD的距离最小，最小值为　　　.探究一在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO＝度，此时点N到CD的距离是　　　.探究二将图1中的扇形纸片NOP按下面对α的 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．(1)如图3，当α＝60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；(2)如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．类型3关于圆的变式拓展问题【思路分析】在“思考”的图1中，当OP⊥CD时，点P到CD的距离最小；在“探究一”的图2中，半圆形纸片不能再转动时，⊙O与CD相切于点Y；在“探究二”的图3中，当PM⊥AB时，点P到CD的距离最小；当与AB相切时，旋转角∠BMO的度数最大．图4中，当弦MP＝6时，α取最小值；当与CD相切于点P时，即半径OP⊥CD于点P时，α取最大值．解：思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当α＝90度时，点P到CD的距离最小．∵MN＝8，∴OP＝4.∴点P到CD的距离最小值为6－4＝2.故答案为：90,2.探究一：∵以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图1，∵MN＝8，∴MO＝4，OY＝4.∴UO＝2.∴得到最大旋转角∠BMO＝30度，此时点N到CD的距离是2.故答案为：30,2.探究二：(1)由已知得M与P的距离为4，∴当MP⊥AB时，点P到AB的最大距离为4，从而点P到CD的最小距离为6－4＝2.当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，与AB相切，此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°.(2)如图2，由探究一可知，点P是与CD的切点时，α达到最大，即OP⊥CD.此时延长PO交AB于点H，α最大值为∠OMH＋图1＋∠OHM＝30°＋90°＝120°.如图3，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD，α达到最小，连接MP，作OH⊥MP于点H，由垂径定理，得MH＝3，在Rt△MOH中，MO＝4，∴∠MOH＝49°.∵α＝2∠MOH＝98°，∴α最小为98°.∴α的取值范围是98°≤α≤120°.图2满分技法►在拓展变化的图形中求最值(比如最大(小)距离，角的最大(小)度数，线段的最大(小)长度等)，关键是确定相关图形的特殊位置；确定几何图形中角度的取值范围，要考查它的最大角度和最小角度两种极端情况．另外，几何直观与生活经验的积累与训练也是不容忽视的，本题中很多结论如果用纯粹的数学原理严格论证起来，是很困难的，比如“思考”中，为什么OP⊥AB时图3点P到CD的距离最小？“探究一”中，怎样说明半圆形纸片不能再转动时，⊙O与CD相切于点P？“探究二”(1)中，为什么MP⊥AB时点P到CD的距离最小？为什么当与CD相切于点P时，旋转角∠BMO的度数最大？(2)中，为什么当弦MP＝6时，α取最小值；为什么当半径OP⊥CD于点P时，α取最大值？对于这些问题，在考场上是没有时间、也没有必要深究的，其结论的得出主要依靠几何直观与生活经验．满分必练►7.[2017·宝应一模]如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，OD＝3cm，开始的时候BD＝1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．(1)当点B与点O重合时，求三角板运动的时间；(2)三角板继续向右运动，当B点和E点重合时，AC与半圆相切于点F，连接EF，如图2所示．①求证：EF平分∠AEC；②求EF的长．解：(1)∵当点B与点O重合时，BO＝OD＋BD＝4(cm)，∴三角板运动的时间为2s.(2)①证明：如图，连接点O与切点F，则OF⊥AC.∵∠ACE＝90°，∴EC⊥AC.∴OF∥CE.∴∠OFE＝∠CEF.∵OF＝OE，∴∠OFE＝∠OEF.∴∠OEF＝∠CEF，即EF平分∠AEC.②由①知，OF⊥AC.∴△AFO是直角三角形．∵∠BAC＝30°，OF＝OD＝3cm，8.[2017·裕华区模拟]如图所示，点A为半圆O直径MN所在直线上一点，射线AB垂直于MN，垂足为A，半圆绕M点顺时针转动，转过的角度记作α；设半圆O的半径为R，AM的长度为m，回答下列问题：探究：(1)若R＝2，m＝1，如图1，当旋转30°时，圆心O′到射线AB的距离是　.如图2，当α＝　　　　°时，半圆O与射线AB相切；(2)如图3，在(1)的条件下，为了使得半圆O转动30°即能与射线AB相切，在保持线段AM长度不变的条件下，调整半径R的大小，请你求出满足要求的R，并说明理由；发现：(3)如图4，在0°＜α＜90°时，为了对任意旋转角都保证半圆O与射线AB能够相切，小明探究了cosα与R，m两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系；cosα＝　　　　；(用含有R，m的代数式表示)拓展：(4)如图5，若R＝m，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α的取值范围是　　　　，并求出在这个变化过程中阴影部分(弓形)面积的最大值．(用m表示)解：(1)如图1，作O′E⊥AB于点E，MF⊥O′E于点F，则四边形AMFE是矩形，EF＝AM＝1.在Rt△MFO′中，∵∠MO′F＝30°，MO′＝2，如图2，设切点为F，连接O′F，作O′E⊥OA于点E，则四边形O′EAF是矩形．∴AE＝O′F＝2.∵AM＝1，∴EM＝1.(2)如图3，设切点为P，连接O′P，作MQ⊥O′P，则四边形APQM是矩形．∵在Rt△O′MQ中，O′M＝R，∠MO′Q＝α＝30°，(3)如图4，设切点为P，连接O′P，作MQ⊥O′P，则四边形APQM是矩形．在Rt△O′QM中