PAGE7PAGE123．（10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）.已知点坐标为（，）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；(第23题)（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.21．(本小题10分)已知：关于的一元二次方程（m为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论取何值，抛物线总过轴上的一个固定点；（3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．【原创】22.(本小题12分)某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；（2）设MN与AB之间的距离为米，试将△EMN的面积S（平方米）
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示成关于x的函数；（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．【改编】23．(本小题12分)（1）探究新知：①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．求证：△ABM与△ABN的面积相等．ABDCMN图①②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．C图②ABDMFEG（2）结论应用：如图③，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．【改编】A图③CDBOxyA备用图CDBOxy23．（1）解：设抛物线为.∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.∴抛物线为.……………………………3分(2)答：与⊙相交.…………………………………………………………………4分证明：当时，，.∴为（2，0），为（6，0）.∴.设⊙与相切于点，连接，则.∵，∴.又∵，∴.∴∽.∴.∴.∴.…………………………6分∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.∴抛物线的对称轴与⊙相交.……………………………………………7分(3)解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.可求出的解析式为.…………………………………………8分设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.∴.∵,∴当时，的面积最大为.此时，点的坐标为（3，）.…………………………………………10分21．(本题10分)解：（1）△=∵方程有两个不相等的实数根,∴------------1分∵------------1分∴m的取值范围是.------------1分X|k|B|1.c|O|m（2）证明：令得，.∴.∴，.------------2分∴抛物线与x轴的交点坐标为（），（）,∴无论m取何值，抛物线总过定点（）.---------1分（3）∵是整数∴只需是整数.∵是整数，且,∴.------------2分当时，抛物线为．把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为.------------2分22.(本题12分)解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米.所以，S△EMN==0.5（平方米）.即△EMN的面积为0.5平方米.------------2分ENEBBGDMABC图1（2）①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，即0＜x≤1时，△EMN的面积S==；------------2分②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即1＜x＜时，如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，∵E为AB中点，∴F为CD中点，GF⊥CD,且FG＝.EABGNDMC图2HF又∵MN∥CD，∴△MNG∽△DCG．∴，即------------2分故△EMN的面积S＝＝；------------1分综合可得：------------1分（3）①当MN在矩形区域滑动时，，所以有；------------1分②当MN在三角形区域滑动时，S=.因而，当（米）时,S得到最大值，最大值S===（平方米）.------------2分∵∴S有最大值，最大值为平方米.------------1分23．(本题12分)解：ABDCMN图①EF﹙1﹚①证明：分别过点M，N作ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形．∴AB∥CD．∴ME＝NF．------------1分∵S△ABM＝，S△ABN＝，∴S△ABM＝S△ABN．------------1分HC图②ABDMFEGK②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K．则∠DHA＝∠EKB＝90°．∵AD∥BE，∴∠DAH＝∠EBK．∵AD＝BE，∴△DAH≌△EBK．∴DH＝EK．------------1分∵CD∥AB∥EF，∴S△ABM＝，S△ABG＝，∴S△ABM＝S△ABG.------------1分﹙2﹚答：存在．解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为.又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得，解得.∴该抛物线的表达式为，即．∴D点坐标为（0，3）．------------1分设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得，解得.∴直线AD的表达式为．------------1分过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为．∴CH＝CG－HG＝4－2＝2．设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为．过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为，EF∥CG．由﹙1﹚可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等．------------1分A图③-1CDBOxyHPGFPE①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚，则PF＝，EF＝．∴EP＝EF－PF＝＝．∴．解得，．当时，PF＝3－2＝1，EF＝1+2＝3．∴E点坐标为（2，3）．-----------1分同理当m＝1时，E点坐标为（1，4），与C点重合．-----------1分②若E点在直线AD的下方﹙如图③－2,③－3﹚，则．-----------1分∴．解得，．wWw.Xkb1.cOm当时，E点的纵坐标为；-----------1分当时，E点的纵坐标为．-----------1分∴在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）；；．A图③－3CDBOxyHPGFPEA图③－2CDBOxyHPGFPE
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